Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Евклідова простір



План:


Введення

Евклідова простір (також евклідова простору) - в первісному значенні, простір, властивості якого описуються аксіомами евклідової геометрії. У цьому випадку передбачається, що простір має розмірність 3.

У сучасному розумінні, в більш загальному сенсі, може позначати один з подібних і тісно пов'язаних об'єктів, визначених нижче. Зазвичай n -Мірне евклидово простір позначається \ Mathbb E ^ n , Хоча часто використовується не цілком прийнятне позначення \ Mathbb R ^ n .

1. Конечномерное Гільбертів простір, тобто конечномерное речовий векторний простір \ Mathbb R ^ n з введенням на ньому (позитивно визначеним) скалярним добутком, що породжує норму :

\ | X \ | = \ sqrt {\ langle x, x \ rangle} ,

у найпростішому випадку (евклідова норма):

\ | X \ | = \ sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ dots + x_n ^ 2} = \ sqrt {\ sum_ {k = 1} ^ n x_k ^ 2}

де x = (x_1, x_2, \ dots, x_n) (В евклідовому просторі завжди можна вибрати базис, в якому вірний саме цей найпростіший варіант).

2. Метричний простір, відповідне простору описаного вище. Тобто \ Mathbb R ^ n з метрикою, введеної за формулою:

\ Rho (x, y) = \ | xy \ | = \ sqrt {(x_1-y_1) ^ 2 + (x_2-y_2) ^ 2 + \ dots + (x_n-y_n) ^ 2} = \ sqrt {\ sum_ { k = 1} ^ n (x_k-y_k) ^ 2} ,

де x = (x_1, x_2, \ dots, x_n) і y = (y_1, y_2, \ dots, y_n) \ in \ mathbb R ^ n .


1. Пов'язані визначення

  • Під евклідової метрикою може розумітися метрика, описана вище, а також відповідна ріманова метрика.
  • Під локальної евклідової зазвичай мають на увазі те, що кожне дотичне простір ріманова різноманіття є евклидово простір з усіма випливаючими властивостями, наприклад, можливістю (по гладкості метрики) ввести в малій околиці точки координати, в яких відстань виражається (з точністю до якогось порядку ) відповідно до описаного вище.
  • Метричний простір називають локально евклідовим також якщо можливо ввести на ньому координати, в яких метрика буде евклідової (в сенсі другого визначення) усюди (або хоча б на кінцевій області) - яким, наприклад, є ріманова різноманіття нульової кривизни.

2. Приклади

Наочними прикладами евклідових просторів можуть служити простору:

  • \ Mathbb E ^ 1 розмірності 1 (Речовинна пряма)
  • \ Mathbb E ^ 2 розмірності 2 (Евклідова площину)
  • \ Mathbb E ^ 3 розмірності 3 (Евклидово тривимірний простір)
  • Евклідова простір можна вважати сучасною інтерпретацією та узагальненням (так як воно допускає розмірності більше трьох) класичної (Евклідової) геометрії.

Більш абстрактний приклад:

  • простір речових многочленів p (x) ступеня, не перевершує n , Зі скалярним добутком, визначеним як інтеграл твори за кінцевим відрізку (або по всій прямій, але з швидко спадаючою ваговій функцією, наприклад e ^ {-x ^ 2} )

3. Варіації і узагальнення


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Евклідова геометрія
Евклідова геометрія
N-мірна евклідова геометрія
L p (простір)
Простір
Унітарна простір
Зв'язний простір
Простір Мінковського
Ультраметріческое простір
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru