Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Експонента



План:


Введення

Графік експоненти.
Дотична в нулі у функції e x нахилена на π / 4
Поруч для прикладу показані 2 x (Точками) і 4 x (Пунктиром)

Експонента - показова функція exp (x) = e x , Де e - основа натуральних логарифмів ( e = 2.7182818284590452 ... ).


1. Визначення

Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора :

e ^ x = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {k!}

або через межу:

e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ right) ^ n

Тут x - будь- комплексне число.

2. Властивості

  • (E x) '= e x , Зокрема
    • Експонента є єдиним рішенням диференціального рівняння y '= y з початковими даними y (0) = 1 . Крім того через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь.
  • Експонента визначена на всій речовинної осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля.
  • Експонента є опуклою функцією.
  • Зворотній функція до неї - натуральний логарифм \ Ln ~ x .
  • Фур'є-образ експоненти не існує
  • проте перетворення Лапласа існує
  • Похідна в нулі дорівнює 1, тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом 45 .
  • Основне функціональне властивість експоненти, як і всякої показовою функції:
    exp (a + b) = exp (a) exp (b) .
    • Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вигляд exp (c x) , Де c - деяка константа.

3. Комплексна експонента

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента - математична функція, що задається співвідношенням f (z) = e z , Де z є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти f (x) = e x речового змінного x :

Визначимо формальне вираження

e ^ z = e ^ {x + iy} = e ^ x \ cdot e ^ {iy} .

Певне таким чином вираз на речовій осі буде співпадати з класичною речовій експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції e z , Тобто показати, що e z розкладається в деякий сходиться до даної функції ряд. Покажемо це:

f (z) = e ^ z = e ^ x \ cdot e ^ {iy} = e ^ {iy} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!}

Збіжність даного ряду легко доводиться:

.

Ряд всюди сходиться абсолютно, тобто взагалі всюди сходиться, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції f (z) = e z . Згідно теоремі єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція e z всюди визначена і аналітична.


3.1. Властивості


4. Варіації і узагальнення

Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри. У конкретному випадку потрібно також доказ того, що вказані межі існують.

4.1. Матрична експонента

Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю до відповідного ряд:

\ Exp A = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {A ^ k} {k!}.

Визначений таким чином ряд сходиться для будь-якого оператора A з обмеженою нормою, оскільки мажоріруется поруч для експоненти норми A: \ Exp \ | A \ |. Отже, експонента від матриці A \ in \ Bbb {R} ^ {n \ times n} завжди визначена і сама є матрицею.

За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами : рівняння \ Dot x = Ax, ~ ~ ~ x \ in \ mathbb R ^ n з початковою умовою x (0) = x 0 має своїм рішенням x (t) = exp (A t) x 0.


5. Зворотній функція

Зворотною функцією до експоненційної функції є натуральний логарифм. Позначається \ Ln (x) \, :

\ Ln (x) = \ log_ {e} (x) \,

Література

  • Лаврентьєв М. А., Шабат Б. В. Методи теорії функцій комплексного змінного. - Видання 5-е, виправлене. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теорія функції комплексної змінної (короткий курс). - Видання 2-е, виправлене. - М.: Просвещение, 1965. - 209 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru