Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Екстремум



План:


Введення

Екстремум ( лат. extremum - Крайній) в математиці - максимальне або мінімальне значення функції на заданому безлічі. Точка, в якій досягається екстремум, називається точкою екстремуму. Відповідно, якщо досягається мінімум - точка екстремуму називається точкою мінімуму, а якщо максимум - точкою максимуму. В математичному аналізі виділяють також поняття локальний екстремум (відповідно мінімум або максимум).


1. Визначення

Нехай дана функція f: M \ subset \ R \ to \ R, і x_0 \ in M ​​^ 0 - Внутрішня точка області визначення f. Тоді

  • x 0 називається точкою локального максимуму функції f, якщо існує проколота околиця \ Dot {U} (x_0) така, що
    \ Forall x \ in \ dot {U} (x_0) \ quad f (x) \ le f (x_0);
  • x 0 називається точкою локального мінімуму функції f, якщо існує проколота околиця \ Dot {U} (x_0) така, що
    \ Forall x \ in \ dot {U} (x_0) \ quad f (x) \ ge f (x_0).

Якщо нерівності вище строгі, то x 0 називається точкою строгого локального максимуму або мінімуму відповідно.

  • x 0 називається точкою абсолютного (глобального) максимуму, якщо
    \ Forall x \ in M ​​\ quad f (x) \ le f (x_0);
  • x 0 називається точкою абсолютного мінімуму, якщо
    \ Forall x \ in M ​​\ quad f (x) \ ge f (x_0).

Значення функції f (x 0) називають (суворим) (локальними) максимумом або мінімумом в залежності від ситуації. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називаються точками (локального) екстремуму.


2. Зауваження

Функція f, визначена на множині M, може не мати на ньому жодного локального або абсолютного екстремуму. Наприклад, f (x) = x, \; x \ in (-1,1).

3. Необхідні умови існування локальних екстремумів

  • Лемма Ферма. Нехай функція f \ in \ mathcal {D} (x_0) дифференцируема в точці локального екстремуму x 0. Тоді:
~ F '(x_0) = 0 .
  • Якщо в точці екстремуму існує перша приватна похідна (з якого-небудь аргументу), то вона дорівнює нулю.

4. Достатні умови існування локальних екстремумів

  • Нехай функція f \ in C (x_0) неперервна в x_0 \ in M ​​^ 0, і існують кінцеві або безкінечні односторонні похідні ~ F'_ + (x_0), f'_-(x_0) . Тоді за умови
f'_ + (x_0) <0, \; f'_-(x_0)> 0

x 0 є точкою строгого локального максимуму. А якщо

f'_ + (x_0)> 0, \; f'_-(x_0) <0,

то x 0 є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому функція не дифференцируема в точці x 0

  • Нехай функція f неперервна і двічі диференційована в точці x 0 . Тоді за умови
~ F '(x_0) = 0 і ~ F''(x_0) <0

x 0 є точкою локального максимуму. А якщо

~ F '(x_0) = 0 і ~ F''(x_0)> 0

то x 0 є точкою локального мінімуму.

Екстремум
Наука
Математика Максимум Мінімум Супремум, інфімум
Товариство Найбільше значення : Стеля, Верхня межа, Верхівка Найменше значення : Дно, Низ, Нижня межа
Зміна Збільшення - до максимуму Зменшення - до мінімуму
Інше Середина : Золота середина, Середнє значення Оптимум
Формалізація
Методи оптимізації
Одномірні Метод золотого перерізу Дихотомія Метод парабол Перебір по сітці Метод Фібоначчі Трійчастий пошук
Прямі методи Метод Гаусса Метод Нелдера - Міда Метод Хука - Дживса Метод конфігурацій Метод Розенброка
Першого порядку Градієнтний спуск Метод Зойтендейка Покоординатного спуск Метод спряжених градієнтів Квазіньютоновскіе методи
Другого порядку Метод Ньютона Метод Ньютона - Рафсона
Стохастичні Метод Монте-Карло Імітація відпалу Еволюційні алгоритми Генетичні алгоритми Диференціальна еволюція Мурашиний алгоритм Метод рою частинок
Методи лінійного
програмування
Симплекс-метод Алгоритм Гоморі Метод еліпсоїдів Метод потенціалів
Методи нелінійного
програмування
Послідовне квадратичне програмування

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Умовний екстремум
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru