Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Елементарна алгебра



План:


Введення

Елементарна алгебра - найстаріший розділ алгебри, в якому вивчаються алгебраїчні вираження і рівняння над речовими і комплексними числами.


1. Закони елементарної алгебри

1.1. Правила запису

  1. Якщо між символами змінних не вказаний знак операцій, мається на увазі множення: ab = a \ cdot b . Те ж вірно для поєднання константи і змінної (наприклад, 1,2 x), а також виразів в дужках: \ Pi ~ (a ^ 2 ~ + ~ b ^ 2) або (A - b) (a + b) .
  2. Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужок немає, то пріоритетність, в порядку убування, наступна.
    1. Піднесення до степеня.
    2. Обчислення функції.
    3. Множення і ділення.
    4. Додавання і віднімання.

Приклади:

  • a ^ {b ^ {c}} = a ^ {(b ^ {c})}
  • sin x 2 = sin (x 2)
  • sin a + b = (sin a) + b

1.2. Властивості операцій

a + b = b + a. \
a - b = a + (-b). \
a \ times b = b \ times a \
{A \ over b} = a \ left ({1 \ over b} \ right).

1.3. Властивості рівності

1.4. Інші закони

  • Якщо a = b і c = d , То a + c = b + d.
    • Якщо a = b , То a + c = b + c для будь-якого c ( адитивність рівності).
  • Якщо a = b і c = d , То a c = b d.
  • Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
  • Якщо a> b і b> c , То a> c ( транзитивність порядку).
  • Якщо a> b , То a + c> b + c для будь-якого c.
  • Якщо a> b і c> 0 , То a c> b c.
  • Якщо a> b і c <0 , То a c

2. Історичний нарис

Про походження назви науки см. Алгебра.

Ідея записувати загальні властивості чисел і обчислювальні алгоритми на особливому символічному метамови з'явилася давно, проте спочатку літерні символи в рівняннях позначали тільки невідомі, значення яких слід знайти, а для інших членів рівняння записували конкретні числові значення. Думка про те, що відомі величини ( коефіцієнти) теж корисно для спільності позначати символами, пробивала собі шлях повільно.

Вперше, наскільки можна судити за що дійшли до нас давнім творам, розвинена алгебраїчна система з'являється в "Арифметиці" Діофанта ( IV століття). Навряд чи можна сумніватися, що в нього були попередники, як вони були у Евкліда, Архімеда та інших, однак ми нічого не знаємо ні про людей, ні про праці, на які міг спиратися цей чудовий алгебраїст. Та й послідовників у нього не було до XV століття. Втім, в Європі з перекладом "Арифметики" познайомилися тільки в XVI столітті, і методи Діофанта справили величезний вплив на Вієта і Ферма.

Основна проблематика "Арифметики" - знаходження раціональних рішень невизначених рівнянь (многочленів довільного ступеня) з раціональними коефіцієнтами. У Діофанта використовується літерна символіка, правда, як і раніше тільки для невідомих. У вступі до "Арифметиці" Диофант приймає такі позначення: невідому він називає "числом" і позначає буквою ξ, квадрат невідомою - символом δ ν і т. д. Спеціальні символи позначали негативні ступеня, знак рівності і навіть, схоже, негативні числа (є навіть правило знаків: мінус на мінус дає плюс). Все інше виражається словесно. Сформульовано багато звичних нам правила алгебри: зміна знака при перенесенні в іншу частину рівняння, скорочення загальних членів і ін

Індійські математики середньовіччя теж далеко просунулися в алгебрі, їх символіка багатшими, ніж у Діофанта, хоча кілька громіздка (засмічена словами).

У Європі, в книгах "Арифметика" та "Про даних числах" Йордану Неморарія ( XIII століття) вбачаються зачатки символічної алгебри, до пори до часу не відокремилася від геометрії. У нього, а також у Фібоначчі вже зустрічаються вислови на кшталт "a коней за f днів з'їдають e заходів вівса". Проте в загальну концепцію викладу символізм у них ще не включено.

Найбільший алгебраїст XV століття Лука Пачолі вводить свій аналог алгебраїчної символіки, ще не надто загальний і не дуже зручний.

Концептуальну реформу і корінні поліпшення алгебраїчного мови ввів в кінці XVI століття Франсуа Вієт, адвокат за фахом, математик за схильності душі. Він чітко уявляв собі кінцеву мету - розробку "нового обчислення", свого роду узагальненої арифметики. Вієт позначав буквами все коефіцієнти (до речі, саме Вієт придумав цей термін). Усі завдання вирішуються в загальному вигляді, і тільки потім наводиться числові приклади. Вієт вільно застосовує алгебраїчні перетворення, заміну змінних та інші алгебраїчні прийоми.

Система Вієта викликала загальне захоплення. Вона дозволила описати закони арифметики та алгоритми з немислимими раніше спільністю і компактністю, полегшила і поглибила дослідження загальних числових законів. Однак символіка Вієта була схожа на сучасну, місцями громіздка, і вчені різних країн приступили до її вдосконалення.

Англієць Томас Герріот у своєму посмертно виданому ( 1631) працю вже дуже близький до сучасної символіки: він позначає змінні малими літерами, а не великими, як у Вієта, використовує знак рівності, а також придумані їм символи порівняння "> "і "<".

Практично сучасний вид алгебраїчної символіки надав Рене Декарт (середина XVII століття, трактат "Геометрія"). Підсумком і завершенням цього процесу стала "Універсальна арифметика" Ньютона. Деякі залишилися тонкощі уточнив Ейлер.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Елементарна комірка
Елементарна комірка
Елементарна частинка
Елементарна математика
Алгебра Лі
Алгебра Лі
Алгебра
Поле (алгебра)
Альтернативна алгебра
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru