Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Еліпс



План:


Введення

Не слід плутати з Еліпсис.
Еліпс, його фокуси і головні осі

Еліпс ( др.-греч. ἔλλειψις - Опущення, недолік, в сенсі нестачі ексцентриситету до 1) - геометричне місце точок M Евклідової площини, для яких сума відстаней до двох даних точок F 1 і F 2 (Званих фокусами) постійна і більше відстані між фокусами, тобто

| F 1 M | + | F 2 M | = 2 a, причому | F 1 F 2 | <2 a.


Окружність є окремим випадком еліпса. Поряд з гіперболою і параболою, еліпс є конічним перетином і квадриків. Еліпс також можна описати як перетин площині і кругового циліндра або як ортогональну проекцію кола на площину.


1. Пов'язані визначення

  • Проходить через фокуси еліпса відрізок AB, кінці якого лежать на еліпсі, називається великий віссю даного еліпса. Довжина великої осі дорівнює 2 a у вищенаведеному рівнянні.
  • Відрізок CD, перпендикулярний великої осі еліпса, що проходить через центральну точку великої осі, кінці якого лежать на еліпсі, називається малою віссю еліпса.
  • Відрізки, проведені з центру еліпса до вершин на великій і малій осях називаються, відповідно, велика піввісь і малої півосі еліпса, і позначаються a і b .
  • Точка перетину великої та малої осей еліпса називається його центром.
  • Відстані r 1 і r 2 від кожного з фокусів до даної точки на еліпсі називаються фокальними радіусами в цій точці.
  • Відстань c = \ frac {| F_1 F_2 |} {2} називається фокальним відстанню.
  • Діаметром еліпса називають довільну хорду, що проходить через його центр. Сполученими діаметрами еліпса називають пару його діаметрів, що володіють наступною властивістю: середини хорд, паралельно першому діаметру, лежать на другому діаметрі. У цьому випадку і середини хорд, паралельних другого діаметра, лежать на першому діаметрі.
  • Радіус еліпса в даній точці обчислюється за формулою ~ R ^ 2 = b ^ 2 \ sin ^ 2 t + a ^ 2 \ cos ^ 2 t, де t - Кут нахилу до даної точки (або просто параметр еліпса).
  • Фокальним параметром p = \ frac {b ^ 2} {a} називається половина довжини хорди, що проходить через фокус і перпендикулярній великої осі еліпса.
  • Відношення довжин малої та великої півосей називається коефіцієнтом стиснення еліпса або еліптичності: k = \ frac {b} {a}. Величина, що дорівнює (1-k) = \ frac {a-b} {a}, називається стисненням еліпса. Для кола коефіцієнт стиснення дорівнює одиниці, стиснення - нулю. Коефіцієнт стиснення і ексцентриситет еліпса пов'язані співвідношенням ~ K ^ 2 = 1-e ^ 2.

2. Властивості

  • Оптичне властивість. Світло від джерела, що знаходиться в одному з фокусів, відбивається еліпсом так, що відбиті промені перетнуться в другому фокусі.
  • Якщо F 1 і F 2 - Фокуси еліпса, то для будь-якої точки X, що належить еліпсу, кут між дотичною в цій точці і прямий (F 1 X) дорівнює куту між цією дотичній і прямий (F 2 X) .
  • Пряма, проведена через середини відрізків, відсічених двома паралельними прямими, що перетинають еліпс, завжди буде проходити через центр еліпса. Це дозволяє побудовою за допомогою циркуля і лінійки легко отримати центр еліпса, а надалі осі, вершини і фокуси.
  • Еволюти еліпса є астроіда.
  • Точки перетину еліпса з осями є його вершинами.
  • Ексцентриситет еліпса дорівнює відношенню e = \ frac {c} {a} = \ sqrt {1 - \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \; \; \; (0 \ le e <1). . Ексцентриситет характеризує витягнутість еліпса. Чим ексцентриситет ближче до нуля, тим еліпс більше нагадує коло і навпаки, чим ексцентриситет ближче до одиниці, тим він більш витягнутий.
  • Еліпс також можна описати як

3. Співвідношення між елементами еліпса

Частини еліпса (опис див "Пов'язані визначення")
  • ~ \ Boldsymbol a - Велика піввісь;
  • ~ \ Boldsymbol b - Мала піввісь;
  • ~ \ Boldsymbol c - Фокальний радіус (полурасстояніе між фокусами);
  • ~ \ Boldsymbol p - Фокальний параметр;
  • ~ \ Boldsymbol r_p - Періфокусное відстань (мінімальна відстань від фокусу до точки на еліпсі);
  • ~ \ Boldsymbol r_a - Апофокусное відстань (максимальна відстань від фокусу до точки на еліпсі);


~ A ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2

e = \ frac {c} {a} = \ sqrt {1 - \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \; \; \; (0 \ le e <1). .

~ P = \ frac {b ^ 2} {a}


~ \ Boldsymbol a

~ \ Boldsymbol b

~ \ Boldsymbol c

~ \ Boldsymbol p

~ \ Boldsymbol {r_p}

~ \ Boldsymbol {r_a}
~ \ Boldsymbol a - Велика піввісь ~ \ Boldsymbol a~ A = \ frac {b} {\ sqrt {1-e ^ 2}}~ A = \ frac {c} {e}~ A = \ frac {p} {1-e ^ 2}~ A = \ frac {r_p} {1-e}~ A = \ frac {r_a} {1 + e}
~ \ Boldsymbol b - Мала піввісь ~ B = a \ sqrt {1-e ^ 2}~ \ Boldsymbol b~ B = \ frac {c ~ \ sqrt {1-e ^ 2}} {e}~ B = \ frac {p} {\ sqrt {1-e ^ 2}}~ B = r_p \ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}~ B = r_a \ sqrt {\ frac {1-e} {1 + e}}
~ \ Boldsymbol c - Фокальное відстань ~ C = ae~ C = \ frac {be} {\ sqrt {1-e ^ 2}}~ \ Boldsymbol c~ C = \ frac {pe} {1-e ^ 2}~ C = \ frac {r_pe} {1-e}~ C = \ frac {r_ae} {1 + e}
~ \ Boldsymbol p - Фокальний параметр ~ P = a (1-e ^ 2)~ P = b ~ \ sqrt {1-e ^ 2}~ P = c ~ \ frac {1-e ^ 2} {e}~ \ Boldsymbol p~ P = r_p (1 + e)~ P = r_a (1-e)
~ \ Boldsymbol r_p - Періфокусное відстань ~ R_p = a (1-e)~ R_p = b ~ \ sqrt {\ frac {1-e} {1 + e}}~ R_p = c ~ \ frac {1-e} {e}~ R_p = \ frac {p} {1 + e}~ \ Boldsymbol r_p~ R_p = r_a \ frac {1-e} {1 + e}
~ \ Boldsymbol r_a - Апофокусное відстань ~ R_a = a (1 + e)~ R_a = b ~ \ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}~ R_a = c ~ \ frac {1 + e} {e}~ R_a = \ frac {p} {1-e}~ R_a = r_p ~ \ frac {1 + e} {1-e}~ \ Boldsymbol r_a

4. Координатне представлення

4.1. Еліпс як крива другого порядку

Еліпс є центральною невиродженої кривої другого порядку і задовольняє загальному рівнянню виду

~ A_ {11} x ^ 2 + a_ {22} y ^ 2 +2 a_ {12} xy +2 a_ {13} x +2 a_ {23} y + a_ {33} = 0,

при инвариантах D> 0 \, і \ Delta I <0, \, де:

\ Delta = \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \ \ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \ \ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \ end {vmatrix},
D = \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {12} & a_ {22} \ end {vmatrix} = a_ {11} a_ {22} - a_ {12} ^ 2,
I = tr \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {12} & a_ {22} \ end {pmatrix} = a_ {11} + a_ {22}.

Співвідношення між інваріантами кривої другого порядку і півосями еліпса:

\ Delta =-a ^ 4b ^ 4, \,
D = a ^ 2b ^ 2, \,
I = a ^ 2 + b ^ 2. \,

4.2. Канонічне рівняння

Для будь-якого еліпса можна знайти декартову систему координат таку, що еліпс буде описуватися рівнянням (канонічне рівняння еліпса):

\ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1.

Воно описує еліпс з центром на початку координат, осі якого збігаються з осями координат.

Співвідношення

Для визначеності припустимо, що 0 <b \ leqslant a. У цьому випадку величини a і b - Відповідно, велика і мала півосі еліпса.

Знаючи півосі еліпса можна обчислити його фокальное відстань і ексцентриситет:

\ Left | F_1F_2 \ right | = 2 \ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}, \; \; \; e = \ frac {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}} {a} <1.

Координати фокусів еліпса:

\ Left (ae, \, 0 \ right), \; \; \; \ left (-ae, \, 0 \ right).

Еліпс має дві директорки, рівняння яких можна записати як

x = \ frac {a} {e}, \; \; \; x =- \ frac {a} {e}.

Фокальний параметр (тобто половина довжини хорди, що проходить через фокус і перпендикулярній осі еліпса) дорівнює

p = \ frac {b ^ 2} {a}.

Фокальні радіуси, тобто відстані від фокусів до довільної точки кривої \ Left (x, \, y \ right):

r_1 = a + ex, \; \; \; r_2 = a - ex.

Рівняння діаметра, сполученого хордам з кутовим коефіцієнтом k:

y =- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2k} x.

Рівняння дотичних, що проходять через точку \ Left (x_1, y_1 \ right):

\ Frac {y-y_1} {x-x_1} = \ frac {-x_1y_1 \ pm \ sqrt {b ^ 2x_1 ^ 2 + a ^ 2y_1 ^ 2 - a ^ 2b ^ 2}} {a ^ 2 - x_1 ^ 2 }

Рівняння дотичних, що мають даний кутовий коефіцієнт k: :

y = kx \ pm \ sqrt {k ^ 2a ^ 2 + b ^ 2}.

Рівняння нормалі в точці \ Left (x_1, y_1 \ right):

\ Frac {y-y_1} {x-x_1} = \ frac {a ^ 2y_1} {b ^ 2x_1}.

4.3. Параметричне рівняння

Канонічне рівняння еліпса може бути параметризовані:

\ Begin {cases} x = a \, \ cos t \ \ y = b \, \ sin t \ end {cases} \; \; \; 0 \ leqslant t \ leqslant 2 \ pi,

де t \, - Параметр рівняння.

4.4. У полярних координатах з початком у фокусі

Якщо прийняти фокус еліпса за полюс, а велику вісь - за полярну вісь, то його рівняння в полярних координатах \ Left (\ rho, \ varphi \ right) буде мати вигляд

\ Rho = \ frac {p} {1 \ pm e \ cos \ varphi},

де e - ексцентриситет, а p - Фокальний параметр. При позитивному знаку перед e другий фокус еліпса буде знаходитися в точці \ Left (0, 2c \ right), а при негативному - в точці \ Left (\ pi, 2c \ right), де фокальное відстань c = \ frac {pe} {1-e ^ 2}.

Висновок

Нехай r 1 і r 2 - Відстані до даної точки еліпса від першого і другого фокусів. Нехай також полюс системи координат знаходиться в першому фокусі, а кут \ Varphi відраховується від напрямку на другий полюс. Тоді, з визначення еліпса,

r 1 + r 2 = 2 a.

Звідси,

r_2 ^ 2 = \ left (2a - r_1 \ right) ^ 2 = 4a ^ 2 - 4ar_1 + r_1 ^ 2.

З іншого боку, з теореми косинусів

r_2 ^ 2 = r_1 ^ 2 + 4c ^ 2 - 4r_1c \ cos \ varphi.

Виключаючи r 2 з останніх двох рівнянь, отримуємо

r_1 = \ frac {a ^ 2-c ^ 2} {a-c \ cos \ varphi}.

Враховуючи, що

p = a (1 - e 2),

отримуємо дані рівняння.


4.5. У полярних координатах з початком в центрі

Інше рівняння в полярних координатах:

\ Rho ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {1-e ^ 2 \ cos ^ 2 \ varphi}.

5. Довжина дуги еліпса

Довжина дуги плоскої лінії визначається за формулою:

l = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dy} {dt} \ right) ^ 2} \, dt.

Скориставшись параметричним представленням еліпса отримуємо такий вираз:

l = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {a ^ 2 \ sin ^ 2 t + b ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt.

Після заміни b ^ 2 = a ^ 2 \ left (1 - e ^ 2 \ right) вираз для довжини дуги приймає остаточний вигляд:

l = a \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {1 - e ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt, \; \; \; e <1.

Одержаний інтеграл належить сімейству еліптичних інтегралів, які в елементарних функціях не висловлюються, і зводиться до еліптичному інтегралу другого роду E \ left (t, e \ right) . Зокрема, периметр еліпса дорівнює:

l = 4a \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1 - e ^ 2 \ cos ^ 2 t} \, dt = 4aE (e) ,

де E \ left (e \ right) - повний еліптичний інтеграл другого роду.


5.1. Наближені формули для периметра

L = 4 \ frac {\ pi ab + (a-b) ^ 2} {a + b}.

Максимальна похибка цієї формули ~ 0,63% при ексцентриситеті еліпса ~ 0,988 (співвідношення осей ~ 1 / 6, 5). Похибка завжди позитивна.

Приблизно в два рази менші похибки в широкому діапазоні ексцентриситетів дає формула:

L = 4 \ cdot \ left (a ^ x + b ^ x \ right) ^ \ left (1 / x \ right) , Де x = \ frac {\ ln 2} {\ ln \ frac {\ pi} {2}}.

Максимальна похибка цієї формули ~ 0,36% при ексцентриситеті еліпса ~ 0,980 (співвідношення осей ~ 1 / 5). Похибка також завжди позитивна.

Cущественно кращу точність при 0,05 / b <20 забезпечує формула Рамануджана :

L = \ pi [3 (a + b) - \ sqrt {(3a + b) (a +3 b)}].

При ексцентриситеті еліпса ~ 0,980 (співвідношення осей ~ 1 / 5) похибка складає ~ 0,02%. Похибка завжди негативна.


6. Площа еліпса і його сегмента

Площа еліпса обчислюється за формулою

~ S = \ pi a b.

Площа сегмента між дугою, опуклою вліво, і хордою, що проходить через точки \ Left (x, \, y \ right) і \ Left (x, \,-y \ right):

S = \ frac {\ pi ab} {2} + \ frac {b} {a} \ left (x \, \ sqrt {a ^ 2 - x ^ 2} + a ^ 2 \ arcsin \ frac {x} { a} \ right).

Якщо еліпс заданий рівнянням A x 2 + B x y + C y 2 = 1 , То площу можна визначити за формулою

S = \ frac {2 \ pi} {\ sqrt {4 A C - B ^ 2}} .

7. Побудова еліпса

Основна стаття - стаття " Побудова еліпса Вікіпідручник.

У 2-х чорних фокусах - 2 голки, з'єднані ниткою. У червоній крапці - олівець, який натягує нитку

Визначення еліпса також описує побудову еліпса, яке можна виконати за допомогою двох голок, увіткнених в фокуси і з'єднаних ниткою довжиною 2a, яку відтягують олівцем (про це див статті Вікіпідручник).

За допомогою циркуля або циркуля і лінійки можна побудувати будь-яку кількість точок, що належать еліпсу.


7.1. За допомогою циркуля

Нехай дано дві взаімноперпендікулярние прямі (осі майбутнього еліпса) і два відрізки довжиною a (велика піввісь) і b (мала піввісь). Точку перетину прямих позначимо як O, це центр еліпса.

  1. Розчином циркуля, рівним a, з центром в точці O відзначимо на одній з прямих точки P 1 і Р 2, а на другий прямий розчином, рівним b - точки Q 1 і Q 2. Отримані точки є вершинами еліпса, а відрізки P 1 Р 2 і Q 1 Q 2 - його велика і мала осі, відповідно.
  2. Розчином циркуля, рівним a, з центром в точці Q 1 (або Q 2) відзначимо на відрізку P 1 Р 2 точки F 1 і F 2. Отримані точки є фокусами еліпса.
  3. На відрізку P 1 Р 2 виберемо довільну точку T. Потім за допомогою циркуля накреслимо дві окружності: першу - радіуса, рівним довжині відрізка TP 1, с центром в точці F 1 і другу Радус, рівним довжині відрізка TP 2, с центром в точці F 2. Точки перетину цих кіл належать шуканого еліпсу, т.к. сума відстаней з обох фокусів дорівнює довжині великої осі 2a.
  4. Повторюючи кілька разів кроки попереднього пункту, отримаємо необхідне число точок шуканого еліпса.

7.2. За допомогою циркуля і лінійки

Нехай дано дві взаімноперпендікулярние прямі (осі майбутнього еліпса) і два відрізки довжиною a (велика піввісь) і b (мала піввісь). Точку перетину прямих позначимо як O, це центр еліпса.

  1. Розчином циркуля, рівним a, з центром в точці O відзначимо на одній з прямої точки P 1 і Р 2, а на другий прямий розчином, рівним b - точки Q 1 і Q 2. Отримані точки є вершинами еліпса, а відрізки P 1 Р 2 і Q 1 Q 2 - його велика і мала осі, відповідно.
  2. За допомогою лінійки проводимо через точку O довільну похилу лінію. Потім розчином циркуля, рівним а, з центром в точці O відзначаємо на ньому точку S, а розчином, рівним b - точку R.
  3. Потім з точки S опускаємо перепендікуляр на пряму P 1 Р 2. Для цього довільним розчином циркуля (але більшим, ніж відстань від точки до прямої), з центром в точці S відзначаємо на відрізку P 1 Р 2 дві точки, переносимо в них циркуль і відзначаємо тим же радіусом точку персеченія кіл S '. Потім за допомогою лінійки з'єднуємо точки S і S ', це і є шуканий перпендикуляр.
  4. Аналогічним способом опускаємо перепендікуляр з точки R на пряму Q 1 Q 2.
  5. Точка перетину побудованих перпендикулярів належить еліпсу.
  6. Повторюючи кілька разів кроки чотирьох попередніх пунктів, отримаємо необхідне число точок шуканого еліпса.

7.3. За допомогою елліпсографа

Елліпсограф складається з двох повзунів, які можуть рухатися по двох перпендикулярних канавкам або направляють. Повзуни прикріплені до стрижня за допомогою шарнірів, і знаходяться на фіксованій відстані один від одного вздовж стрижня. Повзуни рухаються вперед і назад - кожен зі своєї канавці, - і кінець стержня описує еліпс на площині. Півосі еліпса a і b є відстані від кінця стрижня до шарнірів на повзуна. Зазвичай відстані a і b можна варіювати, і тим самим змінювати форму і розміри описуваного еліпса.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru