Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Еліптичний інтеграл



План:


Введення

В інтегральному обчисленні, еліптичний інтеграл з'явився у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса і був вперше досліджений Джуліо Фаньяно і Леонардом Ейлером.

У сучасному уявленні, еліптичний інтеграл - це деяка функція f , Яка може бути представлена ​​в наступному вигляді:

f (x) = \ int \ limits_ {c} ^ {x} \! R (t, P (t)) \, dt ,

де R - раціональна функція двох аргументів, P - Квадратний корінь з многочлена 3 або 4 ступеня з незбіжними корінням, c - Константа.

У загальному випадку, еліптичний інтеграл не може бути виражений в елементарних функціях; винятком є ​​випадки, коли P має повторювані коріння або коли R (x, y) не містить непарних ступенів y . Однак для кожного еліптичного інтеграла існує механізм приведення його до суми елементарних функцій і трьох нормальних еліптичних інтегралів (тобто еліптичних інтегралів першого, другого і третього роду).


1. Позначення

Еліптичні інтеграли часто представляють у вигляді функції ряду різних аргументів. Ці різні аргументи повністю еквівалентні (вони дають одні й ті ж інтеграли), але може виникнути плутанина, пов'язана з їх різним походженням. У більшості робіт автори дотримуються канонічного найменування. Перш ніж визначити самі інтеграли, необхідно ввести найменування для аргументів:

  • α - Модулярні кут (іноді модулярні кут позначається лігатурою o \! \ varepsilon );
  • k = sin α - Модуль еліптичного інтеграла;
  • m = k 2 = sin 2 α - Параметр;

Іноді, переважно в радянській науковій літературі, під параметром еліптичного інтегралу увазі характеристику нормального еліптичного інтегралу Лежандра 3-го роду (напр. Г. Корн, Т. Корн. "Довідник з математики для науковців та інженерів")

Зауважимо, що представлені вище величини визначаються одна через іншу; визначення однієї з них задає і дві інші.

Еліптичний інтеграл залежить також і від іншого параметра, який, і попередній, можна ввести кількома способами:

Визначення одного з цих параметрів визначає інші. Таким чином, вони можуть використовуватися впереміш. Зауважимо, що u залежить також і від m . Кілька додаткових рівнянь пов'язують u з іншими параметрами:

\ Cos \ varphi = \ operatorname {\ mathrm {cn}} \, u

і

\ Sqrt {1-m \ sin ^ 2 \ varphi} = \ operatorname {\ mathrm {dn}} \, u.

Последєє іноді називається дельта амплітуда і записується як

\ Delta (\ varphi) = \ operatorname {\ mathrm {dn}} \, u .

Іноді в літературі посилаються на додатковий параметр, додатковий модуль або додатковий модулярні кут. Їх вводять наступним способом:

  • m_1 \, = \, 1 - m - Додатковий параметр
  • k '= \ sqrt {1-k ^ 2} - Додатковий модуль
  • {K '} ^ 2 = m_1 \, \! - Додатковий модулярні кут

2. Нормальний еліптичний інтеграл 1-го роду (неповний)

Нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду F визначається як

F (\ varphi, k) = \ int \ limits_0 ^ \ varphi \! \ Frac {d \ theta} {\ sqrt {1 - k ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta}} ,

або, у формі Якобі,

F (x, k) = \ int \ limits_ {0} ^ {x} \! \ Frac {dz} {\ sqrt {(1-z ^ 2) (1-k ^ 2 z ^ 2)}} \, \! .

Позначення еліптичних інтегралів не є універсально загальноприйнятими. Слід розрізняти такі роздільники між змінною і параметром, як "\", "|" і ",". Там, де в якості роздільника використовується вертикальна риса, за нею ставиться параметр інтеграла, тоді як за зворотною косою рисою ставиться модулярні кут. Зокрема, правильне співвідношення

F (\ sin \ varphi, \ sin \ alpha) = F (\ varphi | \ sin ^ 2 \ alpha) = F (\ varphi \ setminus \ alpha) ~ \, \! .

2.1. Окремі випадки

F (\ varphi \ setminus 0) = \ varphi ;
F (i \ varphi \ setminus 0) = i \ varphi ;
F (\ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ}) = \ ln \ left (\ operatorname {sec} \, \ varphi + \ operatorname {tg} \, \ varphi \ right) = \ ln \ operatorname {tg} \ , \ left (\ frac {\ pi} {4} + \ frac {\ varphi} {2} \ right) ;
F (i \ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ}) = i \, \ operatorname {arctg} \, \ left (\ operatorname {sh} \, \ varphi \ right) ;


3. Нормальний еліптичний інтеграл 2-го роду (неповний)

Нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 2-го роду E визначається як

E (\ varphi, k) = \ int \ limits_0 ^ \ varphi \! \ Sqrt {1 - k ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} \, d \ theta

або, використовуючи підстановку x = sin φ ,

E (x, k) = \ int \ limits_ {0} ^ {x} \! \ Frac {\ sqrt {1 - k ^ 2 z ^ 2}} {\ sqrt {1 - z ^ 2}} \, dz .

3.1. Окремі випадки

E (\ varphi \ setminus 0) = \ varphi ;
E (i \ varphi \ setminus 0) = i \ varphi ;
E (\ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ}) = \ sin \ varphi ;
E (i \ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ}) = i \, \ operatorname {sh} \, \ varphi ;


4. Нормальний еліптичний інтеграл 3-го роду (неповний)

Нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 3-го роду \ Pi \, \! визначається як

\ Pi (c; \ varphi, k) = \ int \ limits_ {0} ^ {\ varphi} \! \ Frac {d \ varphi} {(1 + c \ sin ^ 2 \ varphi) \ sqrt {1-k ^ 2 \ sin ^ 2 \ varphi}}

або

\ Pi (c; x, k) = \ int \ limits_ {0} ^ {x} \! \ Frac {dx} {(1 + cx ^ 2) \ sqrt {(1-k ^ 2 x ^ 2) ( 1-x ^ 2)}}

Число c називається характеристикою і може приймати будь-яке значення, незалежно від інших аргументів. Властивості еліптичного інтеграла 3-го роду істотно залежать від величини характеристики. Зауважимо, що значення інтеграла \ Pi (1; \ pi / 2 \ mid m) прямує до нескінченності для будь-яких m .


4.1. Гіперболічний випадок

4.1.1. (0

Введемо додаткові позначення:

\ Varepsilon = \ operatorname {arcsin} \, \ sqrt {\ frac {n} {\ sin ^ 2 \ alpha}}, \ qquad 0 \ leqslant \ varepsilon \ leqslant \ frac {\ pi} {2} \! ;
\ Beta = \ frac {\ pi \, F (\ varepsilon \ setminus \ alpha)} {2 \, K (\ alpha)} ;
q = q (\ alpha) \! ;
\ Nu = \ frac {\ pi \, F (\ varphi \ setminus \ alpha)} {2 \, K (\ alpha)} ;
\ Delta_1 = \ sqrt {\ frac {c} {(1-c) (\ sin ^ 2 \ alpha - c)}}

Тоді можна записати еліптичний інтеграл через тета-функції:

\ Pi (c; \ varphi \ setminus \ alpha) = \ delta_1 \ left [- \ frac {1} {2} \, \ ln \ frac {\ vartheta_4 (\ nu + \ beta)} {\ vartheta_4 (\ nu- \ beta)} + \ nu \, \ frac {\ vartheta_1 '(\ beta)} {\ vartheta_1 (\ beta)} \ right] ,

де

\ Frac {1} {2} \, \ ln \ frac {\ vartheta_4 (\ nu + \ beta)} {\ vartheta_4 (\ nu-\ beta)} = 2 \ sum_ {s = 1} ^ {\ infty} \ frac {q ^ s} {s (1-q ^ {2s})} \ sin {2s \ nu} \, \ sin \, {2s \ beta}

і

\ Frac {\ vartheta_1 '(\ beta)} {\ vartheta_1 (\ beta)} = \ operatorname {ctg} \, \ beta + 4 \ sum_ {s = 1} ^ {\ infty} \ frac {q ^ {2s }} {1 - 2q ^ {2s} \ cos {2 \ beta} + q ^ {4s}} \ sin {2 \ beta}

[ правити ] 4.1.2. (C> 1)

За допомогою підстановки C = \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha} {c} цей випадок зводиться до попереднього, так як 0 <C <\ sin ^ 2 \ alpha \! .

Введемо додатково величину

p_1 = \ sqrt {(c-1) (1 - \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha} {c})} .

Тоді:

\ Pi (c; \ varphi \ setminus \ alpha) = - \ Pi (C; \ varphi \ setminus \ alpha) + F (\ varphi \ setminus \ alpha) + \ frac {1} {2p_1} \ ln \ left [ \ frac {\ Delta (\ varphi) + p_1 \ operatorname {tg} \, \ varphi} {\ Delta (\ varphi) - p_1 \ operatorname {tg} \, \ varphi} \ right]

4.2. Круговий випадок

4.2.1. (M

Введемо додаткові позначення:

\ Varepsilon = \ operatorname {arcsin} \, \ sqrt {\ frac {1-n} {\ cos ^ 2 \ alpha}}, \ qquad 0 \ leqslant \ varepsilon \ leqslant \ frac {\ pi} {2} \! ;
\ Beta = \ frac {\ pi \, F (\ varepsilon \ setminus 90 ^ {\ circ} - \ alpha)} {2 \, K (\ alpha)} ;
q = q (\ alpha) \! ;
\ Nu = \ frac {\ pi \, F (\ varphi \ setminus \ alpha)} {2 \, K (\ alpha)} ;
\ Delta_2 = \ sqrt {\ frac {c} {(1-c) (c - \ sin ^ 2 \ alpha)}}

Тоді еліптичний інтеграл дорівнює:

\ Pi (c; \ varphi \ setminus \ alpha) = \ delta_2 (\ lambda - 4 \ mu \ nu) ,

де

\ Lambda = \ operatorname {arctg} \, (\ operatorname {th} \, \ beta \, \ operatorname {tg} \, \ nu) + 2 \ sum_ {s = 1} ^ {\ infty} \ frac {( -1) ^ {s-1}} {s} \ frac {q ^ {2s}} {1-q ^ {2s}} \ sin {2s \ nu} \, \ operatorname {sh} \, {2s \ beta}

і

\ Mu = \ frac {\ sum_ {s = 1} ^ {\ infty} sq ^ {s ^ 2} \, \ operatorname {sh} \, {2s \ beta}} {1 + \ sum_ {s = 1} ^ {\ infty} q ^ {s ^ 2} \, \ operatorname {ch} \, {2s \ beta}}

4.2.2. (C <0)

За допомогою підстановки C = \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha - c} {1-c} цей випадок зводиться до попереднього, так як \ Sin ^ 2 \ alpha \ <C <1 .

Введемо додатково величину

p_2 = \ sqrt {\ frac {-c \, (\ sin ^ 2 \ alpha-c)} {1-c}} .

Тоді:

\ Sqrt {(1-c) (1 - \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha} {c})} \, \ Pi (c; \ varphi \ setminus \ alpha) = \ sqrt {(1-C) ( 1 - \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha} {C})} \, \ Pi (C; \ varphi \ setminus \ alpha) + \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha \, F (\ varphi \ setminus \ alpha)} {p_2} + \ operatorname {arctg} \, \ left [\ frac {p_2} {2} \ frac {\ sin {2 \ varphi}} {\ Delta (\ varphi)} \ right]

5. Повний нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду

Еліптичний інтеграл Лежандра 1-го рода.png

У випадку, якщо амплітуда \ Varphi нормального еліптичного інтегралу Лежандра 1-го роду дорівнює π / 2 , Він називається повним нормальним еліптичним інтегралом Лежандра 1-го роду:

K (k) = \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ Frac {d \ varphi} {\ sqrt {1-k ^ 2 \ sin ^ 2 \ varphi}} = F (\ pi / 2, k)

або

K (k) = \ int \ limits_ {0} ^ {1} \! \ Frac {dx} {\ sqrt {(1-x ^ 2) (1-k ^ 2 x ^ 2)}}.

Повний еліптичний інтеграл 1-го роду можна представити у вигляді степеневого ряду :

K (k) = \ frac {\ pi} {2} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [\ frac {(2n)!} {2 ^ {2} n n! ^ 2} \ right] ^ 2 k ^ {2n} ,

що еквівалентно вираженню

K (k) = \ frac {\ pi} {2} \ left \ {1 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 k ^ {2} + \ left (\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} \ right) ^ 2 k ^ {4} + \ dots + \ left [\ frac {\ left (2n - 1 \ right )!!}{ \ left (2n \ right)! !} \ right] ^ 2 k ^ {2n} + \ dots \ right \} ,

де n! позначає подвійний факторіал.

Повний еліптичний інтеграл першого роду можна записати через гіпергеометричних функцію наступним чином:

K (k) = \ frac {\ pi} {2} \, _2F_1 \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}; 1; k ^ 2 \ right).

5.1. Окремі випадки

K (0) = \ frac {\ pi} {2}
K (1) = \ infty
K \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) = \ frac {\ Gamma \ left (\ frac {1} {4} \ right) ^ 2} {4 \ sqrt {\ pi} }
K \ left (\ frac {\ sqrt {6} - \ sqrt {2}} {4} \ right) = \ frac {2 ^ {- \ frac {7} {3}} 3 ^ {\ frac {1} {4}} \ Gamma \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ 3} {\ pi}
K \ left (\ frac {\ sqrt {6} + \ sqrt {2}} {4} \ right) = \ frac {2 ^ {- \ frac {7} {3}} 3 ^ {\ frac {3} {4}} \ Gamma \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ 3} {\ pi}
\ Operatorname {sn} \, K = \ sin {\ frac {\ pi} {2}} = 1
\ Operatorname {cn} \, K = \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 0
\ Operatorname {dn} \, K = \ sqrt {1-k ^ 2} = k '



6. Повний нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 2-го роду

Еліптичний інтеграл Лежандра 2-го рода.png

У випадку, якщо амплітуда \ Varphi нормального еліптичного інтегралу Лежандра 2-го роду дорівнює π / 2 , Він називається повним нормальним еліптичним інтегралом Лежандра 2-го роду:

E (k) = \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ Sqrt {1-k ^ 2 \ sin ^ 2 \ varphi} \, d \ varphi = E (\ pi / 2, k )

або

E (k) = \ int \ limits_ {0} ^ {1} \, \ frac {\ sqrt {1-k ^ 2 x ^ 2}} {\ sqrt {1-x ^ 2}} \, dx.

Повний еліптичний інтеграл 2-го роду можна представити у вигляді степеневого ряду :

E (k) = \ frac {\ pi} {2} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [\ frac {(2n)!} {2 ^ {2} n n! ^ 2} \ right] ^ 2 \ frac {k ^ {2n}} {1-2 n}

що еквівалентно вираженню

E (k) = \ frac {\ pi} {2} \ left \ {1 - \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 \ frac {k ^ 2} {1} - \ left ( \ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4} \ right) ^ 2 \ frac {k ^ 4} {3} - \ dots - \ left [\ frac {\ left (2n - 1 \ right)! } {\ left (2n \ right)!} \ right] ^ 2 \ frac {k ^ {2n}} {2 n-1} - \ dots \ right \}.

Повний еліптичний інтеграл 2-го роду можна записати через гіпергеометричних функцію наступним чином:

E (k) = \ frac {\ pi} {2} \, 2F_1 \ left (\ frac {1} {2}, - \ frac {1} {2}; 1; k ^ 2 \ right).

6.1. Окремі випадки

E \ left (0 \ right) = \ frac {\ pi} {2}
E \ left (1 \ right) = 1
E \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) = \ pi ^ {\ frac {3} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {1} {4} \ right) ^ {-2} + \ frac {\ Gamma \ left (\ frac {1} {4} \ right) ^ 2} {8 \ sqrt \ pi}
E \ left (\ frac {\ sqrt {6} - \ sqrt {2}} {4} \ right) = 2 ^ {\ frac {1} {3}} 3 ^ {- \ frac {3} {4} } \ pi ^ 2 \ Gamma \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ {-3} + 2 ^ {- \ frac {10} {3}} 3 ^ {- \ frac {1} { 4}} \ frac {\ sqrt {3} + 1} {\ pi} \ Gamma \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ 3
E \ left (\ frac {\ sqrt {6} + \ sqrt {2}} {4} \ right) = 2 ^ {\ frac 1 березня} 3 ^ {- \ frac {1} {4}} \ pi ^ 2 \ Gamma \ left (\ frac 1 Березня \ right) ^ {-3} + 2 ^ {- \ frac {10} {3}} 3 ^ {\ frac {1} {4}} \ frac {\ sqrt { 3} - 1} {\ pi} \ Gamma \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ 3



7. Повний нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 3-го роду

Аналогічно повним еліптичних інтегралів 1-го і другого роду можна ввести повний еліптичний інтеграл 3-го роду:

\ Pi (c; \ pi / 2, k) = \ Pi (c, k) = \ int \ limits_ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ Frac {d \ varphi} {(1 + c \ sin ^ 2 \ varphi) \ sqrt {1-k ^ 2 \ sin ^ 2 \ varphi}}

або

\ Pi (c, 1, k) = \ int \ limits_ {0} ^ {1} \! \ Frac {dx} {(1 + cx ^ 2) \ sqrt {(1-k ^ 2 x ^ 2) ( 1-x ^ 2)}}

7.1. Гіперболічний випадок

7.1.1. (0

\ Pi (c \ setminus \ alpha) = K (\ alpha) + \ delta_1K (\ alpha) \ Zeta (\ varepsilon \ setminus \ alpha) ,

де \ Zeta (\ varepsilon \ setminus \ alpha) - дзета-функція Якобі

[ правити ] 7.1.2. (C> 1)

\ Pi (c \ setminus \ alpha) = K (\ alpha) - \ Pi (C \ setminus \ alpha) ,

7.2. Круговий випадок

7.2.1. (M

\ Pi (c \ setminus \ alpha) = K (\ alpha) + \ frac {1} {2} \ pi \ delta_2 \ left [1 - \ Lambda_0 (\ varepsilon \ setminus \ alpha) \ right] ,

де \ Lambda_0 (\ varepsilon \ setminus \ alpha) - лямбда-функція Хеймана

7.2.2. (C <0)

\ Pi (c \ setminus \ alpha) = - \ frac {c \ cos ^ 2 \ alpha \, \ Pi (C \ setminus \ alpha)} {(1-c) (\ sin ^ 2 \ alpha-n)} + \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha} {\ sin ^ 2 \ alpha - c} K (\ alpha) ,

8. Додаткові еліптичні інтеграли (неповні)

8.1. Дзета-функція Якобі

Z (\ varphi \ setminus \ alpha) = E (\ varphi \ setminus \ alpha) - \ frac {E (\ alpha) F (\ varphi \ setminus \ alpha)} {K (\ alpha)} \! ;

8.2. Лямбда-функція Хеймана

\ Lambda_ {\ circ} (\ varphi \ setminus \ alpha) = \ frac {F (\ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ} - \ alpha)} {K '(\ alpha)} + \ frac {2} { \ pi} K (\ alpha) \, Z (\ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ} - \ alpha) \!

або

\ Lambda_ {\ circ} (\ varphi \ setminus \ alpha) = \ frac {2} {\ pi} \ left \ {K (\ alpha) \, E (\ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ} - \ alpha ) - \ left [K (\ alpha) - E (\ alpha) \ right] \, F (\ varphi \ setminus 90 ^ {\ circ} - \ alpha) \ right \} \!

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Еліптичний фільтр
Інтеграл
Кратний інтеграл
Стохастичний інтеграл
Невласний інтеграл
Функціональний інтеграл
Гаусів інтеграл
Інтеграл (компанія)
Інтеграл зіткнень
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru