Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Еліптичні функції



План:


Введення

В комплексному аналізі еліптична функція - періодична в двох напрямках функція, задана на комплексній площині. Еліптичні функції можна розглядати як аналоги тригонометричних (що мають тільки один період). Історично, еліптичні функції були відкриті як функції, зворотні еліптичних інтегралів.


1. Визначення

Еліптичної функцією називають таку мероморфних функцію f , Визначену на області \ Mathbb {C} , Для якої існують два ненульових комплексних числа a і b , Таких що:

f (z + a) = f (z + b) = f (z), \ forall z \ in C

а також приватне \ Frac {a} {b} не є дійсним числом.

З цього випливає, що для будь-яких цілих m і n :

f (z + ma + nb) = f (z), \ forall z \ in C \, \! .

Будь-яке комплексне число ω , Таке що

f (z + \ omega) = f (z), \ forall z \ in C ,

називають періодом функції f . Якщо періоди a і b такі, що будь ω може бути записано як:

ω = m a + n b ,

то a і b називають фундаментальними періодами. Кожна еліптична функція має парою фундаментальних періодів.

Паралелограм Π з вершинами в 0 , a , b , a + b називається Фундаментальним параллелограммом.


2. Властивості

  • Не існує відмінних від констант цілих еліптичних функцій. (Перша теорема Ліувілля)
  • Якщо еліптична функція f (z) не має полюсів на кордоні паралелограма α + Π , То сума відрахувань f (z) у всіх полюсах, що лежать всередині α + Π дорівнює нулю. (Друга теорема Ліувілля)
  • Будь еліптична функція з періодами a і b може бути представлена ​​у вигляді

f (z) = h (\ wp (z)) + g (\ wp (z)) {\ wp} '(z)

Де h, g раціональні функції, \ Wp (z)функція Вейерштрасса з тими ж періодами що і у f (z) . Якщо при цьому f (z) є парною функцією, то її можна представити у вигляді f (z) = h (\ wp (z)) , Де h раціональна.

  • Еліптичні функції неелементарни, це було доведено Якобі в 1830-х роках.

Література

  • "Еліптичні криві", Е. Кнепп, Москва, видавництво "Факторіал Пресс", 2004 рік. 6.2 Еліптичні функції.
  • "Введення в теорію функцій комплексного змінного", І. І. Привалов, Москва, Державне видання фізико-математичної літератури, 1960 рік. Глава 11.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Еліптичні функції Вейєрштрасса
Еліптичні функції Якобі
Еліптичні координати
Еліптичні рівняння
Ортогональні функції
Коливання функції
Гессіан функції
Елементарні функції
Функції Бесселя
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru