Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ерлангенськая програма



План:


Введення

Фелікс Клейн

Ерлангенськая програма - виступ 23-річного німецького математика Фелікса Клейна в Ерлангенском університеті (жовтень 1872), в якому він запропонував загальний алгебраїчний підхід до різних геометричних теоріям і намітив перспективний шлях їх розвитку. Доповідь було пов'язане з процедурою затвердження Клейна на посаді професора і був опублікований у тому ж році. Перший російський переклад з'явився в 1895.

В оригіналі доповідь Клейна називався "Порівняльне огляд новітніх геометричних досліджень" ( ньому. Vergleichende Betrachtungen ber neuere geometrische Forschungen ) [1], але в історію науки він увійшов під короткою назвою "Ерлангенськая програма". Вплив цієї програми на подальший розвиток геометрії був надзвичайно великий. На новому рівні повторилося відкриття Декарта : алгебраізація геометрії дозволила отримати глибокі результати, для старих інструментів вкрай скрутні або зовсім недосяжні.


1. Короткий зміст

До середини XIX століття геометрія розділилася на безліч погано узгоджених розділів: евклідова, сферична, гіперболічна, проективна, афінна, конформна, ріманова, багатовимірна, комплексна і т. д. На рубежі століть, вже після доповіді Клейна, до них додалися ще псевдоевклидова геометрія та топологія.

Клейну належить ідея алгебраїчній класифікації різних галузей геометрії у відповідності з тими класами перетворень, які для цієї геометрії несуттєві. Більш точно кажучи, один розділ геометрії відрізняється від іншого тим, що їм відповідають різні групи перетворень простору, а об'єктами вивчення виступають інваріанти таких перетворень [2].

Наприклад, класична евклідова геометрія вивчає властивості фігур і тіл, що зберігаються при рухах без деформації; їй відповідає група, яка містить обертання, переноси та їх поєднання. Проективна геометрія може вивчати конічні перетину, але не має справи з колами або кутами, тому що кола та кути не зберігаються при проективних перетвореннях. Топологія досліджує інваріанти довільних безперервних перетворень (Клейн відзначив це ще до того, як народилася топологія). Вивчаючи алгебраїчні властивості груп перетворень, ми можемо відкрити нові глибокі властивості відповідної геометрії, а також простіше довести старі. Підхід Клейна уніфікував різні геометрії і їхні методи, прояснив їх відмінності. Поза даної схеми залишилася тільки ріманова геометрія; для її включення в загальну систему знадобилося в 1920-х роках значно узагальнити підхід Клейна [3].

Приклад простого докази того, що медіани будь-якого трикутника перетинаються в одній точці. Медіана є аффінних інваріант; якщо в рівносторонньому трикутнику медіани перетинаються в одній точці, то і в будь-якому іншому це буде вірно, тому що будь трикутник можна аффінним перетворенням перетворити в рівносторонній і назад.

Слід зазначити, що після першої алгебраізаціі геометрії Декартом, тобто в аналітичної геометрії, малося одна незручність: часто доводилося окремо доводити геометричний характер результатів, тобто їх незалежність від системи координат. Додатковим гідністю підходу Клейна було те, що отримані інваріанти по самому сенсу свого визначення від системи координат не залежать.


2. Програми

Грунтуючись на викладених ідеях, Клейн описав у доповіді геометрію Лобачевського як простір постійної негативної кривизни, і пояснив зв'язок цієї геометрії з проективної групою. Роком раніше ( 1871) він побудував проективну модель геометрії Лобачевського і тим самим вперше довів її несуперечність, закривши тисячолітню проблему спроб докази п'ятого постулату Евкліда.

Відзначимо також, що підхід Клейна виявився придатним до самих абстрактним геометрія - багатовимірним, неевклідових, неархімедовим і т. д. На початку XX століття Ісай Шур, Еммі Нетер, Елі Картан та інші математики розробили загальну теорію уявлень груп і теорію інваріантів. Ці дослідження не тільки істотно збагатили геометрію, але виявилися необхідні у фізиці. Герман Мінковський у 1905 році включив в схему Клейна теорію відносності, показавши, що з математичної точки зору вона являє собою теорію інваріантів групи Пуанкаре, що діє в чотиривимірному просторі-часі. Аналогічний підхід знадобився у теорії елементарних частинок, квантової теорії і в інших фізичних теоріях [4].


3. Текст в російській перекладі

Література

  • Візгін В. П. До історії "Ерлангенском програми" Ф. Клейна. / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1973. - № 18. - С. 218-248.
    • Доповнений варіант: Візгін В. П. Ерлангенськая програма і фізика. М.: Наука, 1975. 111 з.
  • Клейн Ф. Елементарна математика з точки зору вищої, пер. з нім., 2-е изд., т. 2, М. - Л., 1934.
  • Прасолов В. В., Тихомиров В. М. Геометрія. М.: МЦНМО, 1997, 352 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Програма
Програма А
Програма Вікінг
Поштова програма
Fritz (програма)
Трекер (програма)
Exodus (програма)
Bombus (програма)
Навчальна програма
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru