Ерміта оператор

В математики оператор A в комплексному або дійсному гільбертовому просторі \ Mathfrak H називається ермітових, симметрическим, якщо він задовольняє рівності (Ax, y) = (x, Ay) для всіх x, y з області визначення A . Тут і далі покладається, що (X, y) - скалярний добуток в \ Mathfrak H . Назва дана на честь французького математика Шарля Ерміта.

Оператор в \ Mathfrak H називається самосопряженним, або гіпермаксімальним ермітових, якщо він збігається зі своїм спряженим.

Самосопряженних операторів є симетричним; зворотне, взагалі кажучи, не вірно. Для неперервних операторів, визначених на всьому просторі, поняття симметрический і самосопряженних збігаються.



1. Властивості

1. Спектр (безліч власних чисел) самосопряженних оператора є речовим.

Доказ

Для всякого власного значення \ Lambda за визначенням вірно A \ left (x \ right) = \ lambda x . Отже, за визначенням самосопряженних перетворення дорівнюють наступні вирази:

\ Left ({A \ left (x \ right), x} \ right) = \ left ({\ lambda x, x} \ right) = \ lambda \ left ({x, x} \ right)

і

\ Left ({x, A \ left (x \ right)} \ right) = \ left ({x, \ lambda x} \ right) = \ overline \ lambda \ left ({x, x} \ right) ,

звідки \ Lambda = \ overline \ lambda - Число \ Lambda речовий.

2. В скінченновимірних просторах матриця самосопряженних оператора є ермітових.

Доказ

В унітарній просторі скалярний добуток визначається як \ Left ({x, y} \ right) = \ xi ^ T \ overline \ eta , Де \ Xi і \ Eta - Координатні стовпчики векторів x і y відповідно. Звідси за визначенням самосопряженних операторів дорівнюють вирази

\ Left ({A \ left (x \ right), y} \ right) = \ left ({A \ xi} \ right) ^ T \ overline \ eta = \ xi ^ TA ^ T \ overline \ eta


і

\ Left ({x, A \ left (y \ right)} \ right) = \ xi ^ T \ overline {A \ eta} = \ xi ^ T \ overline A \ overline \ eta

Отже, A ^ T = \ overline A , Що і є визначення ермітових матриці.


3. У ермітових матриці завжди існує ортонормованій базис з власних векторів - власні вектори, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Доказ
Лемма 1. Власні підпростори самосопряженних перетворення попарно ортогональні.
Доказ леми 1: Є два різних власних значення \ Lambda і \ Mu . Відповідно для векторів x і y з відповідних їм власних підпросторів виконується A \ left (x \ right) = \ lambda x і A \ left (y \ right) = \ mu y . Звідси \ Left ({A \ left (x \ right), y} \ right) = \ left ({\ lambda x, y} \ right) = \ lambda \ left ({x, y} \ right) одно \ Left ({x, A \ left (y \ right)} \ right) = \ left ({x, \ mu y} \ right) = \ overline \ mu \ left ({x, y} \ right) . Але власні значення самосопряженних перетворення речовинні, можна з останнього виразу винести \ Left ({x, A \ left (y \ right)} \ right) = \ mu \ left ({x, y} \ right) . Таким чином, за визначенням самосопряженних перетворення можна отримати \ Left ({\ lambda - \ mu} \ right) \ left ({x, y} \ right) = 0 , Звідки при різних власних значень \ Lambda \ ne \ mu ясно, що \ Left ({x, y} \ right) = 0 , Що й потрібно було довести.
Лема 2. Якщо підпростір E ' інваріантно щодо самосопряженних перетворення A , То ортогональне доповнення цього підпростори також інваріантно щодо A .
Доказ леми 2: Відомо, що образ будь-якого вектора x , Що належить підпростір E ' , Лежить в ньому. Отже, для будь-якого вектора y \ in \ left ({E '} \ right) ^ \ bot виконується \ Left ({A \ left (x \ right), y} \ right) = 0 . Так як перетворення A самосопряженних, то звідси випливає, що \ Left ({x, A \ left (y \ right)} \ right) = 0 , Тобто образ будь-якого вектора y з \ Left ({E '} \ right) ^ \ bot належить \ Left ({E '} \ right) ^ \ bot , Що і означає, що підпростір \ Left ({E '} \ right) ^ \ bot інваріантно щодо перетворення A, що й потрібно було довести.
Доказ властивості 3:
Для оператора R в n-мірному просторі існує принаймні одне власне значення \ Lambda_1 . За властивості 1 це власне значення речовинно. Можна знайти відповідальний йому власний вектор е 1. Без обмеження спільності можна вважати, що | E_1 | = 1 . Якщо п = 1, то доказ завершено.
Розглянемо Е 1 - лінійну оболонку елемента е 1, що є одномірним інваріантним власним підпростором R. Нехай Е n-1 - ортогональне доповнення до Е. Тоді по лемі 2 Е n-1 інваріантно щодо розглянутого оператора. Розглянемо його тепер як R ', як чинний тільки в Е n-1. Тоді очевидно, що він буде самосопряженним оператором, заданим в Е n-1, оскільки Е n-1 інваріантно відносно R по лемі 2 і, крім того, для \ Forall х, у \ In Е n: (Rx, y) = (x, Ry), в тому числі і для \ Forall х, у \ In Е n-1.
Застосовуючи викладені вище міркування, знайдемо нове власне значення \ Lambda_2 і відповідний йому власний вектор e_2 . Без обмеження спільності можна вважати, що | E_2 | = 1 . При цьому \ Lambda_2 може випадково співпасти з \ Lambda_1 , Однак, з побудови ясно, що (E_1, e_2) = 0 . Якщо п = 2, то доказ завершено. Інакше розглянемо Е - лінійну оболонку {(E_1, e_2)} і її ортогональне доповнення Е n-2. Знайдемо нове власне значення \ Lambda_3 і відповідний йому власний вектор e_3 і т.д.
Аналогічні міркування проводимо до вичерпання Е n.
Доказ завершено.

2. Матриці

Матрицею, ермітових сполученої до даної, називають матрицю \ Frac {} {} A ^ \ dagger, одержувану з вихідної матриці \ Frac {} {} A шляхом її транспонування і переходу до комплексно сполученої, тобто \ Frac {} {} (A ^ \ dagger) _ {ij} = A ^ * _ {ji}. Матрицю, рівну своєму ермітових сполученню, називають ермітових, або самосопряженних: \ Frac {} {} A ^ \ dagger = A.


3. Застосування

Ермітових операторів грають важливу роль в квантовій механіці, де з їх допомогою представляють спостережувані фізичні величини, см. Принцип невизначеності Гейзенберга.