Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Завдання Кеплера у загальній теорії відносності



План:


Введення

Завдання Кеплера взагалі являє собою проблему відшукання руху двох сферично-симетричних тіл, взаємодіючих гравітаційно. У класичній теорії тяжіння вирішення цієї проблеми було знайдено самим Ісааком Ньютоном: виявилося, що тіла рухатимуться по конічних перетинах, в залежності від початкових умов - по еліпсах, парабола або гіпербол. В рамках загальної теорії відносності з пуристичному точки зору це завдання видається погано поставленої, так як модель абсолютно твердого тіла не можлива в релятивістської фізики (дивись Парадокс Белла, Твердість по Борну), а не абсолютно тверді тіла не будуть при взаємодії сферично-симетричними. Інший підхід включає перехід до точкових тіл, правомірний в ньютонівської фізики, але викликає проблеми в ОТО. Крім цього, крім положень і швидкостей тіл необхідно задати також і початкова гравітаційне поле (метрику) у всьому просторі - проблема початкових умов в ОТО. В силу зазначених причин точного аналітичного рішення задачі Кеплера в ОТО не існує (аналогічно завданню трьох тіл в ньютонівської теорії тяжіння), але є комплекс методів, що дозволяють розрахувати поведінку тіл в рамках даної задачі з необхідною точністю: наближення пробного тіла, постньютоновскій формалізм, чисельна ОТО. У статті часто і без нагадувань мається на увазі, що гравітаційне поле - це те ж саме, що і простір-час.


1. Історичний контекст [1]

За відсутності додаткових зовнішніх сил частинка, що обертається навколо центрального тіла під дією ньютонівської сили гравітації, постійно рухається по одному і тому ж еліпсу. Присутність збурень (наприклад, гравітаційної дії інших планет) змінює траєкторію частинки, яку можна вважати еліпсом, але з постійно змінюються параметрами. Обертання цього еліпса називається прецесією орбіти і може бути виміряна з високою точністю, а також передбачено теоретично, виходячи з відомих величин і напрямів збурюючих сил. Хоча теорія гравітації Ньютона може пояснити 99,26% спостережуваного зсуву перигелію Меркурія, залишок величиною приблизно 40 "на століття не може бути пояснений в її рамках, як це було відкрито Левер'є в 1859 році.

У 1859 році французький астроном, директор Паризької обсерваторії Урбен Жан Жозеф Левер'є знайшов, що прецесія орбіти Меркурія, визначена із спостережень, не зовсім збігається з теоретично передбаченою - перигелій орбіти рухається трохи швидше, ніж випливає з теорії Ньютона після врахування всіх міжпланетних збурень [2]. Ефект був малим - 38 "на століття, але значно перевищував помилки вимірювань - приблизно 1". Значення відкриття було велике і багато фізики, астрономи і небесні механіки XIX століття займалися цим питанням. Було запропоновано безліч рішень в рамках класичної фізики, найвідомішими були: наявність невидимого хмари міжпланетної пилу поблизу Сонця, декомпозиція (квадрупольний момент) Сонця, незнайдений супутник Меркурія або нова ближча до Сонця планета Вулкан [3] [4]. Так як жодне з цих пояснень не витримало перевірки спостереженнями, деякі фізики почали висувати радикальніші гіпотези, що необхідно змінювати сам закон тяжіння, наприклад, міняти в ньому показник ступеня або додавати в потенціал члени, що залежать від швидкості тел [5].

Проте більшість таких спроб виявилися суперечливими. У своїх працях по небесній механіці [6] Лаплас показав, що якщо гравітаційна взаємодія між двома тілами не діє миттєво (що еквівалентно введенню потенціалу, що залежить від швидкостей), то в системі рухомих планет не буде зберігатися імпульс - частина імпульсу буде передаватися гравітаційному полю, аналогічно тому, як це відбувається при електромагнітній взаємодії зарядів у електродинаміці. З ньютоновой точки зору, якщо гравітаційний вплив передається з кінцевою швидкістю і не залежить від швидкостей тіл, то всі крапки планети повинні притягатися до точки, де Сонце було трохи раніше, а не до одночасного його розташування. На цій підставі Лаплас показав, що ексцентриситет і великі півосі орбіт в задачі Кеплера з кінцевою швидкістю гравітації повинні зростати з часом - відчувати вікові зміни. З верхніх меж на зміни цих величин, наступні з стійкості Сонячної системи і руху Місяця, Лаплас показав, що швидкість поширення гравітаційного ньютонова взамодействия не може бути нижчою 50000000 швидкостей світла [3] [5].

Повідомляється чи тяжіння від одного тіла до іншого миттєво? Час передачі, якщо б воно було для нас помітно, виявилося б переважно віковим прискоренням в русі Місяця. Я пропонував це засіб для Пояснення прискорення, поміченого в згаданому русі, і знайшов, що для задоволення спостереженнями повинно приписати притягальної силі швидкість в сім мільйонів разів більшу, ніж швидкість світлового променя. А так як нині причина вікового рівняння - Місяця добре відома, то ми можемо стверджувати, що тяжіння передається зі швидкістю, по крайней мере в п'ятдесят мільйонів разів перевищує швидкість світла. Тому, не побоюючись будь-якої помітної похибки, ми можемо приймати передачу тяжіння за миттєву.

- П. С. Лаплас Виклад системи Миру Париж, 1797. [7]

Метод Лапласа коректний для прямих узагальнень ньютоновой гравітації, але може бути не застосуємо до більш складним моделями. Так, наприклад, в електродинаміці рухомі заряди притягуються / відштовхуються не від видимих ​​положень інших зарядів, а від положень, які вони займали б у даний час, якщо б рухалися від видимих ​​положень рівномірно і прямолінійно - це є властивістю потенціалів Ліенара-Віхерта [8]. Аналогічне розгляд в рамках загальної теорії відносності приводить до такого ж результату з точністю до членів порядку (V / c) ^ 3 [9].

У спробах уникнути викладених проблем між 1870 і 1900 роками багато вчених намагалися використовувати закони гравітаційної взаємодії, засновані на електродинамічних потенціалах Вебера, Гаусса, Рімана і Максвелла [10]. В 1890 Леві вдалося отримати стабільні орбіти і потрібну величину зсуву перигелію шляхом комбінації законів Вебера і Рімана. Інша успішна спроба була зроблена П. Гербером в 1898. Тим не менш, так як вихідні електродинамічні потенціали виявилися невірними (наприклад, закон Вебера не увійшов в остаточну теорію електромагнетизму Максвелла), ці гіпотези були відкинуті як довільні [1] [11]. Деякі інші спроби, такі як теорія Г. Лоренца ( 1900), які вже використовували теорію Максвелла, давали дуже малу прецессию [3] [12].

Близько 1904-1905 років роботи Х. Лоренца, А. Пуанкаре і А. Ейнштейна заклали фундамент спеціальної теорії відносності, виключивши можливість поширення будь-яких взаємодій швидше, ніж зі швидкістю світла. Таким чином, постало завдання замінити ньютоновский закон гравітації на інший, сумісний з принципом відносності, але дає при малих швидкостях і гравітаційних полях майже ньютонівські ефекти. Такі спроби були зроблені А. Пуанкаре (1905 і 1906), Г. Мінковським (1908) і А. Зоммерфельдом (1910). Проте всі розглянуті моделі давали занадто малу величину зсуву перигелію [12] [13].

У 1907 році Ейнштейн прийшов до висновку, що для опису гравітаційного поля необхідно узагальнити тодішню теорію відносності, зараз звану спеціальної. Від 1907 по 1915 рік Ейнштейн послідовно йшов до нової теорії, використовуючи як дороговказною свій принцип відносності. Згідно з цим принципом однорідне гравітаційне поле діє однаковим чином на всю матерію і, отже, не може бути знайдено вільно падаючим спостерігачем. Відповідно, всі локальні гравітаційні ефекти відтворювані в прискорено рухається системі відліку і навпаки. Тому гравітація діє як сила інерції, що виникає через прискорення системи відліку, - така як відцентрова сила або сила Коріоліса, так же само всім цим силам гравітаційна сила пропорційна інертною масою. Як наслідок цієї обставини виходить, що в різних точках простору-часу інерціальні системи відліку мають прискорення один щодо одного. Це можливо описати, тільки якщо пожертвувати класичним припущенням про те, що наш простір описується евклідовій геометрією, і перейти до викривленого простору римановой геометрії. Більш того, викривленої виявляється зв'язок простору і часу, яка і проявляється як сила гравітації в звичайних умовах [14]. Після восьми років роботи (1907-1915) Ейнштейн знайшов закон, який показує, як простір-час викривляється знаходиться в ньому матерією - рівняння Ейнштейна. Гравітація відрізняється від сил інерції тим, що викликається кривизною простору-часу, яка може бути виміряна інваріантно. Перші ж рішення отриманих рівнянь, отримані Ейнштейном (наближено) і Шварцшильда (точно), пояснили аномальну прецесію Меркурія і передбачили подвоєну величину відхилення світла в порівнянні з попередніми евристичними оцінками. Це пророцтво теорії було підтверджено в 1919 році англійськими астрономами.


2. Наближення пробного тіла

У цьому підході вважається, що маса одного тіла m пренебрежимо мала в порівнянні з масою другий M; це непогане наближення навіть для планет, що обертаються навколо Сонця, і практично ідеальне для космічних апаратів. В такому випадку можна вважати, що перше тіло є пробним, тобто воно не вносить збурень в гравітаційне поле другого тіла, а лише слід по геодезичним лініях формованого другим тілом простору-часу. Так як завжди завдання двох тіл розглядається в масштабах, набагато менше космологічних, то впливом лямбда-члена на метрику можна знехтувати і гравітаційне поле якого сферично-симетричного тіла буде даватися рішенням Шварцшильда. Рух легкого тіла, званого в подальшому часткою, таким чином відбувається по геодезичним простору Шварцшильда, якщо знехтувати приливними силами і реакцією гравітаційного випромінювання.

Саме в цьому наближенні Ейнштейном була вперше обчислена аномальна прецесія перигелію Меркурія, що послужило першим підтвердженням загальної теорії відносності і вирішило одну з найвідоміших на той момент проблем небесної механіки. Це ж наближення досить точно описує відхилення світла, інше знамените явище, передбачене загальною теорією відносності. У той же час воно не достатньо для опису процесу релятивістського скорочення орбіт через гравітаційного випромінювання.


2.1. Геометричне введення

У звичайній евклідової геометрії вірна теорема Піфагора, яка стверджує, що квадрат відстані ds між двома нескінченно близькими точками в просторі дорівнює сумі квадратів диференціалів координат

ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}, \, \!

де dx, dy і dz є нескінченно малі різниці між координатами точок по осях x, y і z декартової системи координат. Тепер уявімо собі світ, в якому це вже не так, а відстані задаються співвідношенням

ds ^ {2} = F (x, y, z) dx ^ {2} + G (x, y, z) dy ^ {2} + H (x, y, z) dz ^ {2}, \, \!

де F, G і H - деякі функції положення. Це неважко уявити, тому що ми живемо в такому світі: поверхня Землі вигнута, так що її не можна без спотворень представити на плоскій карті. Недекартови координатні системи також можуть бути прикладом: в сферичних координатах (r, θ, φ) евклідова відстань записується як

ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2}. \, \!

Нарешті, в загальному випадку ми повинні допустити, що лінійки можуть міняти свою координатну довжину не тільки при зміні положення, а й при поворотах. Це призводить до появи перехресних членів у виразі для довжини

ds ^ {2} = g_ {xx} dx ^ {2} + g_ {xy} dx dy + g_ {xz} dx dz + \ cdots + g_ {zy} dz dy + g_ {zz} dz ^ {2} \ , \!

де 6 функцій g xx, g xy і так далі перетворюються при зміні координат як компоненти тензора, званого метричним (або просто метрикою), який визначає всі характеристики простору в цій узагальненій римановой геометрії. У сферичних координатах, наприклад, в метриці немає перехресних членів, а єдині її ненульові компоненти - це g rr = 1, g θθ = r і g φφ = r sin θ.

Зазначимо спеціально, що після завдання метричного тензора в якійсь системі координат вся геометрія ріманова простору виявляється жорстко заданої, і не змінюється при перетвореннях координат. Простіше кажучи, координати - це довільні числа, які лише вказують на точку простору, а відстань, виміряний фізичної лінійкою між двома зафіксованими точками, не залежить від того, які координати ми їм присвоюємо - є інваріантом при зміні координатних сіток.

В спеціальної теорії відносності Альберт Ейнштейн показав, що відстань ds між двома точками в просторі не є інваріантом, а залежить від руху спостерігача. Це відстань виявляється проекцією на одночасне простір істинно інваріантної величини - інтервалу, не залежної від руху спостерігача, але включає в себе крім просторових також і тимчасову координату точок простору-часу, званих при цьому подіями

ds ^ 2 = c ^ {2} dt ^ {2} - dx ^ {2} - dy ^ {2} - dz ^ {2}. \, \!

Аналогічно можна переписати інтервал в сферичних координатах

ds ^ 2 = c ^ {2} dt ^ {2} - dr ^ {2} - r ^ {2} d \ theta ^ {2} - r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta d \ varphi ^ {2}. \, \!

Ця формула є природне узагальнення теореми Піфагора і справедлива за відсутності кривизни простору-часу. В Загалом же теорії відносності простір-час викривлений, так що "відстань" виражається загальною формулою

ds ^ 2 = g_ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}, \, \!

де застосовано правило сумування Ейнштейна - по індексу, зустрічається зверху і знизу, мається на увазі підсумовування по всіх його значень, у даному випадку - чотирьом (трьох просторових і однієї тимчасової координаті). Точні значення компонент метрики визначаються розподілом гравитирующего речовини, його маси, енергії та імпульсу, через рівняння Ейнштейна. Ейнштейн вивів ці рівняння, виходячи з відомих законів збереження енергії та імпульсу, а проте вирішення цих рівнянь передбачили неспостережний раніше явища, типу відхилення світла, які були підтверджені пізніше.


2.2. Метрика Шварцшильда

Єдиним рішенням рівнянь Ейнштейна (без космологічної постійної) для зовнішнього гравітаційного поля сферично-симетрично розподіленої матерії (енергії-імпульсу) є метрика Шварцшильда

{Ds} ^ {2} = \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ frac {dr ^ {2}} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} - r ^ {2} d \ theta ^ {2} - r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}

де

c - швидкість світла в метрах в секунду,
t - тимчасова координата в секундах (збігається з часом, відлічуваних нескінченно віддаленими нерухомими годинами),
r - радіальна координата в метрах (визначається як довжина кола - з центром в точці симетрії - ділити на 2π),
θ і φ - кути в системі сферичних координат в радіанах,
r s - радіус Шварцшильда (в метрах), що характеризує тіло масою M і рівний
r_ {s} = \ frac {2GM} {c ^ {2}}
де G - гравітаційна стала. [15]

Класична теорія гравітації Ньютона є граничним випадком при малих r s / r. На практиці це відношення майже завжди дуже маленьке. Наприклад, для Землі радіус Шварцшильда дорівнює приблизно 9 міліметрам, в той час як супутник на геостаціонарній орбіті знаходиться на r \ simeq42, 164км. Для Сонячної системи це ставлення не перевершує 2 мільйони, і тільки для областей поблизу від чорних дір і нейтронних зірок воно стає істотно великим (до декількох десятих).


2.3. Рівняння геодезичних

Відповідно до загальної теорії відносності, частки пренебрежимо малої маси рухаються по геодезичним лініях простору-часу [16]. В нескривленими просторі далеко від будь-яких притягують тел ці геодезичні представляють собою прямі лінії. У присутності джерел гравітації це вже не так, і рівняння геодезичних записуються так [17] :

\ Frac {d ^ 2x ^ {\ mu}} {dq ^ 2} + \ Gamma ^ {\ mu} _ {\ nu \ lambda} \ frac {dx ^ {\ nu}} {dq} \ frac {dx ^ {\ lambda}} {dq} = 0

де Γ - символи Крістоффеля, а змінна q параметризуються шлях частинки крізь простір-час - її світову лінію, і називається канонічним параметром геодезичної лінії. Символи Крістоффеля залежать тільки від метричного тензора g μν, точніше від того, як він його змінюється від точки до точки. Для временіподобних геодезичних, по яких рухаються масивні частинки, параметр q збігається з власним часом τ з точністю до постійного множника, який зазвичай беруть рівним 1. Для светоподобного світових ліній безмассових часток (таких як фотони) параметр q можна взяти рівним власним часу, так як воно дорівнює нулю, але форма геодезичних все одно описується цим рівнянням. Крім того, светоподобного геодезичні можуть бути отримані як граничний випадок временіподобних при прагненні маси частинки до 0 (якщо зберігати постійної енергію частинки).

Можна спростити проблему, використовуючи симетрію завдання - так ми виключимо з розгляду одну змінну. У будь-якому сферично-симетричному випадку рух відбувається в площині, яку можна вибрати за площину θ = π / 2. Метрика в цій площині має вигляд

ds ^ {2} = \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - \ frac {dr ^ {2}} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} - r ^ {2} d \ varphi ^ {2}.

Так як вона не залежить від \ Varphi і t , То існують два інтеграла руху (див. висновок нижче)

r ^ {2} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} = \ frac {L} {m},
\ Left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} = \ frac {E} {mc ^ {2}}.

Підстановка цих інтегралів в метрику дає

c ^ {2} = \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} \ left (\ frac {dt} {d \ tau} \ right) ^ {2} - \ frac {1} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} \ left (\ frac {dr} {d \ tau} \ right) ^ {2} - r ^ {2} \ left ( \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ right) ^ {2},

так що рівняння руху для частинки стають наступними

\ Left (\ frac {dr} {d \ tau} \ right) ^ {2} = \ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}} - \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ left (c ^ {2} + \ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}} \ right).

Залежність від власного часу можна виключити, скориставшись інтегралом L

\ Left (\ frac {dr} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = \ left (\ frac {dr} {d \ tau} \ right) ^ {2} \ left (\ frac {d \ tau } {d \ varphi} \ right) ^ {2} = \ left (\ frac {dr} {d \ tau} \ right) ^ {2} \ left (\ frac {mr ^ {2}} {L} \ right) ^ {2},

через що рівняння орбіт стає таким

\ Left (\ frac {dr} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = \ frac {r ^ {4}} {b ^ {2}} - \ left (1 - \ frac {r_ {s} } {r} \ right) \ left (\ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}} + r ^ {2} \ right),

де для стислості введені дві характерні довжини a і b

a = \ frac {L} {mc},
b = \ frac {cL} {E}.

Те ж рівняння можна вивести з лагранжева підходу [18] або використовуючи рівняння Гамільтона - Якобі [19] (див. далі). Рішення рівняння орбіт дається виразом

\ Varphi = \ int \ frac {dr} {r ^ {2} \ sqrt {\ frac {1} {b ^ {2}} - \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right ) \ left (\ frac {1} {a ^ {2}} + \ frac {1} {r ^ {2}} \ right)}}.
Відхилення світла зірок гравітаційним полем Сонця, виміряний астрономічної експедицією Еддінгтона ( 1919) і опинилося у відповідності із загальною теорією відносності, поклало початок широкомасштабного визнання теорії Ейнштейна.

2.3.1. Наближена формула для відхилення світла

У межі маси частинки m, що прагне до нуля (або, еквівалентно, a \ rightarrow \ infty ), Рівняння орбіти переходить в

\ Varphi = \ int \ frac {dr} {r ^ {2} \ sqrt {\ frac {1} {b ^ {2}} - \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right ) \ frac {1} {r ^ {2}}}}.

Розкладаючи цей вираз за ступенями відносини r s / r, в першому наближенні отримуємо відхилення δ φ безмассовой частинки при прольоті мимо гравитирующего центру:

\ Delta \ varphi \ approx \ frac {2r_ {s}} {b} = \ frac {4GM} {c ^ {2} b}.

Константу b тут можна інтерпретувати як прицільний параметр - відстань найбільшого наближення. Наближення, використане при виведенні цієї формули, досить точне для більшості практичних застосувань, включаючи вимірювання гравітаційного лінзування. Для світла, що проходить поблизу сонячної поверхні, відхилення становить близько 1,75 кутової секунди.


2.3.2. Зв'язок з класичною механікою і прецесія еліптичних орбіт

Ефективний потенціал для різних значень моменту імпульсу. При малих r потенціал зменшується (на відміну від класичної задачі Кеплера), дозволяючи частці падіння на центр. Тим не менш, при a / r_s = L / mcr_s> \ sqrt3 народилася зовні частка не може подолати потенційний бар'єр і уникає захоплення. При граничному нормованому кутовому моменті a / r_s = \ sqrt3 існує метастабільна кругова орбіта, позначена зеленої колом, і є нескінченно накручуються на неї і скручуються з неї спіральні орбіти. При малих a / r_s частка захоплюється і падає на центр.

Рівняння руху частинки в полі Шварцшильда

\ Left (\ frac {dr} {d \ tau} \ right) ^ {2} = \ frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}} - c ^ {2} + \ frac {r_ {s} c ^ {2}} {r} - \ frac {L ^ {2}} {m ^ {2} r ^ {2}} + \ frac {r_ {s} L ^ {2} } {m ^ {2} r ^ {3}}

можна переписати, використовуючи визначення гравітаційного радіуса r s:

\ Frac {1} {2} m \ left (\ frac {dr} {d \ tau} \ right) ^ {2} = \ left [\ frac {E ^ {2}} {2mc ^ {2}} - \ frac {1} {2} mc ^ {2} \ right] + \ frac {GMm} {r} - \ frac {L ^ {2}} {2m r ^ {2}} + \ frac {GM L ^ {2}} {c ^ {2} mr ^ {3}}

що еквівалентно руху нерелятивистской частинки з енергією \ Frac {E ^ {2}} {2mc ^ {2}} - \ frac {1} {2} mc ^ {2} в одновимірному ефективному потенціалі

V (r) = - \ frac {GMm} {r} + \ frac {L ^ {2}} {2m r ^ {2}} - \ frac {GM L ^ {2}} {c ^ {2} mr ^ {3}}.

Перші два члени відповідають відомим класичним: гравітаційного потенціалу тяжіння Ньютона і відцентровому потенціалу відштовхування, і лише третій член не має аналога в класичній задачі Кеплера. Як показано нижче і в іншій статті, такий член призводить до прецесії еліптичних орбіт на кут δφ за кожен оборот

\ Delta \ varphi \ approx \ frac {6 \ pi GM} {c ^ {2} A \ left (1 - e ^ {2} \ right)}

де A - велика піввісь орбіти, а e - її ексцентриситет.

Третій член має характер притягання і змінює поведінку потенціалу при малих r - замість того, щоб йти в + \ Infty , Перешкоджаючи падінню частки на центр (як це було в класичній задачі Кеплера), потенціал йде на - \ Infty , Дозволяючи частці падати (див. докладніше падіння в чорну діру).


2.3.3. Кругові орбіти і їх стабільність

Радіуси стабільних (блакитна крива) і нестабільних (червона крива) орбіт в залежності від нормованого кутового моменту a / r s = L / mcr s. Графіки зустрічаються в єдиній точці (обведеної зеленої колом), де a / r_s = L / mcr_s = \ sqrt3 . Для порівняння наведено також радіуси завжди стабільних орбіт класичної задачі Кеплера (чорна крива).

Ефективний потенціал V можна переписати через параметри довжини a і b

V (r) = \ frac {mc ^ {2}} {2} \ left [- \ frac {r_ {s}} {r} + \ frac {a ^ {2}} {r ^ {2}} - \ frac {r_ {s} a ^ {2}} {r ^ {3}} \ right].

Кругові орбіти можливі при ефективної силі, рівної нулю

F = - \ frac {dV} {dr} = - \ frac {mc ^ {2}} {2r ^ {4}} \ left [r_ {s} r ^ {2} - 2a ^ {2} r + 3r_ {s} a ^ {2} \ right] = 0,

тобто коли дві притягають сили - Ньютонова гравітація (перший член) та її релятивістська поправка (третій член) - точно збалансовані відразливою відцентровою силою (другий член). Існують два радіуса, на яких досягається ця компенсація

r_ {\ mathrm {outer}} = \ frac {a ^ {2}} {r_ {s}} \ left (1 + \ sqrt {1 - \ frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ { 2}}} \ right),
r_ {\ mathrm {inner}} = \ frac {a ^ {2}} {r_ {s}} \ left (1 - \ sqrt {1 - \ frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ { 2}}} \ right) = \ frac {3a ^ {2}} {r_ {\ mathrm {outer}}},

які прямо виводяться з квадратного рівняння вище. Внутрішній радіус r inner виявляється нестабільним при будь-яких значеннях a, так як сила тяжіння там росте швидше, ніж сила відштовхування, тому будь-яке обурення призводить до падіння частки на центр. Орбіти зовнішнього радіуса стабільні - там релятивістське тяжіння невелике, і їх характер майже збігається з траєкторіями нерелятивистской завдання Кеплера.

Коли a багато більше r s (класичний випадок), розміри орбіт прагнуть до

r_ {\ mathrm {outer}} \ approx \ frac {2a ^ {2}} {r_ {s}},
r_ {\ mathrm {inner}} \ approx \ frac {3} {2} r_ {s}.

Підставляючи визначення a і r s в r outer, отримуємо класичну формулу для частинки на круговій орбіті навколо гравитирующего центру масою M

r_ {\ mathrm {outer}} ^ {3} \ approx \ frac {GM} {\ omega_ {\ varphi} ^ {2}},

де ω φ - орбітальна кутова швидкість частинки.

Коли a прагне до 3 r s (зверху), зовнішній і внутрішній радіуси змикаються до

r_ {\ mathrm {outer}} \ rightarrow r_ {\ mathrm {inner}} \ rightarrow 3 r_ {s}.

Рішення квадратного рівняння гарантує, що r outer завжди більше 3 r s, а r inner лежить між 3/2 r s і 3 r s. Кругові орбіти з радіусом менше 3/2 r s неможливі. Сама орбіта r inner = 3/2 r s є граничним випадком для безмассових частинок, коли a \ rightarrow \ infty , Тому сферу цього радіусу іноді називають фотонної сферою.


2.3.4. Прецесія еліптичних орбіт

В нерелятивистской завданню Кеплера частка слід завжди за одним і тим же ідеального еліпсу (червона орбіта). Загальна теорія відносності змінює силу, що діє на частинку, так що тяжіння зростає швидше, ніж в теорії Ньютона (в шварцшільдових координатах). Це обурення викликає обертання майже еліптичної орбіти (блакитний) - прецессию в напрямку обертання планети; цей ефект надійно виміряно для Меркурія, Венери і Землі. Жовта точка являє собою центр тяжіння, наприклад, Сонце.

Швидкість прецесії орбіти можна вивести з ефективного потенціалу V. Мале відхилення по радіусу від орбіти-кола r = r outer буде осцілліровать з частотою

\ Omega_ {r} ^ {2} = \ frac {1} {m} \ left [\ frac {d ^ {2} V} {dr ^ {2}} \ right] _ {r = r_ {\ mathrm { outer}}} = \ left (\ frac {c ^ {2} r_ {s}} {2 r_ {\ mathrm {outer}} ^ {4}} \ right) \ left (r_ {\ mathrm {outer}} - r_ {\ mathrm {inner}} \ right) = \ omega_ {\ varphi} ^ {2} \ sqrt {1 - \ frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ {2}}}.

Розкладання в ряд дає

\ Omega_ {r} = \ omega_ {\ varphi} \ left (1 - \ frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ {2}} + \ cdots \ right).

Уноженіе на період обертання T призводить до прецесії на одному обороті

\ Delta \ varphi = T \ left (\ omega_ {\ varphi} - \ omega_ {r} \ right) \ approx 2 \ pi \ left (\ frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ {2} } \ right) = \ frac {3 \ pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}} r_ {s} ^ {2},

де ω φ T = 2 п і використано визначення a. Підставляючи r s, отримуємо

\ Delta \ varphi \ approx \ frac {3 \ pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}} \ left (\ frac {4G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4}} \ right) = \ frac {6 \ pi G ^ {2} M ^ {2} m ^ {2}} {c ^ {2} L ^ {2}}.

Використовуючи велику піввісь орбіти A і ексцентриситет e, пов'язані співвідношенням

\ Frac {L ^ {2}} {GMm ^ {2}} = A \ left (1 - e ^ {2} \ right),

ми приходимо до найбільш відомою формулою прецесії

\ Delta \ varphi \ approx \ frac {6 \ pi GM} {c ^ {2} A \ left (1 - e ^ {2} \ right)}.

2.4. Точне рішення для орбіти в еліптичних функціях

Вводячи безрозмірну змінну

\ Zeta = \ frac {r_ {s}} {4r} - \ frac {1} {12}

рівняння для орбіти

\ Left (\ frac {dr} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = \ frac {r ^ {4}} {b ^ {2}} - \ left (1 - \ frac {r_ {s} } {r} \ right) \ left (\ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}} + r ^ {2} \ right)

можна привести до спрощеного виду

\ Left (\ frac {d \ zeta} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = 4 \ zeta ^ {3} - g_ {2} \ zeta - g_ {3},

де постійні безрозмірні коефіцієнти g 2 і g 3 визначені як

\ Begin {align} g_ {2} & = \ frac {1} {12} - \ frac {r_ {s} ^ {2}} {4 a ^ {2}}, \ \ g_ {3} & = \ frac {1} {216} + \ frac {r_ {s} ^ {2}} {24 a ^ {2}} - \ frac {r_ {s} ^ {2}} {16 b ^ {2}}. \ End {align}

Рішення цього рівняння для орбіти задається у вигляді невизначеного інтеграла

\ Varphi - \ varphi_ {0} = \ int \ frac {d \ zeta} {\ sqrt {4 \ zeta ^ {3} - g_ {2} \ zeta - g_ {3}}}.

Звідси випливає, що з точністю до фазового зсуву, \ Zeta = \ wp (\ varphi - \ varphi_ {0}) , Де \ Wp - еліптична функція Вейєрштрасса з параметрами g 2 і g 3, і φ 0 - постійна інтегрування (можливо комплексна).


2.4.1. Якісний характер можливих орбіт

Повний якісний аналіз можливих орбіт в полі Шварцшильда вперше був проведений Ю. Хагіхарой ​​в 1931 році.

Траєкторії в поле Шварцшильда описуються рівнянням руху

\ Left (\ frac {d \ zeta} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = 4 \ zeta ^ {3} - g_ {2} \ zeta - g_ {3}.

Якщо дискримінант \ Delta = g_ {2} ^ {3} - 27 g_ {3} ^ {2} більше 0, то кубічне рівняння

G (\ zeta) = 4 \ zeta ^ {3} - g_ {2} \ zeta - g_ {3} = 0 \,

має три різних дійсних корені e 1, e 2 і e 3, які можна упорядкувати за спаданням

e_ {1}> e_ {2}> e_ {3}.

У такому випадку рішення \ Zeta = \ wp (\ varphi - \ varphi_ {0}) є еліптичної функцією з двома напівперіодами, одним чисто дійсним

\ Omega_ {1} = \ int_ {e_ {1}} ^ {\ infty} \ frac {dz} {\ sqrt {4z ^ {3} - g_ {2} z - g_ {3}}},

і другим - чисто уявним

\ Omega_ {3} = i \ int_ {-e_ {3}} ^ {\ infty} \ frac {dz} {\ sqrt {4z ^ {3} - g_ {2} z - g_ {3}}}.

Залишившись проміжний корінь визначає комплексний напівперіод ω 2 =-ω 1 - ω 3. Ці величини пов'язані з відповідними країнами через рівняння \ Wp (\ omega_ {i}) = e_ {i} (I = 1, 2, 3). Отже, при \ Varphi-\ varphi_0 = n \ omega_i (N - ціле число) похідна ζ звертається в 0, тобто траєкторія досягає периастра або апоастра - точки максимального наближення і видалення, відповідно:

\ Frac {d \ zeta} {d \ phi} = 0 \ \ mathrm {when} \ \ zeta = \ wp (- \ omega_ {i}) = e_ {i}

так як

\ Left (\ frac {d \ zeta} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = G (\ zeta) = 4 \ zeta ^ {3} - g_ {2} \ zeta - g_ {3} = 4 \ left (\ zeta - e_ {1} \ right) \ left (\ zeta - e_ {2} \ right) \ left (\ zeta - e_ {3} \ right).


Якісний характер орбіти залежить від вибору φ 0. Рішення з φ 0 = ω 2 відповідають або орбітах, вагається від ζ = e 2 до ζ = e 3, або траєкторіями, які йдуть на нескінченність (ζ = -1/12). Навпаки, рішення з φ 0, рівним ω 1 або будь-якого іншого дійсному числу, описують орбіти, що сходяться до центру, так як дійсне ζ не може бути менше e 1 і тому буде невідворотно зростати до нескінченності.


2.4.1.1. Квазі-еліптичні орбіти

Рішення \ Zeta = \ wp (\ phi - \ phi_ {0}) , В яких φ 0 = ω 2, дають дійсні значення ζ за умови, що енергія E задовольняє нерівності E c 4. В такому випадку ζ приймає значення в інтервалі e 3ζe 2. Якщо обидва кореня більше -1/12, то ζ не може прийняти цього значення, відповідного догляду частки на нескінченність, тому тіло буде здійснювати фінітного рух, який можна представити як рух по прецессірует еліпсу. Радіальна координата тіла буде нескінченно коливатися між

r_ {min} = \ frac {3r_ {s}} {1 + 12e_ {2}}

і

r_ {max} = \ frac {3r_ {s}} {1 + 12e_ {1}},

які відповідають екстремальним значенням ζ. Дійсний період еліптичної функції Вейерштрасса становить 2ω 1; таким чином, частка повертається до того ж радіусу, коли кутова координата зростає на 2ω 1, що, взагалі кажучи, відрізняється від 2π. Тому орбіта як правило прецессирует, однак при r_ {min} \ ll r_g кут прецесії за один оборот (2ω 1 - 2π) досить малий.


2.4.1.1.1. Стабільні кругові орбіти

Спеціальний випадок 2 e 2 = 2 e 3 = - e 3 відповідає рішенню з ζ = const = e 2 = e 3. Виходить кругова орбіта з r = r outer, не меншим 3 r s. Такі орбіти стійкі, так як малі обурення параметрів призводять до розщеплення коренів, приводячи до квазі-еліптичних орбітах. Наприклад, якщо частку трохи "підштовхнути" в радіальному напрямку, то вона стане коливатися близько незбуреного радіуса, описуючи прецессірует еліпс.


2.4.1.1.2. Інфінітним орбіти

При r, яка прагне до нескінченності, ζ прагне до - 1/12. Тому орбіти, необмежено віддаляються або наближаються з нескінченності до центрального тіла, відповідають періодичним рішень, в яких -1/12 потрапляє в доступний ζ інтервал, тобто при e 3 ≤ - 1/12ζe 2.

2.4.1.1.3. Асимптотично кругові орбіти

Інший спеціальний випадок відповідає - e 3 = 2 e 2 = 2 e 1, то є два кореня G (ζ) є позитивними і рівні один одному, а третій - від'ємний. Орбіти в такому випадку є спіралі, скручуються або накручуються при прагненні φ до нескінченності (не важливо, позитивної або негативної) на коло радіуса r, що визначається співвідношенням

\ Frac {r_ {s}} {4r} - \ frac {1} {12} = e.

Позначивши повторюваний корінь e = n / 3, одержуємо рівняння орбіти, яке легко перевірити безпосередній підстановкою:

\ Zeta = \ frac {r_ {s}} {4r} - \ frac {1} {12} = e - \ frac {n ^ {2}} {\ cosh ^ {2} n \ varphi}.

У таких випадках радіальна координата частинки укладена в межах 2 r s -3 r s.

Рівняння таких орбіт можна отримати з виразу еліптичної функції Вейерштрасса через еліптичні функції Якобі

\ Zeta = \ wp (\ phi - \ phi_ {0}) = e_ {1} + \ left (e_ {1} - e_ {3} \ right) \ frac {\ mathrm {cn} ^ {2} w} {\ mathrm {sn} ^ {2} w},

де w = (\ phi - \ phi_ {0}) \ sqrt {e_ {1} - e_ {3}} і модуль

k = \ sqrt {\ frac {e_ {2}-e_ {3}} {e_ {1}-e_ {3}}}.

У межі збігаються e 2 і e 1, модуль прагне до одиниці, а w переходить в n (φ-φ 0). Вибираючи φ 0 уявним, рівним iK ^ {\ prime} (Чверть періоду), приходимо до наведеної вище формулою.


2.4.1.2. Падіння на центр

В дійсних рішеннях \ Zeta = \ wp (\ phi - \ phi_ {0}) , В яких φ 0 дорівнює ω 1 або деяким іншим дійсним числам, ζ не може стати менше e 1. Через рівнянь руху

\ Left (\ frac {d \ zeta} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = 4 \ zeta ^ {3} - g_ {2} \ zeta - g_ {3} = 4 \ left (\ zeta - e_ {1} \ right) \ left (\ zeta - e_ {2} \ right) \ left (\ zeta - e_ {3} \ right)

ζ безмежно зростає, що відповідає падінню на центр r = 0 після нескінченного числа обертів навколо нього.


2.5. Висновок рівняння орбіт

2.5.1. З рівняння Гамільтона - Якобі

Перевага цього висновку полягає в тому, що він застосовний і до руху частинок, і до поширення хвиль, що легко призводить до вираження для відхилення світла в гравітаційному полі при використанні принципу Ферма. Основна ідея полягає в тому, що завдяки гравітаційному уповільнення часу частини хвильового фронту, які знаходяться ближче до гравитирующих масі, рухаються повільніше ніж ті, які знаходяться далі, що призводить до викривлення розповсюдження хвильового фронту.

В силу загальної коваріантності рівняння Гамільтона - Якобі для однієї частинки в довільних координатах можна записати у вигляді

g ^ {\ mu \ nu} \ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ mu}} \ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ nu}} = m ^ {2} c ^ {2}.

В метриці Шварцшильда це рівняння прийме вигляд

\ Frac {1} {c ^ {2} \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right)} \ left (\ frac {\ partial S} {\ partial t} \ right) ^ {2} - \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ left (\ frac {\ partial S} {\ partial r} \ right) ^ {2} - \ frac {1 } {r ^ {2}} \ left (\ frac {\ partial S} {\ partial \ varphi} \ right) ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2},

де площину відліку \ Theta сферичної системи координат розташована в площині орбіти. Час t і довгота φ - циклічні координати, тому рішення для функції дії S запишеться у вигляді

S =-Et + L \ varphi + S_ {r} (r) \,,

де E і L являють енергію частинки і її кутовий момент, відповідно. Рівняння Гамільтона - Якобі призводить до інтегрального рішенням для радіальної частини S r (r)

S_ {r} (r) = \ int \ frac {L dr} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} \ sqrt {\ frac {1} {b ^ {2}} - \ left ( 1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ left (\ frac {1} {a ^ {2}} + \ frac {1} {r ^ {2}} \ right)}.

Диференціюючи функцію S звичайним чином

\ Frac {\ partial S} {\ partial L} = \ varphi + \ frac {\ partial S_ {r}} {\ partial L} = \ mathrm {constant},

приходимо до рівняння орбіти, отриманому раніше

\ Left (\ frac {dr} {d \ varphi} \ right) ^ {2} = \ frac {r ^ {4}} {b ^ {2}} - \ left (1 - \ frac {r_ {s} } {r} \ right) \ left (\ frac {r ^ {4}} {a ^ {2}} + r ^ {2} \ right).

Цей підхід можна використовувати для елегантного виведення швидкості прецесії орбіти [20].

У межі нульової маси m (або, що еквівалентно, нескінченного a), радіальна частина дії S стає рівною

S_ {r} (r) = \ frac {E} {c} \ int dr \ sqrt {\ frac {r ^ {2}} {\ left (r - r_ {s} \ right) ^ {2}} - \ frac {b ^ {2}} {r \ left (r - r_ {s} \ right)}},

з цього виразу виводиться рівняння для відхилення променя світла [20].


2.5.2. З рівнянь Лагранжа

У загальній теорії відносності вільні частинки з пренебрежимо малою масою m, підкоряючись принципу еквівалентності, рухаються по геодезичним в просторі-часі, створюваному тяжіють масами. Геодезичні простору-часу визначаються як криві, малі варіації яких - при фіксованих початковій і кінцевій точках - не змінюють їх довжину s. Це можна виразити математично за допомогою варіаційного обчислення

0 = \ delta s = \ delta \ int ds = \ delta \ int \ sqrt {g_ {\ mu \ nu} \ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau} \ frac {dx ^ {\ nu} } {d \ tau}} d \ tau = \ delta \ int \ sqrt {2T} d \ tau,

де τ - власний час, s = - довжина в просторі-часі, і величина T визначена як

2T = c ^ {2} = \ left (\ frac {ds} {d \ tau} \ right) ^ {2} = g_ {\ mu \ nu} \ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau } \ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} = \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} \ left (\ frac {dt} { d \ tau} \ right) ^ {2} - \ frac {1} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} \ left (\ frac {dr} {d \ tau} \ right) ^ { 2} - r ^ {2} \ left (\ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ right) ^ {2},

за аналогією з кінетичної енергією. Якщо похідну за власним часу для стислості позначити точкою

\ Dot {x} ^ {\ mu} = \ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau},

то T можна записати у вигляді

2T = c ^ {2} = \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} \ left (\ dot {t} \ right) ^ {2} - \ frac {1} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} \ left (\ dot {r} \ right) ^ {2} - r ^ {2} \ left (\ dot {\ varphi} \ right ) ^ {2}.

Постійні величини, такі як c або корінь квадратний з двох, не впливають на відповідь варіаційної завдання, і таким чином, переносячи варіацію під інтеграл, приходимо до варіаційного принципу Гамільтона

0 = \ delta \ int \ sqrt {2T} d \ tau = \ int \ frac {\ delta T} {\ sqrt {2T}} d \ tau = \ frac {1} {c} \ delta \ int T d \ tau.

Рішення варіаційної задачі дається рівняннями Лагранжа

\ Frac {d} {d \ tau} \ left (\ frac {\ partial T} {\ partial \ dot {x} ^ {\ sigma}} \ right) = \ frac {\ partial T} {\ partial x ^ {\ sigma}}.

Коли вони застосовуються до t і φ, ці рівняння призводять до існування зберігаються величин

\ Frac {d} {d \ tau} \ left [r ^ {2} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ right] = 0,
\ Frac {d} {d \ tau} \ left [\ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} \ right] = 0,

що можна переписати як рівняння для L і E

r ^ {2} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} = \ frac {L} {m},
\ Left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} = \ frac {E} {mc ^ {2}}.

Як показано вище, підстановка цих рівнянь у визначення метрики Шварцшильда призводить до рівняння орбіт.


2.5.3. З принципу Гамільтона

Інтеграл дії для частинки в гравітаційному полі має вигляд

S = \ int {- mc ^ 2 d \ tau} = - mc \ int {c \ frac {d \ tau} {dq} dq} = - mc \ int {\ sqrt {g_ {\ mu \ nu} \ frac {dx ^ {\ mu}} {dq} \ frac {dx ^ {\ nu}} {dq}} dq},

де τ - власний час і q - гладка параметризація світової лінії частки. Якщо застосувати варіаційне числення, то з цього виразу негайно слідують рівняння для геодезичних. Обчислення можна спростити, якщо взяти варіацію від квадрата подинтегрального вираження. В поле Шварцшильда цей квадрат дорівнює

\ Left (c \ frac {d \ tau} {dq} \ right) ^ 2 = g_ {\ mu \ nu} \ frac {dx ^ {\ mu}} {dq} \ frac {dx ^ {\ nu}} {dq} = \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} \ left (\ frac {dt} {dq} \ right) ^ {2} - \ frac { 1} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} \ left (\ frac {dr} {dq} \ right) ^ {2} - r ^ {2} \ left (\ frac {d \ varphi } {dq} \ right) ^ {2}.

Порахувавши варіацію, отримаємо

\ Delta \ left (c \ frac {d \ tau} {dq} \ right) ^ 2 = 2 c ^ {2} \ frac {d \ tau} {dq} \ delta \ frac {d \ tau} {dq} = \ delta \ left [\ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} \ left (\ frac {dt} {dq} \ right) ^ {2} - \ frac {1} {1 - \ frac {r_ {s}} {r}} \ left (\ frac {dr} {dq} \ right) ^ {2} - r ^ {2} \ left (\ frac {d \ varphi} {dq} \ right) ^ {2} \ right].

Взявши варіацію тільки по довготі φ

2 c ^ {2} \ frac {d \ tau} {dq} \ delta \ frac {d \ tau} {dq} = - 2 r ^ {2} \ frac {d \ varphi} {dq} \ delta \ frac {d \ varphi} {dq}

поділимо на 2 c \ frac {d \ tau} {dq} , Щоб отримати варіацію подинтегрального вираження

c \, \ delta \ frac {d \ tau} {dq} = - \ frac {r ^ {2}} {c} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ delta \ frac {d \ varphi} {dq} = - \ frac {r ^ {2}} {c} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ frac {d \ delta \ varphi} {dq}.

Таким чином

0 = \ delta \ int {c \ frac {d \ tau} {dq} dq} = \ int {c \ delta \ frac {d \ tau} {dq} dq} = \ int {- \ frac {r ^ { 2}} {c} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ frac {d \ delta \ varphi} {dq} dq},

та інтегрування по частинах призводить до

0 = - \ frac {r ^ {2}} {c} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ delta \ varphi - \ int {\ frac {d} {dq} \ left [- \ frac { r ^ {2}} {c} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ right] \ delta \ varphi dq}.

Варіація по довготі зникає в граничних точках і перший доданок зануляется. Інтеграл можна зробити рівним нулю при довільному виборі δφ тільки якщо інші множники під інтегралом завжди дорівнюють нулю. Таким чином ми приходимо до рівняння руху

\ Frac {d} {dq} \ left [- \ frac {r ^ {2}} {c} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} \ right] = 0.

При варіації за часом t отримаємо

2 c ^ {2} \ frac {d \ tau} {dq} \ delta \ frac {d \ tau} {dq} = 2 \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) c ^ {2} \ frac {dt} {dq} \ delta \ frac {dt} {dq},

що після поділу на 2 c \ frac {d \ tau} {dq} дає варіацію подинтегрального вираження

c \ delta \ frac {d \ tau} {dq} = c \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} \ delta \ frac {dt } {dq} = c \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} \ frac {d \ delta t} {dq}.

Звідси

0 = \ delta \ int {c \ frac {d \ tau} {dq} dq} = \ int {c \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} { d \ tau} \ frac {d \ delta t} {dq} dq}

і знову інтегрування по частинах призводить до вираження

0 = c \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} \ delta t - \ int {\ frac {d} {dq} \ left [ c \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} \ right] \ delta t dq},

з якого випливає рівняння руху

\ Frac {d} {dq} \ left [c \ left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} \ right] = 0.

Якщо проінтегрувати ці рівняння руху і визначити постійні інтегрування, ми знову прийдемо до рівнянь

r ^ {2} \ frac {d \ varphi} {d \ tau} = \ frac {L} {m},
\ Left (1 - \ frac {r_ {s}} {r} \ right) \ frac {dt} {d \ tau} = \ frac {E} {mc ^ {2}}.

Ці два рівняння для інтегралів руху L і E можна поєднати в одне, яке буде працювати навіть для фотона та інших безмассових частинок, для яких власний час вздовж геодезичної дорівнює нулю:

\ Frac {r ^ {2}} {bc} \ frac {d \ varphi} {dt} = 1 - \ frac {r_ {s}} {r}.

3. Постньютоновскіе підходи

Так як в реальних задачах наближення пробного тіла іноді має недостатню точність, то існують уточнюючі його підходи, одним з яких є застосування постньютоновского формалізму (ПН-формалізму), розвиненого в працях Еддінгтона, Фока, Дамур та інших вчених-релятивістів. Кілька перебільшуючи, можна сказати, що в цьому підході відбувається розкладання рівнянь руху тіл, одержуваних з рівнянь Ейнштейна, до лав по малому ПН-параметру 1 / c ^ 2 , І облік членів лише до певної міри цього параметра. Уже застосування 2,5 ПН рівня (1 / c ^ 5) призводить до передбачення гравітаційного випромінювання та відповідного зменшення періоду звернення гравітаційно пов'язаної системи. Поправки вищого порядку також проявляються в русі об'єктів, наприклад, подвійних пульсарів. Рух планет і їх супутників, астероїдів, а також космічних апаратів в Сонячній системі зараз розраховується в першому ПН-наближенні.


3.1. Поправки до геодезичного рішенням

3.1.1. Випромінювання гравітаційних хвиль і втрата енергії і моменту імпульсу

Експериментально виміряне зменшення періоду обігу подвійного пульсара PSR B1913 +16 (сині точки) з високою точністю відповідає прогнозам ОТО (чорна крива).

Згідно загальної теорії відносності, два тіла, що обертаються одна навколо одної, випускають гравітаційні хвилі, що призводить до відмінності орбіт від геодезичних, розрахованих вище. Для планет Сонячної системи цей ефект надзвичайно малий, але він може грати істотну роль в еволюції тісних подвійних зірок.

Зміна орбіт спостерігається в декількох системах, самої знаменитої з них є подвійний пульсар, відомий під назвою PSR B1913 +16, за дослідження якого Алан Халс і Джозеф Тейлор отримали Нобелівську премію з фізики 1993. Дві нейтронні зірки в цій системі знаходяться дуже близько один від одного і здійснюють оборот за 465 хвилин. Їх орбіта являє собою витягнутий еліпс з ексцентриситетом 0.62 (62%). Відповідно до загальної теорії відносності короткий період обертання і високий ексцентриситет робить систему прекрасним джерелом гравітаційних хвиль, що призводить до втрат енергії і зменшення періоду обігу. Спостережувані зміни періоду протягом тридцяти років добре узгоджуються з передбаченнями загальної теорії відносності з найкращого досяжною зараз точністю (близько 0,2% станом на 2009). Загальна теорія відносності пророкує, що через 300 мільйонів років ця подвійна зірка зіллється в одну.

Дві швидко обертаються одна навколо одної нейтронні зірки втрачають енергію за допомогою випускання гравітаційного випромінювання. При втраті енергії вони все більше зближуються і частота звернення зростає.

Формула, що описує втрату енергії та кутового моменту завдяки гравітаційному випромінюванню від двох тіл в задачі Кеплера, була отримана в 1963 [21]. Швидкість втрати енергії (усереднена по періоду) задається у вигляді [22]

- \ Langle \ frac {dE} {dt} \ rangle = \ frac {32G ^ {4} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right)} {5c ^ {5} a ^ {5} \ left (1 - e ^ {2} \ right) ^ {7/2}} \ left (1 + \ frac {73} {24} e ^ {2} + \ frac {37} {96} e ^ {4} \ right),

де e - ексцентриситет, а a - велика піввісь еліптичної орбіти. Кутові дужки в лівій частині виразу позначають усереднення по одній орбіті. Аналогічно для втрати кутового моменту можна записати

- \ Langle \ frac {dL_ {z}} {dt} \ rangle = \ frac {32G ^ {7/2} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} \ sqrt {m_ {1} + m_ {2}}} {5c ^ {5} a ^ {7/2} \ left (1 - e ^ {2} \ right) ^ {2}} \ left (1 + \ frac {7} {8 } e ^ {2} \ right).

Втрати енергії та кутового моменту значно зростають, якщо ексцентриситет прагне до 1, тобто якщо еліпс є сильно витягнутим. Інтенсивність випромінювання також збільшується при зменшенні розміру a орбіти. Втрата моменту імпульсу при випромінюванні така, що з часом ексцентриситет орбіти зменшується, і вона прагне до кругової з постійно зменшуваним радіусом.


4. Примітки та посилання

  1. 1 2 Роузвера Н. Т. Перигелій Меркурія. Від Левер'є до Ейнштейна = Roseveare NT Mercury's perigelion from Le Verrier to Einstein / Пер. з англ. А. С. Расторгуєва під ред. В. К. Абалакіна. - Москва: Мир, 1985. - 246 с. - 10 000 екз.
  2. Le Verrier, UJJ (1859). " Sur la thorie de Mercure et sur ​​le mouvement du prihlie de cette plante ". Comptes rendus hebdomadaires des sances de l'Acadmie des sciences 49: 379-383.
  3. 1 2 3 Pais 1982
  4. Марі-Антуанетт Тунель ОСНОВИ ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ і теорія відносності МОСКВА: ВИДАВНИЦТВО ІНОЗЕМНОЇ ЛІТЕРАТУРИ, 1962. Глава II, 1.2.
  5. 1 2 А. Ф. Богородський Всесвітнє тяжіння Київ: Наукова думка, 1971. Глава 2.
  6. PS Laplасе Mecanique celeste, 4, livre X Paris, 1805.
  7. Цитується за книгою: Борис Миколайович Воронцов-Вельямінов Лаплас Москва: Жургазоб'едіненіе, 1937.
  8. Фейнман розбирає цю проблему в 6 томі Фейнмановских лекцій з фізики, глава 21, 1.
  9. А. Ф. Богородський Ibid. Глава 5, параграф 15.
  10. Тредер Г.-Ю. Глава I / / Відносність інерції = Hans-Jrgen Treder. Die Relativitt der Trgheit. Berlin, 1972. / Пер. з нім. К. А. Бронникова. За редакцією проф. К. П. Станюковича. - Москва: Атомиздат, 1975. - 128 с. - 6600 екз.
  11. Zenneck, J. (1903). " Gravitation "(German). Encyklopdie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen 5: 25-67.
  12. 1 2 Візгін В. П. Глава I, розділ 2. / / Релятивістська теорія тяжіння (витоки і формування. 1900-1915 рр..). - Москва: Наука, 1981. - 352 с. - 2000 екз.
  13. Walter, S. (2007), Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905-1910, in Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer). - Т. 3: 193-252
  14. Ньютонівську теорію тяжіння можна сформулювати як викривлення цьому зв'язку, див Мізнер Ч., Торн К., Уїлер Дж. Гравітація. М.: Мир, 1977. Том 1. Глава 12.
  15. Landau 1975.
  16. Це справедливо для частинок пилоподібної матерії і для не занадто швидко обертаються тіл, як показано в 4 і 7 IV розділу книги Дж. Л. Сінга Загальна теорія відносності, Москва, ІЛ, 1963.
  17. Weinberg 1972.
  18. Whittaker 1937.
  19. Landau and Lifshitz (1975), pp. 306-309.
  20. 1 2 Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М. Теоретична фізика: Учеб. посіб.: Для вузів. У 10 т. Т. II. Теорія поля. - 8-е изд., Стереотипами. - М.: Физматлит, 2003. - 536 с. - ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II). 101.
  21. Peters PC, Mathews J (1963). "Unknown title". Physical Review 131: 435 -?. DOI : 10.1103/PhysRev.131.435.
  22. Landau and Lifshitz, p. 356-357.

Література

  • Adler R Introduction to General Relativity. - New York: McGraw-Hill Book Company, 1965. - P. pp. 177-193. - ISBN 978-0-07-000420-7
  • Einstein A The Meaning of Relativity. - 5th. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1956. - P. pp. 92-97. - ISBN 978-0-691-02352-6
  • Hagihara, Y (1931). "Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild". Japanese Journal of Astronomy and Geophysics 8: 67-176. ISSN 0368-346X.
  • Lanczos C The Variational Principles of Mechanics. - 4th. - New York: Dover Publications, 1986. - P. pp. 330-338. - ISBN 978-0-486-65067-8
  • Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М. Теоретична фізика: Учеб. посіб.: Для вузів. У 10 т. Т. II. Теорія поля .. - 8-е изд., Стереотипами .. - М .: Физматлит, 2003. - ISBN 5-9221-0056-4 - 101.
  • Misner CW Gravitation. - San Francisco: WH Freeman, 1973. - P. Chapter 25 (pp. 636-687), 33.5 (pp. 897-901), and 40.5 (pp. 1110-1116). - ISBN 978-0-7167-0344-0 (See Gravitation (book).)
  • Pais A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. - Oxford University Press, 1982. - P. pp. 253-256. - ISBN 0-19-520438-7
  • Pauli W Theory of Relativity. - New York: Dover Publications, 1958. - P. pp. 40-41, 166-169. - ISBN 978-0-486-64152-2
  • Rindler W Essential Relativity: Special, General, and Cosmological. - Revised 2nd. - New York: Springer Verlag, 1977. - P. pp. 143-149. - ISBN 978-0-387-10090-6
  • Synge JL Relativity: The General Theory. - Amsterdam: North-Holland Publishing, 1960. - P. pp. 289-298. - ISBN 978-0-7204-0066-3
  • Wald RM General Relativity. - Chicago: The University of Chicago Press, 1984. - P. pp. 136-146. - ISBN 978-0-226-87032-8
  • Walter, S. Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905-1910 / / The Genesis of General Relativity / Renn, J.. - Berlin: Springer, 2007. - Т. 3. - P. 193-252.
  • Weinberg S Gravitation and Cosmology. - New York: John Wiley and Sons, 1972. - P. pp. 185-201. - ISBN 978-0-471-92567-5


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Список фундаментальних книг і робіт по загальній теорії відносності
Історія теорії відносності
Пророцтва загальної теорії відносності
Золотий вік теорії відносності
Математичне формулювання загальної теорії відносності
Міжнародне товариство загальної теорії відносності і гравітації
Закони Кеплера
Закони Кеплера
Теорія відносності
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru