Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Закони Кеплера



Закони Кеплера - три емпіричних співвідношення, інтуїтивно підібраних Іоганном Кеплером на основі аналізу астрономічних спостережень Тихо Браге. Описують ідеалізовану геліоцентричну орбіту планети. У рамках класичної механіки виводяться з рішення задачі двох тіл граничним переходом m p / m S → 0, де m p , m S - Маси планети і Сонця.


Перший закон Кеплера (закон еліпсів)

Перший закон Кеплера.

Кожна планета Сонячної системи звертається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Форма еліпса і ступінь його схожості з колом характеризується відношенням e = \ frac {c} {a} , Де c - Відстань від центру еліпса до його фокусу (половина межфокусного відстані), a - велика піввісь. Величина e називається ексцентриситетом еліпса. При c = 0 і e = 0 еліпс перетворюється в коло.

Доказ першого закону Кеплера

Закон всесвітнього тяжіння Ньютона говорить, що "кожен об'єкт у Всесвіті притягує кожен другий об'єкт по лінії з'єднує центри мас об'єктів, пропорційно масі кожного об'єкта, і обернено пропорційно квадрату відстані між об'єктами". Це передбачає, що прискорення a має форму

\ Mathbf {a} = \ frac {d ^ 2 \ mathbf {r}} {dt ^ 2} = f (r) \ hat {\ mathbf {r}}.

Згадаймо, що в полярних координатах

\ Frac {d \ mathbf {r}} {dt} = \ dot r \ hat {\ mathbf {r}} + r \ dot \ theta \ hat {\ boldsymbol \ theta},
\ Frac {d ^ 2 \ mathbf {r}} {dt ^ 2} = (\ ddot r - r \ dot \ theta ^ 2) \ hat {\ mathbf {r}} + (r \ ddot \ theta + 2 \ dot r \ dot \ theta) \ hat {\ boldsymbol \ theta}.

В координатній формі запишемо

\ Ddot r - r \ dot \ theta ^ 2 = f (r),
r \ ddot \ theta + 2 \ dot r \ dot \ theta = 0.

Підставляючи \ Ddot \ theta і \ Dot r на друге рівняння, одержимо

r {d \ dot \ theta \ over dt} + 2 {dr \ over dt} \ dot \ theta = 0,

яке спрощується

\ Frac {d \ dot \ theta} {\ dot \ theta} = -2 \ frac {dr} {r}.

Після інтегрування запишемо вираз

\ Ln \ dot \ theta = -2 \ ln r + \ ln \ ell,
\ Ln \ ell = \ ln r ^ 2 + \ ln \ dot \ theta,
\ Ell = r ^ 2 \ dot \ theta,

для деякої константи \ Ell , Яка є питомою кутовим моментом ( \ Ell = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} ). Нехай

r = \ frac {1} {u},
\ Dot r = - \ frac {1} {u ^ 2} \ dot u = - \ frac {1} {u ^ 2} \ frac {d \ theta} {dt} \ frac {du} {d \ theta} = - \ ell \ frac {du} {d \ theta},
\ Ddot r = - \ ell \ frac {d} {dt} \ frac {du} {d \ theta} = - \ ell \ dot \ theta \ frac {d ^ 2u} {d \ theta ^ 2} = - \ ell ^ 2u ^ 2 \ frac {d ^ 2u} {d \ theta ^ 2}.

Рівняння руху в напрямку \ Hat {\ mathbf {r}} стає рівним

\ Frac {d ^ 2u} {d \ theta ^ 2} + u = - \ frac {1} {\ ell ^ 2u ^ 2} f \ left (\ frac {1} {u} \ right).

Закон всесвітнього тяжіння Ньютона пов'язує силу на одиницю маси з відстанню як

f \ left ({1 \ over u} \ right) = f (r) = - \, {GM \ over r ^ 2} = - GM u ^ 2

де G - універсальна гравітаційна константа і M - маса зірки.

В результаті

\ Frac {d ^ 2u} {d \ theta ^ 2} + u = \ frac {GM} {\ ell ^ 2}.

Це диференціальне рівняння має спільне рішення:

u = \ frac {GM} {\ ell ^ 2} \ left [1 + e \ cos (\ theta-\ theta_0) \ right].

для довільних констант інтегрування e і θ 0.

Замінюючи u на 1 / r і вважаючи θ 0 = 0, отримаємо:

r = {1 \ over u} = \ frac {\ ell ^ 2 / GM} {1 + e \ cos \ theta}.

Ми маємо рівняння конічного перетину з ексцентриситетом e і початком системи координат в одному з фокусів. Таким чином, перший закон Кеплера прямо випливає із закону всесвітнього тяжіння Ньютона і другого закону Ньютона.


Другий закон Кеплера (закон площ)

Другий закон Кеплера.

Кожна планета рухається в площині, що проходить через центр Сонця, причому за рівні проміжки часу радіус-вектор, що з'єднує Сонце і планету, описує рівні площі.

Стосовно до нашої Сонячної системи, з цим законом пов'язані два поняття: перигелій - найближча до Сонця точка орбіти, і афелій - найбільш віддалена точка орбіти. Таким чином, з другого закону Кеплера випливає, що планета рухається навколо Сонця нерівномірно, маючи в перигелії велику лінійну швидкість, ніж в афелії.

Щороку на початку січня Земля, проходячи через перигелій, рухається швидше, тому видиме переміщення Сонця по екліптиці на схід також відбувається швидше, ніж у середньому за рік. На початку липня Земля, проходячи афелій, рухається повільніше, тому і переміщення Сонця по екліптиці сповільнюється. Закон площ вказує, що сила, керуюча орбітальним рухом планет, спрямована до Сонця.

Доказ другого закону Кеплера

За визначенням кутовий момент \ Mathbf {L} точкової частинки з масою m і швидкістю \ Mathbf {v} записується у вигляді:

\ Mathbf {L} \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times (m \ mathbf {v}) .

де \ Mathbf {r} - Радіус-вектор частинки а \ Mathbf {p} = m \ mathbf {v} - Імпульс частинки. Площа, замітає радіус-вектором \ Mathbf {r} за час d t з геометричних міркувань дорівнює dS = r \ sin \ theta v dt = | \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} | dt = (| \ mathbf {L} | / m) dt , Де θ являє собою кут між напрямками \ Mathbf {r} і \ Mathbf {v} .

За визначенню

\ Mathbf {v} = \ frac {d \ mathbf {r}} {dt} .

У результаті ми маємо

\ Mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times m \ frac {d \ mathbf {r}} {dt} .

Продифференцируем обидві частини рівняння за часом

\ Frac {d \ mathbf {L}} {dt} = (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) + \ left (\ frac {d \ mathbf {r}} {dt} \ times m \ frac {d \ mathbf {r}} {dt} \ right) = (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}) + (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {p}) = 0

оскільки векторний добуток паралельних векторів дорівнює нулю. Зауважимо, що F завжди паралельний r, оскільки сила радіальна, і p завжди паралельний v за визначенням. Таким чином можна стверджувати, що | \ Mathbf {L} | , А отже і пропорційна їй швидкість замітання площі \ Frac {dS} {dt} - Константа.


Третій закон Кеплера (гармонійний закон)

Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей орбіт планет. Справедливо не тільки для планет, але й для їхніх супутників.

\ Frac {T_1 ^ 2} {T_2 ^ 2} = \ frac {a_1 ^ 3} {a_2 ^ 3} , Де T 1 і T 2 - Періоди обертання двох планет навколо Сонця, а a 1 і a 2 - Довжини великих півосей їхніх орбіт.

Ньютон встановив, що гравітаційне тяжіння планети певної маси залежить тільки від відстані до неї, а не від інших властивостей, таких, як склад чи температура. Він показав також, що третій закон Кеплера не зовсім точний - насправді в нього входить і маса планети: \ Frac {T_1 ^ 2 (M + m_1)} {T_2 ^ 2 (M + m_2)} = \ frac {a_1 ^ 3} {a_2 ^ 3} , Де M - Маса Сонця, а m 1 і m 2 - Маси планет.

Оскільки рух і маса виявилися пов'язані, цю комбінацію гармонійного закону Кеплера і закону тяжіння Ньютона використовують для визначення маси планет і супутників, якщо відомі їх орбіти і орбітальні періоди.

Доказ третього закону Кеплера

Другий закон Кеплера стверджує, що радіус-вектор звертається тіла замітає рівні площі за рівні проміжки часу. Якщо тепер ми візьмемо дуже малі проміжки часу в момент, коли планета перебуває в точках A і B ( перигелій і афелій), то ми зможемо апроксимувати площа трикутниками з висотами, рівними відстані від планети до Сонця, і підставою, рівним добутку швидкості планети на час.

\ Begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} \ cdot (1 - \ epsilon) a \ cdot V_A \, dt = \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end { matrix} \ cdot (1 + \ epsilon) a \ cdot V_B \, dt
(1 - \ epsilon) \ cdot V_A = (1 + \ epsilon) \ cdot V_B
V_A = V_B \ cdot \ frac {1 + \ epsilon} {1 - \ epsilon}

Використовуючи закон збереження енергії для повної енергії планети в точках A і B, запишемо

\ Frac {mV_A ^ 2} {2} - \ frac {GmM} {(1 - \ epsilon) a} = \ frac {mV_B ^ 2} {2} - \ frac {GmM} {(1 + \ epsilon) a }
\ Frac {V_A ^ 2} {2} - \ frac {V_B ^ 2} {2} = \ frac {GM} {(1 - \ epsilon) a} - \ frac {GM} {(1 + \ epsilon) a }
\ Frac {V_A ^ 2-V_B ^ 2} {2} = \ frac {GM} {a} \ cdot \ left (\ frac {1} {(1 - \ epsilon)} - \ frac {1} {(1 + \ epsilon)} \ right)
\ Frac {\ left (V_B \ cdot \ frac {1 + \ epsilon} {1 - \ epsilon} \ right) ^ 2-V_B ^ 2} {2} = \ frac {GM} {a} \ cdot \ left ( \ frac {1 + \ epsilon-1 + \ epsilon} {(1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)} \ right)
V_B ^ 2 \ cdot \ left (\ frac {1 + \ epsilon} {1 - \ epsilon} \ right) ^ 2-V_B ^ 2 = \ frac {2GM} {a} \ cdot \ left (\ frac {2 \ epsilon} {(1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)} \ right)
V_B ^ 2 \ cdot \ left (\ frac {(1 + \ epsilon) ^ 2 - (1 - \ epsilon) ^ 2} {(1 - \ epsilon) ^ 2} \ right) = \ frac {4GM \ epsilon} {a \ cdot (1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)}
V_B ^ 2 \ cdot \ left (\ frac {1 +2 \ epsilon + \ epsilon ^ 2-1 +2 \ epsilon-\ epsilon ^ 2} {(1 - \ epsilon) ^ 2} \ right) = \ frac {4GM \ epsilon} {a \ cdot (1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)}
V_B ^ 2 \ cdot 4 \ epsilon = \ frac {4GM \ epsilon \ cdot (1 - \ epsilon) ^ 2} {a \ cdot (1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)}
V_B = \ sqrt {\ frac {GM \ cdot (1 - \ epsilon)} {a \ cdot (1 + \ epsilon)}}.

Тепер, коли ми знайшли V B , Ми можемо знайти секторіальних швидкість. Так як вона постійна, то можемо вибрати будь-яку точку еліпса: наприклад, для точки B отримаємо

\ Frac {dA} {dt} = \ frac {\ frac {1} {2} \ cdot (1 + \ epsilon) a \ cdot V_B \, dt} {dt} = \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} \ cdot (1 + \ epsilon) a \ cdot V_B
= \ Begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} \ cdot (1 + \ epsilon) a \ cdot \ sqrt {\ frac {GM \ cdot (1 - \ epsilon)} {a \ cdot (1 + \ epsilon)}} = \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} \ cdot \ sqrt {GMa \ cdot (1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)}

Однак повна площа еліпса дорівнює \ Pi a \ sqrt {(1 - \ epsilon ^ 2)} a (Що дорівнює π a b , Оскільки b = \ sqrt {(1 - \ epsilon ^ 2)} a ). Час повного обороту, таким чином, так само

T \ cdot \ frac {dA} {dt} = \ pi a \ sqrt {(1 - \ epsilon ^ 2)} a
T \ cdot \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} \ cdot \ sqrt {GMa \ cdot (1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)} = \ pi \ sqrt {(1 - \ epsilon ^ 2)} a ^ 2
T = \ frac {2 \ pi \ sqrt {(1 - \ epsilon ^ 2)} a ^ 2} {\ sqrt {GMa \ cdot (1 - \ epsilon) (1 + \ epsilon)}} = \ frac {2 \ pi a ^ 2} {\ sqrt {GMa}} = \ frac {2 \ pi} {\ sqrt {GM}} \ sqrt {a ^ 3}
T ^ 2 = \ frac {4 \ pi ^ 2} {GM} a ^ 3.

Зауважимо, що якщо маса m НЕ пренебрежимо мала в порівнянні з M, то планета буде обертатися навколо Сонця з тією ж швидкістю і по тій самій орбіті, що і матеріальна точка, що обертається навколо маси M + m (Див. приведена маса). При цьому масу M в останній формулі потрібно замінити на M + m :

T ^ 2 = \ frac {4 \ pi ^ 2} {G (M + m)} a ^ 3.


Небесна механіка
Закони та завдання Закони Ньютона | Закон всесвітнього тяжіння | Закони Кеплера | Завдання двох тіл | Завдання трьох тіл | Гравітаційна завдання N тіл | Завдання Бертрана | Рівняння Кеплера
Небесна сфера Система небесних координат : галактична горизонтальна перша екваторіальна друга екваторіальна екліптична | Міжнародна небесна система координат | Сферична система координат | Вісь світу | Небесний екватор | Пряме сходження | Схиляння | Екліптика | Рівнодення | Сонцестояння | Фундаментальна площину
Параметри орбіт Кеплерови елементи орбіти : ексцентриситет велика піввісь середня аномалія довгота висхідного вузла аргумент перицентра | Апоцентр і перицентр | Орбітальна швидкість | Епоха
Рух
небесних тіл
Рух Сонця і планет по небесній сфері | Ефемериди | Конфігурації планет : протистояння квадратура парад планет | Кульмінація | Сидеричний період | Орбітальний резонанс | Період обертання | Попереджання рівнодення | Орбітальний період | Зближення | Затемнення : сонячне затемнення місячне затемнення сарос Метона цикл | Покриття | Проходження | Лібрація | Елонгація | Ефект Коза | Ефект Ярковського | Ефект Джанібековим
Астродинаміка
Космічний політ Космічна швидкість : перша (кругова) друга (параболічна) третій четверта |
Формула Ціолковського | Гравітаційний маневр | Гомановская траєкторія | Метод оскулірующіх елементів | Приливне прискорення | Зміна способу орбіти | Стиковка | Точки Лагранжа | Ефект "Піонера"
Орбіти КА Геостаціонарна орбіта | Геліоцентрична орбіта | Геосинхронну орбіту | Геоцентрична орбіта | Геопереходная орбіта | Низька опорна орбіта | Полярна орбіта | Тундра-орбіта | Сонячно-синхронна орбіта | Блискавка-орбіта | Оскулірующая орбіта
Історія астрономії
Стародавній період Вавилон | Стародавній Єгипет | Стародавній Китай | Індія | Інки | Майя | Ацтеки | Австралійські аборигени | Стародавня Греція
Середньовіччя Ісламський Схід | Середньовічна Європа
Становлення теоретичної астрономії Геліоцентрична система світу | Закони Кеплера
XVII століття Закон всесвітнього тяжіння |
XVIII століття Едмунд Галлей | Вільям Гершель
XIX століття Відкриття Нептуна |
XX століття Телескоп Хаббл |



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Завдання Кеплера у загальній теорії відносності
Закони збереження
Закони (Платон)
Закони Кірхгофа
Закони де Моргана
Закони Коновалова
Економічні закони
Закони Менделя
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru