Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Закон Бернуллі


BernoullisLawDerivationDiagram.png

План:


Введення

Закон Бернуллі є наслідком закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної (тобто без внутрішнього тертя) нестисливої ​​рідини:

\ Tfrac {\ rho v ^ 2} {2} + \ rho gh + p = \ mathrm {const}

Тут

~ \ Rho - щільність рідини,
~ V - швидкість потоку,
~ H - висота, на якій знаходиться розглянутий елемент рідини,
~ P - тиск в точці простору, де розташований центр маси розглянутого елемента рідини,
~ G - прискорення вільного падіння.

Константа в правій частині зазвичай називається напором, або повним тиском, а також інтегралом Бернуллі. Розмірність всіх доданків - одиниця енергії, яка припадає на одиницю об'єму рідини.

Це співвідношення, виведене Данилом Бернуллі в 1738 р., було названо на його честь рівнянням Бернуллі (не слід плутати з диференціальним рівнянням Бернуллі).

Для горизонтальної труби h = 0 і рівняння Бернуллі приймає вигляд: \ Tfrac {\ rho v ^ 2} {2} + p = \ mathrm {const} .

Ця форма рівняння Бернуллі може бути отримана шляхом інтегрування рівняння Ейлера для стаціонарного одновимірного потоку рідини, при постійній щільності ρ : v \ tfrac {dv} {dx} = - \ tfrac {1} {\ rho} \ cdot \ tfrac {dp} {dx} .

BernoullisLawDerivationDiagram.png

Відповідно до закону Бернуллі, повний тиск у сталому потоці рідини залишається постійним уздовж цього потоку.

Повний тиск складається з вагового g h) , Статичної (P) і динамічного \ Left (\ tfrac {\ rho v ^ 2} {2} \ right) тисків.

Із закону Бернуллі випливає, що при зменшенні перерізу потоку, через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає. Це є основною причиною ефекту Магнуса. Закон Бернуллі справедливий і для ламінарних потоків газу. Явище зниження тиску при збільшенні швидкості потоку лежить в основі роботи різного роду витратомірів (наприклад труба Вентурі), водо-і пароструминних насосів. А послідовне застосування закону Бернуллі привело до появи технічної гідромеханічною дисципліни - гідравліки.

Закон Бернуллі справедливий в чистому вигляді лише для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю, тобто таких рідин, які не прилипають до поверхні труби. Насправді експериментально встановлено, що швидкість рідини на поверхні твердого тіла майже завжди в точності дорівнює нулю (крім випадків відриву струменів при деяких рідкісних умовах).


1. Одне з застосувань

Закон Бернуллі можна застосувати до закінчення ідеальної нестисливої ​​рідини через малий отвір в бічній стінці або дні широкого судини.

Закон Бернуллі дозволяє пояснити ефект Вентурі : у вузькій частині труби швидкість течії рідини вище, а тиск менше, ніж на ділянці труби більшого діаметру, в результаті чого спостерігається різниця висот стовпів рідини Δ h ; Велика частина цього перепаду тисків обумовлена ​​зміною швидкості течії рідини, і може бути обчислена за рівнянням Бернуллі

Відповідно до закону Бернуллі прирівняємо повні тиску на верхній поверхні рідини і на виході з отвору:

\ Rho g h + p_0 = \ frac {\ rho v ^ 2} {2} + p_0 ,

де

p 0 - атмосферний тиск,
h - Висота стовпа рідини в посудині,
v - Швидкість витікання рідини,
z \, + \, \ frac {p} {\ rho g} - Гідростатичний напір (сума геометричного напору z і пьезометрической висоти \ Frac {p} {\ rho g} ).

Звідси: v = \ sqrt {2gh} . Це - закон Торрічеллі. Вона показує, що при закінченні ідеальної нестисливої ​​рідини з отвору в широкому посудині рідину набуває швидкість, яку отримало б тіло, вільно падаюче з висоти h .

Часто рівняння Бернуллі записується у вигляді:

Hd \, = \, z \, + \, \ frac {p} {\ rho g} \, + \, \ frac {v ^ 2} {2 \, g} = \, \ text {const} \,

де

Hd \, - Гідродинамічний напір,
\ Frac {v ^ 2} {2 \, g} - Швидкісний напір.

2. Для стисливого ідеального газу

\ Frac {v ^ 2} {2} + gh + \ left (\ frac {\ gamma} {\ gamma-1} \ right) \ frac {p} {\ rho} = \ mathrm {const} [1] (постійна уздовж лінії струму або лінії вихору)

де

\ Gamma = \ frac {C_p} {C_V} - Адіабатична постійна газу
p - тиск газу в точці
ρ - Щільність газу в точці
v - Швидкість течії газу
g - прискорення вільного падіння
h - Висота відносно початку координат

При русі в неоднорідному полі g h замінюється на потенціал гравітаційного поля.


3. Термодинаміка закону Бернуллі

З статистичної фізики випливає, що на лініях струму при адіабатичному перебігу залишається постійним наступне співвідношення:

\ Frac {v ^ 2} {2} + w + \ varphi = \ mathrm {const}

де w - ентальпія одиниці маси, φ - Потенціал сили.

Висновок закону Бернуллі з рівняння Ейлера і термодинамічних співвідношень

1. Запишемо Рівняння Ейлера :

\ Rho \ frac {\ partial \ vec v} {\ partial t} + \ rho (\ vec v, \ nabla) \ vec v = - \ nabla p - \ rho \ nabla \ varphi
\ Varphi - Потенціал. Для сили тяжіння φ = g z

2. Запишемо вираз для ентальпії і припустимо, що ентропія системи постійна (або, можна сказати, що Протягом адіабатічно):

d W = V d P + T d S

Нехай S = c o n s t і w - Ентальпія одиниці маси, тоді:

dw = \ frac {dp} {\ rho}

або

\ Nabla w = \ frac {\ nabla p} {\ rho}

3. Скористаємося наступними співвідношеннями з векторної алгебри:

\ Frac 12 \ nabla v ^ 2 = (\ vec v, \ nabla) \ vec v + \ vec v \ times \ operatorname {rot} \ vec v
\ Vec l \ cdot \ nabla = \ frac {\ partial} {\ partial l} - Проекція градієнта на деякий напрям одно похідної в цьому напрямі.

4. Рівняння Ейлера з використанням співвідношень виведених вище:

\ Rho \ frac {\ partial \ vec v} {\ partial t} + \ rho \ left [\ frac 12 \ nabla v ^ 2 - \ vec v \ times \ operatorname {rot} \ vec v \ right] = - \ rho \ nabla (\ varphi + w)

Спроектуємо це рівняння на одиничний вектор дотичний до лінії струму з огляду на таке:

\ Frac {\ partial \ vec v} {\ partial t} = 0 - Умова стаціонарності
(\ Vec l, \ vec v \ times \ operatorname {rot} \ vec v) = 0 - Так як \ Vec l | | \ vec v

Отримуємо:

\ Frac {\ partial} {\ partial l} \ left (\ frac {v ^ 2} {2} + w + \ varphi \ right) = 0

Тобто на лініях струму в стаціонарній адіабатичної рідини виконується наступне співвідношення:

\ Frac {v ^ 2} {2} + w + \ varphi = \ operatorname {const}

4. Практичні слідства

  • закон Бернуллі пояснює ефект притягання між тілами, які перебувають поблизу кордонів потоків рухаються рідин (газів). Іноді це тяжіння може створювати загрозу безпеці. Наприклад, при русі швидкісного поїзда "Сапсан" (швидкість руху більше 200 км / год) для людей на платформах виникає небезпека скидання під поїзд. [2] Аналогічно "затягує сила" виникає при русі судів паралельним курсом: наприклад, подібні інциденти відбувалися з лайнером " Олімпік ".

5. Додаток

Висновок рівняння Бернуллі
Енергія маленького елемента рідини: E = \ frac {mv ^ 2} 2 + U (U - потенційна енергія)
Зліва на великий обсяг рідини між двома поверхнями діє сила p_1 \ cdot S_1 , А справа - -P_2 \ cdot S_2 (Мінус, бо вліво).
Отже, цей об'єм рідини зрушився (за час d t ). Нехай його ліва межа зрушилася на d l 1 , А права - на d l 2 .
Пишемо умова нестисливості: S_1 \ cdot dl_1 = V_1 = V_2 = S_2 \ cdot dl_2 . Обсяги, як видно, нескінченно малі, диференціальні. Їх самих можна розглядати як диференціали обсягу всього великого елемента.
Далі. Спочатку наш великий елемент складався з лівого блакитного елемента і середньої синьої частини. Тепер він складається з середньої синьої частини і правого блакитного елемента. При цьому всі його молекули зрушили, але так як протягом стаціонарне, то в кожній точці з часом енергія не змінюється. Тому енергія середньої синьої частини не змінилася. Тому робота сил (ну, або за нескінченно малий час не сама робота, а її диференціал) дорівнює зміні енергії, рівного, в свою чергу, енергії правого блакитного елементіка (який додався) мінус енергія лівого блакитного елементіка (який, навпаки, пішов, влився в середній синій). p_1 \ cdot S_1 \ cdot dl_1 - p_2 \ cdot S_2 \ cdot dl_2 = dA = E_2-E_1 = \ frac {m_2 \ cdot v_2 ^ 2} 2 + U_2-\ frac {m_1 \ cdot v_1 ^ 2} 2-U_1 = \ frac {\ rho V_2v_2 ^ 2} 2 + U_2-\ frac {\ rho V_1v_1 ^ 2} 2-U_1 .
Тепер згадуємо формулу нестисливості і скорочуємо на обсяг. p_1-p_2 = \ frac {\ rho v_2 ^ 2} 2 - \ frac {\ rho v_1 ^ 2} 2 + {U_2 \ over V_2} - {U_1 \ over V_1} .
Згрупуємо складові, отримуємо формулу Бернуллі: p_1 + {U_1 \ over V_1} + \ frac {\ rho v_1 ^ 2} 2 = p_2 + {U_2 \ over V_2} + \ frac {\ rho v_2 ^ 2} 2 , Або просто p + \ frac UV + \ frac {\ rho v ^ 2} 2 = const , Або, підставивши потенційну енергію, p + \ rho gh + \ frac {\ rho v ^ 2} 2 = const .

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Бернуллі
Многочлени Бернуллі
Рівняння Бернуллі
Формула Бернуллі
Бернуллі (сім'я)
Розподіл Бернуллі
Бернуллі, Якоб
Бернуллі, Данило
Лемніската Бернуллі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru