Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Закон збереження імпульсу


BernoullisLawDerivationDiagram.svg

План:


Введення

Закон збереження імпульсу (Закон збереження кількості руху) стверджує, що сума імпульсів всіх тіл (або часток) замкнутої системи є величина постійна.

В класичної механіки закон збереження імпульсу звичайно виводиться як наслідок законів Ньютона. З законів Ньютона можна показати, що при русі в порожньому просторі імпульс зберігається в часі, а при наявності взаємодії швидкість його зміни визначається сумою прикладених сил.

Як і будь-який з фундаментальних законів збереження, закон збереження імпульсу описує одну з фундаментальних симетрій, - однорідність простору.


1. Висновок з формалізму Ньютона

Розглянемо вираз визначення сили

\ Frac {d \ vec {p}} {dt} = \ vec {F}.

Перепишемо його для системи з N частинок:

\ Sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {\ vec {dp_n}} {dt} = \ sum_ {n = 1} ^ {N} \ sum_ {m = 1} ^ {N} \ \ vec { F} _ {n, m}, \ qquad m \ ne n, \ qquad \ qquad (1)

де підсумовування йде по всім силам, що діють на n-у частку з боку m-ой. Згідно з третім законом Ньютона, сили виду \ Vec {F} _ {a, b} і \ Vec {F} _ {b, a} будуть рівні за абсолютним значенням і протилежні за напрямком, тобто \ Vec {F} _ {a, b} = - \ vec {F} _ {b, a}. Тоді після підстановки отриманого результату у вираз (1) права частина буде дорівнює нулю, тобто:


\ Sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {d \ vec {p} _n} {dt} = 0

або

\! \ Qquad \ frac {d} {dt} \ sum_ {n = 1} ^ {N} \ vec {p} _n = 0.

Як відомо, якщо похідна від деякого виразу дорівнює нулю, то цей вислів є постійна величина щодо змінної диференціювання, а значить:

\ Sum_ {n = 1} ^ {N} \ vec {p} _n = \ overrightarrow {\ mathrm {const}} \ qquad \! (Постійний вектор).

Тобто сумарний імпульс системи частинок є величина постійна. Неважко отримати аналогічне вираз для однієї частинки.

Слід врахувати, що вищенаведені міркування справедливі лише для замкнутої системи.

Також варто підкреслити, що зміна імпульсу d \ vec {p} залежить не тільки від діючої на тіло сили, але і від тривалості її дії.


2. Зв'язок з однорідністю простору

Симетрія в фізики
Перетворення Інваріантність Закон
збереження
трансляції часу Консервативність ... Енергії
Ізотропія часу Ізотропія часу ... Ентропії
трансляції простору Однорідність ... Імпульсу
Обертання Ізотропності
простору
... Моменту
імпульсу
Група Лоренца Відносність
Лоренц-інваріантність
... Інтервалу

Згідно теоремі Нетер кожного закону збереження ставиться у відповідність певна симетрія рівнянь, що описують систему. Зокрема, закон збереження імпульсу еквівалентний однорідності простору, тобто незалежності всіх законів, що описують систему, від стану системи в просторі. Найпростіший висновок цього твердження грунтується на застосуванні лагранжевих підходу до опису системи.


2.1. Висновок з формалізму Лагранжа

Розглянемо функцію Лагранжа вільного тіла \ Mathcal L \ equiv \ mathcal L (q_i, \ dot q_i, t), залежну від узагальнених координат q_i \,, узагальнених швидкостей \ Dot q_i і часу t. Тут точка над q позначає диференціювання за часом, \ Dot q_i \ equiv \ frac {\ partial q_i} {\ partial t}. Виберемо для розгляду прямокутну декартову систему координат, тоді q_i = \ vec r_a, \ \ dot q_i = \ vec v_a для кожної \! A -Тої частинки. Використовуючи однорідність простору, ми можемо дати всім радіус-векторів частинок однакове приріст, яке не впливатиме на рівняння руху: \ Vec r_a \ to \ vec r_a + \ vec {\ xi}, де \ Vec {\ xi} \ equiv \ overrightarrow {\ mathrm {const}}. У разі постійності швидкості функція Лагранжа зміниться наступним чином:

\ Delta \ mathcal L = \ sum_ {a} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ vec r_a} \ delta \ vec r_a = \ vec {\ xi} \ \ sum_ {a} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ vec r_a},

де підсумовування йде по всіх часткам системи. Так як збільшення не впливає на рівняння руху, то варіація функції Лагранжа повинна бути рівною нулю: \ Delta \ mathcal L = 0. З урахуванням того, що вектор \ Vec \ xi - Довільний, остання вимога виконується при:

\ Sum_ {a} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ vec r_a} = 0.

Скористаємося рівнянням Лагранжа \ Frac {d} {dt} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ dot q_i} - \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial q_i} = 0:

\ Sum_ {a} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ vec r_a} = \ sum_ {a} \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ vec v_a } = \ frac {d} {dt} \ sum_ {a} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ vec v_a} = 0.

Це означає, що сума, що стоїть під знаком диференціала, - постійна величина для даної системи. Сама сума і є сумарний імпульс системи:

\ Vec P = \ sum_ {a} \ frac {\ partial \ mathcal L} {\ partial \ vec v_a} = \ overrightarrow {\ mathrm {const}}. .

Враховуючи, що лагранжіан вільної частинки має вигляд: \ Mathcal L = \ frac {mv ^ 2} {2}, неважко бачити, що останній вираз співпадає з виразом в ньютоновой формалізмі:

\ Vec P = \ sum_a m_a \ vec v_a = \ overrightarrow {\ mathrm {const}}.

Для релятивістської вільної частки лагранжіан має дещо іншу форму: \ Mathcal L =-mc ^ 2 \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}, що призводить до релятивістському визначенням імпульсу

\ Vec P = \ sum_a \ frac {m_a \ vec v_a} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} = \ overrightarrow {\ mathrm {const}}.

В даний час не існує будь-яких експериментальних фактів, що свідчать про невиконання закону збереження імпульсу.


3. Закон збереження імпульсу в загальній теорії відносності

Аналогічно ситуації з законом збереження енергії, при переході до викривленого простору-часу закон збереження імпульсу, що виражається просторовими компонентами співвідношення для тензора енергії-імпульсу

T ^ \ mu_ {\ nu; \ mu} = 0,

де крапка з комою висловлює коваріантний похідну, призводить лише до локально зберігається величинам. Це пов'язано з відсутністю глобальної однорідності простору в просторі-часі загального виду.

Можна придумати такі визначення імпульсу гравітаційного поля, що глобальна закон збереження імпульсу буде виконуватися при русі в часі системи тіл і полів, але всі такі визначення містять елемент свавілля, оскільки вводиться імпульс гравітаційного поля не може бути тензорною величиною при довільних перетвореннях координат.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Закон збереження моменту імпульсу
Закон збереження маси
Закон збереження енергії
Закон збереження енергії
Момент імпульсу
Момент імпульсу
Тензор енергії-імпульсу
Закони збереження
Ступеня збереження мов
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru