Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Замикання (геометрія)



План:


Введення

В геометрії і топології замикання підмножини топологічного простору - це перетин всіх замкнутих надмножество даного підмножини. Еквівалентно, замикання підмножини - це сукупність всіх його точок дотику.


1. Точка дотику

Точка дотику безлічі М - така точка а, що кожна її околиця містить хоча б одну точку безлічі М.

1.1. Визначення

Нехай задано топологічний простір (X, \; \ mathcal {T}) , І підмножина M \ subset X . Точка x \ in X називається точкою дотику безлічі M , Якщо будь-яка її околиця перетинається з M . Тобто,

\ Forall U \ in \ mathcal {T} \; (x \ in U) \ Rightarrow (U \ cap M \ neq \ varnothing).

1.2. Зауваження

Очевидно, якщо x \ in M , То x є точкою дотику. Зворотне, взагалі кажучи, невірно.

1.3. Приклади

Нехай X = \ R - Безліч дійсних чисел зі стандартною топологією, і M = (a, \; b) - Довільний інтервал. Тоді будь-яка точка x \ in [a, \; b] є точкою дотику M .

2. Замикання

2.1. Визначення

Сукупність усіх точок дотику безлічі M \ subset X називається замиканням множини M і позначається \ Bar {M} або cl (M) .

2.2. Властивості

  1. Операція замикання є унарний операцією на безлічі всіх підмножин X .
  2. Замикання безлічі містить саме безліч, тобто M \ subset \ bar {M} .
  3. Замикання безлічі замкнуто.
  4. Безліч замкнуто тоді і тільки тоді, коли воно збігається зі своїм замиканням, тобто M = \ bar {M} .
  5. Зокрема, \ Bar {X} = X, \; \ bar {\ varnothing} = \ varnothing.
  6. \ Bar {\ bar {M}} = \ bar {M}.
  7. Замикання безлічі M є найменшим замкнутим безліччю, що містить M , Тобто \ Bar {M} = \ bigcap \ {C \ supset M \ mid C = \ bar {C} \} .
  8. Замикання зберігає ставлення вкладення, тобто (M \ subset N) \ Rightarrow (\ bar {M} \ subset \ bar {N}).
  9. Замикання об'єднання є об'єднання замикань, тобто \ Overline {A \ cup B} = \ bar {A} \ cup \ bar {B}.
  10. Замикання перетину є підмножина перетину замикань (але, взагалі кажучи, не дорівнює йому), тобто \ Overline {A \ cap B} \ subset \ bar {A} \ cap \ bar {B} .

2.3. Зауваження

Властивість 7 частини приймається як визначення замикання. Дане вище визначення тоді виводиться в якості одного з властивостей.

2.4. Приклади

У всіх нижченаведених прикладах топологічним простором є числова пряма \ Mathbb {R} із заданою на ній стандартної топологією.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Замикання
Оператор замикання
Замикання відносини
Транзитивне замикання
Секвенційного замикання
Замикання (програмування)
Коротке замикання (значення)
Коротке замикання (фільм, 1986)
Геометрія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru