Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Згинаних багатогранник



План:


Введення

Багатогранник (точніше - багатогранна поверхню) називається згинаних, якщо його просторову форму можна змінити такий безперервної у часі деформацією, при якій кожна грань не змінює своїх розмірів (тобто рухається як тверде тіло), а деформація здійснюється тільки за рахунок безперервної зміни двогранних кутів. Така деформація називається безперервним згинанням багатогранника.


1. Властивості та приклади

У теорії згинаних багатогранників відомо чимало гарних і нетривіальних тверджень. Нижче наведені найбільш важливі з встановлених на сьогодні фактів, дотримуючись хронологічного порядку:

  1. Ніякої опуклий багатогранник не може бути згинається. Це негайно випливає з теореми Коші про однозначної визначеності опуклого багатогранника, доведеною в 1813.
  2. Перші приклади згинаних багатогранників були побудовані бельгійським інженером і математиком Раулем Брікаром в 1897 [1]. Зараз їх називають октаедра Брікара. Вони не тільки неопуклі, але і мають самопересеченія, що не дозволяє побудувати їх рухому картонну модель.
  3. В 1976 американський математик Роберт Коннеллі вперше побудував згинаних багатогранник без самоперетинів [2].
  4. З усіх відомих на сьогоднішній день згинаних багатогранників без самоперетинів найменше число вершин (дев'ять) має багатогранник, побудований німецьким математиком Клаусом Штеффеном ( ньому. Klaus Steffen ) [3].
  5. Відомі приклади згинаних багатогранників, які є реалізаціями тора [4] або пляшки Клейна або взагалі двовимірної поверхні будь-якого топологічного роду.
  6. З формули Шлефлі, випливає, що будь-згинаних багатогранник в процесі згинання зберігає так звану інтегральну середню кривизну, тобто число, рівне \ Sum | \ ell | (\ pi-\ alpha (\ ell)) , Де | \ Ell | - Довжина ребра ~ \ Ell , ~ \ Alpha (\ ell) - Величина внутрішнього двугранного кута при ребрі ~ \ Ell , А сума поширюється на всі ребра багатогранника. Див також [5].
  7. Теорема Сабітова [6] : Будь згинаних багатогранник в процесі згинання зберігає свій обсяг, тобто він буде згинатися навіть якщо його заповнити нестисливої ​​рідиною.
  • Згинаних октаедр Брікара першого типу

  • Згинаних октаедр Брікара другого типу

  • Згинаних багатогранник Штеффена

  • Розгортка згинаного багатогранника Штеффена


2. Гіпотези

Незважаючи на значний прогрес, в теорії згинаних багатогранників залишається багато невирішених проблем. Ось кілька відкритих гіпотез:

  1. багатогранник Штеффена має найменше число вершин серед усіх згинаних багатогранників, що не мають самоперетинів [7];
  2. якщо один багатогранник, який не має самоперетинів, отриманий з іншого багатогранника, який також не має самоперетинів, безперервним згинанням, то ці многогранники равносоставлени, тобто перший можна розбити на кінцеве число тетраедрів, кожен з цих тетраедрів незалежно від інших можна пересунути в просторі і отримати розбиття другого багатогранника [8].

3. Узагальнення

Все сказане вище відносилося до багатогранника в тривимірному евклідовому просторі. Проте дане вище визначення згинального багатогранника застосувати і до багатовимірним просторів і до неевклідових просторів, таким як сферичне простір і простір Лобачевського. Для них також відомі як нетривіальні теореми, так і відкриті запитання. Наприклад:

  1. доведено, що в чотиривимірному евклідовому просторі, просторі Лобачевського розмірності 3 та 4, а також у сферичному просторі розмірності 3 та 4 є згинальні многогранники [9], у той час як існування згинаних багатогранників в евклідових просторах розмірності 5 і вище залишається відкритим питанням;
  2. доведено, що будь-згинаних багатогранник в евклідовому просторі розмірності 3 і вище зберігає свою інтегральну середню кривизну в процесі згинання [5], але невідомо чи всякий згинаних багатогранник в евклідовому просторі розмірності 4 і вище зберігає свій об'єм в процесі згинання;
  3. доведено, що в тривимірному сферичному просторі існує згинаних багатогранник, обсяг якого непостійний у процесі згинання [10], але не відомо чи обов'язково зберігається обсяг згинаного багатогранника в тривимірному просторі Лобачевського.

4. Зроби сам

Зробити модель згинаного багатогранника Штеффена зовсім не важко. Опишемо це процес крок за кроком.

  • Збережіть файл з розгорткою багатогранника Штеффена з наведеної вище "галереї зображень".
  • Збільште розгортку в 2-3 рази і роздрукуйте його на принтері (при цьому бажано використовувати щільний папір або напівкартон).
  • Виріжте розгортку по контуру, що складається з червоних, синіх і чорних (суцільних і пунктирних) відрізків.
  • Кілька разів перегніть папір за рештою на розгортці суцільним і пунктирним відрізкам. Виконуючи наступні дії слід надавати поверхні таку форму, щоб суцільні відрізки були "гірськими хребтами" (тобто виступали з багатогранника назовні), а пунктирні відрізки були "долинами" (тобто вдавалися б всередину багатогранника).
  • Зігніть поверхню в просторі і склейте між собою кожні два чорних відрізка, з'єднаних на розгортці зеленої дугою кола.
  • Склейте між собою два синіх відрізка.
  • Склейте між собою два червоних відрізка.

Модель багатогранника Штеффена готова.


5. Популярна література


6. Наукова література


Примітки

  1. R. Bricard. Mmoire sur la thorie de l'octadre articul - www-mathdoc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1897_5_3_A5_0.pdf. J. Math. Pures Appl. 1897. 3. P. 113-150).
  2. R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 52 (1979), no. 5, 275-283.
  3. М. Берже, Геометрія. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516-517.
  4. В. А. Александров, Новий приклад згинаного багатогранника - gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img /? PPN = PPN394039319_0036 & DMDID = DMDLOG_0107, Сиб.мат.журн. 1995. Т. 36, No 6. С. 1215-1224.
  5. 1 2 R. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Trans.Amer.Math.Soc. 1985. Vol. 288, no. 2, 661-678.
  6. І. Х. Сабітов, Об'єм многогранника як функція довжин його ребер, Фунд.прикл.матем. 1996. Т. 2, № 1. С. 305-307.
  7. І. Г. Максимов, Неізгібаемие багатогранники з малою кількістю вершин - mech.math.msu.su / ~ fpm/ps/k06/k061/k06105.pdf, Фунд.прикл.матем. 2006. Т. 12, No. 1. С. 143-165.
  8. Див. стор 231 книги під ред. А. Н. Колмогорова і С. П. Новикова : Дослідження з метричної теорії поверхонь. М.: Мир. 1980. На англійській ця гіпотеза була вперше опублікована в статті R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math.Mag. 1979. Vol. 52. P. 275-283.
  9. H.Stachel, Flexible octahedra in the hyperbolic space, в книзі під ред. A. Prkopa: Non-Euclidean geometries. Jnos Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6-12, 2002. New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581, 209-225 (2006).
  10. V. Alexandrov, An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space, Beitr. Algebra Geom. 38, No.1, 11-18 (1997). ISSN 0138-4821.
Многогранники
Правильні
(Платонова тіла)
Тривимірні Правильний тетраедр Куб Октаедр Додекаедр Ікосаедр
Чотиривимірні 6 правильних багатогранників
Більшої розмірності N-мірний куб N-мірний октаедр N-мірний тетраедр
Правильні
неопуклі
Зірчастий додекаедр Зірчастий ікосододекаедр Зірчастий ікосаедр Зірчастий багатогранник Зірчастий октаедр
Опуклі
Напівправильні
(Архімедова тіла)
Усічений тетраедр Усічений куб Усічений октаедр Кубооктаедр Усічений кубооктаедр Ромбокубоктаедр Кирпатий куб Усічений додекаедр Усічений ікосаедр Ікосододекаедр Усічений ікосододекаедр Ромбоікосододекаедр Кирпатий додекаедр Зірчастий кубооктаедр Правильна призма Антіпрізма Ромбоусеченний кубоктаедр Ромбоусеченний ікосододекаедр
Двоїсті їм
( Каталанови тіла)
Дельтоідальний гексеконтаедр Дельтоідальний ікосітетраедр Дісдакісдодекаедр Дісдакістріаконтаедр пентагональні гексеконтаедр Пентакісдодекаедр пентагональні ікосітетраедр Ромбододекаедр Ромботріаконтаедр Тріакісгексаедр Тріакісікосаедр Тріакісоктаедр Тріакістетраедр
Піраміда Призма Бипирамида Антіпрізма Додекаедр Зоноедр Паралелепіпед Параллелоедр Пентагондодекаедр Прізматоід Ромбододекаедр Ромбоедрів Тетраедр Усічена піраміда
Формули,
теореми,
теорії
Інше

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Багатогранник
Правильний багатогранник
Зірчастий багатогранник
Напівправильні багатогранник
Двоїстий багатогранник
Перестановною багатогранник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru