Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Змішане твір



План:


Введення

Змішане твір (\ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c})векторів \ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c} - скалярний твір вектора \ Mathbf {a} на векторний добуток векторів \ Mathbf {b} і \ Mathbf {c} :

(\ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf c) = \ mathbf {a} \ cdot \ left (\ mathbf {b} \ times \ mathbf c \ right) .

Іноді його називають потрійним скалярним добутком векторів, по всій видимості через те, що результатом є скаляр (точніше - псевдоскаляр).

Геометричний зміст: Модуль змішаного твори чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда, утвореного векторами \ Mathbf a, \ mathbf b, \ mathbf c .


1. Властивості

(\ Mathbf a, \ mathbf b, \ mathbf c) = (\ mathbf b, \ mathbf c, \ mathbf a) = (\ mathbf c, \ mathbf a, \ mathbf b) =- (\ mathbf b, \ mathbf a, \ mathbf c) =- (\ mathbf c, \ mathbf b, \ mathbf a) =- (\ mathbf a, \ mathbf c, \ mathbf b);
тобто перестановка будь-яких двох співмножників змінює знак твору. Звідси випливає, що
\ Lang \ mathbf a, [\ mathbf b, \ mathbf c] \ rang = \ lang [\ mathbf a, \ mathbf b], \ mathbf c \ rang
  • Змішане твір (\ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}) у правій декартовій системі координат (в ортонормированном базисі) дорівнює определителю матриці, складеної з векторів \ Mathbf {a}, \ mathbf {b} і \ Mathbf {c} :
(\ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}) = \ begin {vmatrix} a_x & a_y & a_z \ \ b_x & b_y & b_z \ \ c_x & c_y & c_z \ end {vmatrix}.
  • Змішане твір (\ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}) у лівій декартовій системі координат (в ортонормированном базисі) дорівнює определителю матриці, складеної з векторів \ Mathbf {a}, \ mathbf {b} і \ Mathbf {c} , Взятому зі знаком "мінус":
(\ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}) = - \ begin {vmatrix} a_x & a_y & a_z \ \ b_x & b_y & b_z \ \ c_x & c_y & c_z \ end {vmatrix} .
Зокрема,
  • Якщо три вектори лінійно залежні (тобто компланарними, лежать в одній площині), то їх змішане твір дорівнює нулю.
  • Геометричний сенс - Змішане твір (\ Mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}) за абсолютним значенням дорівнює обсягу паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами \ Mathbf {a}, \ mathbf {b} і \ Mathbf {c} ; Знак залежить від того, чи є ця трійка векторів правої або лівої.
Три вектора, що визначають паралелепіпед.
(\ Mathbf a, \ mathbf b, \ mathbf c) = \ sum_ {i, j, k} \ varepsilon_ {ijk} a ^ ib ^ jc ^ k

(В останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).


2. Узагальнення

В \ N -Мірному просторі природним узагальненням змішаного твори, що має сенс орієнтованого обсягу, є визначник матриці n \ times n , Складеної з рядків або стовпців, заповнених координатами векторів. Сенс цієї величини - орієнтований \ N -Мірний об'єм (мається на увазі стандартний базис і тривіальна метрика).

У довільному базисі довільній розмірності змішане твір зручно записується за допомогою символу (тензора) Леві-Чівіта відповідної розмірності:

(\ Mathbf a, \ mathbf b, \ mathbf c, \ ldots) = \ sum_ {i, j, k, \ ldots} \ varepsilon_ {ijk \ ldots} a ^ ib ^ jc ^ k \ ldots

У двовимірному просторі таким служить Псевдоскалярний твір.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Змішане рівняння
Змішане стан
Твір
Похідний твір
Твір Кронекера
Псевдоскалярний твір
Нескінченне твір
Твір мистецтва
Твір (синтаксис)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru