Зовнішня міра

Зовнішня міра - одне з узагальнень понять довжина, площа і об'єм; є вещественнозначной функцією, визначеною на всіх подмножествах простору, яка задовольняє декільком додатковим технічним умовам.


1. Історія

Загальна теорія зовнішньої заходів була розроблена Костянтином Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і лічильно-адитивних заходів. Роботи Каратеодорі по зовнішній мірою знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доказі фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Хаусдорфа для визначення метричного інваріанту, узагальнюючого розмірність, зараз він називається розмірністю Хаусдорфа.


2. Випадок числової прямої

Для довільного підмножини E числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем, що складаються з кінцевого або рахункового кількості інтервалів, об'єднання яких містить безліч E . Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, складових будь-яке покриття, є величиною неотрицательной, вона обмежена знизу, і, значить, безліч довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від безлічі E , І називається зовнішньою мірою:

m ^ * E = \ inf \ left \ {\ sum_ {i} \ Delta_i \ right \}

Варіанти позначення зовнішньої заходи:

m ^ * E = \ varphi (E) = | E | ^ *

3. Формальне визначення

Нехай X - Фіксоване універсальне безліч. Зовнішньої заходом називається функція \ Mu ^ {*} \ colon 2 ^ {X} \ longrightarrow [0, \, + \ infty] , Така, що

  1. \ Mu ^ {*} (\ varnothing) = 0 ;
  2. \ Forall A \ subseteq X, \, \ forall A_ {n} \ sub X, n \ geqslant 1, \, A \ subseteq \ bigcup_ {n = 1} ^ {\ infty} A_n \ colon \ mu ^ {*} (A) \ leqslant \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu ^ {*} (A_ {n}) .

Нехай \ Mu - Міра, визначена на кільці K . Зовнішньої заходом, породженої заходом \ Mu , Називається функція \ Mu ^ {*} \ colon 2 ^ {X} \ longrightarrow [0, \, + \ infty] , Така, що

  1. \ Mu ^ {*} (A) = \ inf \ bigl \ {\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) \ bigr \}, \; A_ {n} \ subset K , n \ geqslant 1, \, A \ subseteq \ bigcup_ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} , Якщо хоч одне таке покриття безлічі A існує;
  2. \ Mu ^ {*} (A) = + \ infty в іншому випадку.

Теорема. Зовнішня міра \ Mu ^ {*} , Породжена заходом \ Mu , Є зовнішньою мірою.

\ Vartriangleright Перевіримо пункт перший з визначення зовнішньої заходи. \ Mu \ geqslant 0 \ Rightarrow \ mu ^ {*} \ geqslant 0 . \ Mu ^ {*} визначена на 2 ^ {X} .

\ Varnothing \ in K \ colon \ mu ^ {*} (\ varnothing) \ leqslant \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (\ varnothing) = 0 \ Rightarrow \ mu ^ {*} (\ varnothing ) = 0 .

Перевіримо другий пункт визначення. Нехай A \ subset \ bigcup_ {n = 1} ^ {\ infty} A_n . Якщо існує така безліч A_ {n} з покриття, що \ Mu ^ {*} (A_ {n}) = + \ infty , То нерівність виконується. Нехай далі все безлічі з покриття такі, що \ Mu ^ {*} (A_ {n}) <+ \ infty, \, \ forall n \ geqslant 1 . Візьмемо довільне \ Varepsilon> 0 , За визначенням точної нижньої межі

\ Forall n \ geqslant 1 \, \ exists B_ {n_ {k}} \ in K, k \ geqslant 1, \, A_ {n} \ subseteq \ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {n_ { k}} \ colon \ mu ^ {*} (A_ {n})> \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (B_ {n_ {k}}) - \ frac {\ varepsilon} {2 ^ {n}} .

Тоді

\ Bigcup_ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {n_ {k}} \ supseteq \ bigcup_ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ supseteq A .

Оскільки \ Bigcup_ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup_ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {n_ {k}} є рахунковим об'єднанням елементів кільця K , То

\ Mu ^ {*} (A) \ leqslant \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (B_ {n_ {k}}) <\ sum_ { n = 1} ^ {\ infty} \ bigl (\ mu ^ {*} (A_ {n}) + \ frac {\ varepsilon} {2 ^ {n}} \ bigr) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu ^ {*} (A_ {n}) + \ varepsilon, \ varepsilon \ longrightarrow 0 + . \ Vartriangleleft

4. Властивості зовнішнього заходи

Властивості зовнішнього заходи \ Mu ^ {*} :

  • \ Forall n \ geqslant 1, \, A \ subseteq \ bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k} \ colon \ mu ^ {*} (A) \ leqslant \ sum_ {k = 1} ^ {n } \ mu ^ {*} (A_ {k}) .

\ Vartriangleright Дійсно,

A \ subseteq \ bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k} \ cup \ varnothing \ cup \ varnothing \ cup \ cdots \ Rightarrow \ mu ^ {*} (A) \ leqslant \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ mu ^ {*} (A_ {k}) + \ mu ^ {*} (\ varnothing) + \ mu ^ {*} (\ varnothing) + \ cdots = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ mu ^ {*} (A_ {k}) . \ Vartriangleleft
  • A \ subseteq B \ Rightarrow \ mu ^ {*} (A) \ leqslant \ mu ^ {*} (B) (Монотонність).

\ Vartriangleright Випливає з попереднього властивості при n = 1 . \ Vartriangleleft


5. \ Mu ^ {*} - Вимірні множини

Нехай \ Mu ^ {*} - Деяка зовнішня міра, визначена на підмножині безлічі X . Тоді безлічі E \ subset X , Такі, що для всіх A \ subset X виконується рівність:

\ Mu ^ {*} (A) = \ mu ^ {*} (A \ cap E) + \ mu ^ {*} (A \ cap E ^ ').

називаються \ Mu ^ {*} - Вимірними. \ Mu ^ {*} - Вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція \ Mu ^ {*} , Визначена на елементах цього σ-кільця, є мірою, породженої \ Mu ^ {*} . Якщо зовнішня міра \ Mu ^ {*} породжена деякою мірою \ Mu , Визначеної на кільці K , То \ Overline \ mu буде продовженням заходів \ Mu (Де \ Overline \ mu - Певна вище міра, породжена \ Mu ^ {*} ).

Якщо визначити \ Overline \ mu ^ * деякої зовнішньої заходом, породжені заходом \ Overline \ mu , То \ Mu ^ {*} = \ overline \ mu ^ * тоді і тільки тоді, коли сама зовнішня міра \ Mu ^ {*} породжена деякою мірою \ Mu .


Література

  • Дороговцев А.Я. Елементи загальної теорії міри та інтеграла. Київ, 1989
  • Халмош П.Р. Теорія міри. М.: Изд-во іноз. лит., 1953