Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Зірчастий багатогранник



План:


Введення

Зірчастий багатогранник (зірчасті тіло) - це неопуклих багатогранник, грані якого перетинаються між собою. Як і у незвездчатих багатогранників межі попарно з'єднуються в ребрах, при цьому внутрішні лінії перетину не вважаються ребрами.

Зірчастої формою багатогранника називається багатогранник, отриманий шляхом продовження граней даного багатогранника через ребра до їх наступного перетину з іншими гранями за новими ребрах.

Правильні зірчасті багатогранники - це зірчасті многогранники, гранями яких є однакові правильні або зірчасті багатокутники. Коші встановив, що існує всього 4 правильних зірчастих тіла, які не є сполуками платонових і зірчастих тіл, звані тілами Кепплера-Пуансо: всі 3 зірчастих форми Додекаедр і одна з зірчастих форм ікосаедра. Решта правильні зірчасті многогранники є або з'єднаннями платонових тіл, або з'єднаннями тел Кепплера-Пуансо.

На даних малюнках кожна грань для краси і наочності пофарбована власним кольором.

First stellation of octahedron.png First stellation of dodecahedron.png Second stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron.png Sixteenth stellation of icosahedron.png First stellation of icosahedron.png

Багато форм зірчастих багатогранників підказує сама природа. Наприклад Сніжинки - це плоскі проекції зірчастих багатогранників. Деякі молекули мають правильні структури об'ємних фігур.


1. Тетраедр і куб

Тетраедр і гексаедр (куб) не мають зірчастих форм, так як їх межі при продовженні через ребра більше не перетинаються.

2. Зірчастий октаедр

Існує тільки одна зірчаста форма октаедра. Зірчастий октаедр був відкритий Леонардо да Вінчі, потім через майже 100 років перевідкритий Іоганном Кеплером, і названий ним Stella octangula - зірка восьмикутна. Звідси ця форма має і другу назву "stella octangula Кеплера". По суті вона є з'єднанням двох тетраедрів.

First stellation of octahedron.png

3. Зірчасті форми Додекаедр

Додекаедр має 3 зірчасті форми: малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр, великий зірчастий додекаедр (зірчастий великий додекаедр, завершальна форма). Перші дві з них були відкриті Кеплером (1619), третя - Пуансо (1809). На відміну від октаедра будь-яка з зірчастих форм Додекаедр не є з'єднанням платонових тіл, а утворює новий багатогранник.

First stellation of dodecahedron.png Second stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron.png

Всі 3 зірчасті форми Додекаедр, разом з великим ікосаедр утворюють сімейство тел Кеплера-Пуансо, тобто правильних неопуклих (зірчастих) багатогранників.

У великого Додекаедр гранями є п'ятикутник, які, сходяться по п'ять у кожній з вершин. У малого зірчастого і великого зірчастого додекаедрів грані - п'ятикутні зірки (пентаграми), які в першому випадку сходяться по 5, а в другому по 3.

Вершини великого зірчастого Додекаедр збігаються з вершинами описаного Додекаедр. У кожної вершини поєднуються три грані.


4. Зірчасті форми ікосаедра

Ікосаедр має 59 зірчастих форм, з яких 32 мають повну, а 27 неповної ікосаедральной симетрією, що було доведено Кокстером спільно з Дювалем, Флезером і Петрі c застосуванням правил обмеження, встановлених Дж. Міллером. Одна з цих зірчастих форм (20-я, мод. 41 по Веннінджеру), звана великим ікосаедра, є одним з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера-Пуансо. Його гранями є правильні трикутники, які сходяться в кожній вершині по п'ять; ця властивість є у великої ікосаедра спільним з ікосаедра.

Sixteenth stellation of icosahedron.png

Серед зірчастих форм також є: з'єднання п'яти октаедрів, з'єднання п'яти тетраедрів, з'єднання десяти тетраедрів.

Ікосаедр має двадцять граней. Якщо кожну з них продовжити необмежено, то тіло буде оточено великим різноманіттям відсіків - частин простору, обмежених площинами граней. Всі зірчасті форми ікосаедра можна отримати додаванням до вихідного тілу таких відсіків. Не рахуючи самого ікосаедра, продовження його граней відокремлюють від простору 20 +30 +60 +20 +60 +120 + 12 +30 +60 +60 відсіків десяти різних форм і розмірів. Великий ікосаедр (див. рис) складається з усіх цих шматків, за винятком останніх шістдесяти.


5. Зірчасті форми кубооктаедра

Кубооктаедр має 4 зірчасті форми, що задовольняють обмеженням, запровадженим Міллером. Перша з них є з'єднанням куба і октаедра.

6. Зірчасті форми ікосододекаедра

Ікосододекаедр має безліч зірчастих форм.

Ікосододекаедр має 32 грані, з яких 12 є правильними п'ятикутними гранями, а решта 20 - правильні трикутники. Що стосується питання про те, чи можуть вийшли многогранники виявитися правильними, то на нього давно отримана відповідь. Великий математик Коші ще в 1811 році довів, що список правильних багатогранників вичерпується п'ятьма Платоновим тілами укупі з чотирма многогранниками Кеплера - Пуансо.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Зірчастий багатокутник
Багатогранник
Правильний багатогранник
Напівправильні багатогранник
Двоїстий багатогранник
Згинаних багатогранник
Перестановною багатогранник
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru