Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кардинальне число



План:


Введення

Алеф-нуль, найменший нескінченний кардинал.

Кардинальним числом або, коротко, кардиналом в теорії множин називається узагальнення поняття натурального числа [1] (як величини, що характеризує кількість елементів кінцевого безлічі), що служить для вимірювання потужності довільних множин, включаючи нескінченні. Кардинальне число будь-якого безлічі A позначається | A | або Card A.

Для кінцевого безлічі A кардинальне число | A | є натуральне число, яке дорівнює кількості елементів цієї множини. Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати. Нехай A і B - нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

  1. Існує взаємно-однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і | A | = | B |.
  2. Існує взаємно-однозначна відповідність між безліччю A і деяким власним підмножиною B 'множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більше потужності множини B і записують | A | ≤ | B |.
  3. Безліч A рівнопотужних деякого підмножини множини B, і навпаки, безліч B рівнопотужних деякого підмножини множини A, тобто A ~ B '⊆ B і B ~ A'A. За теоремі Кантора-Бернштейна в цьому випадку виконується A ~ B, тобто | A | = | B |.
  4. Не існує взаємно-однозначної відповідності між безліччю A і будь-яким підмножиною множини B і, також не існує взаємно-однозначної відповідності між безліччю B і будь-яким підмножиною множини A. З цього випливає, що потужності множин A і B непорівнянні між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість існування четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівняти між собою. Тобто для кардинальних чисел | A | і | B | довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: | A | = | B |, | A | ≤ | B | або | B | ≤ | A |. Якщо | A | ≤ | B |, але безліч A неравномощно безлічі B, то тоді | A | <| B |.


1. Числа алеф

Кардинальне число множини N всіх натуральних чисел позначають через \ Aleph_0 (Читається "алеф-нуль"). Наступний за величиною кардинальне число - потужність множини всіх рахункових порядкових чисел - позначають \ Aleph_1 ("Алеф-один"). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають \ Aleph_2, \ aleph_3, \ dots \ aleph_ \ omega, \ aleph_ {\ omega +1}, \ dots \ aleph_ {\ omega_1}, \ dots (Де індекс пробігає всі порядкові числа). Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.


2. Гіпотеза континууму

Континуум-гіпотеза стверджує, що кардинальне число безлічі дійсних чисел \ Mathfrak {c} збігається з \ Aleph_1 , Тобто є найменшою потужністю, яка перевершує потужність безлічі натуральних чисел. Ця гіпотеза незалежна від аксіом теорії множин Цермело-Френкеля.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
90 (число)
3 (число)
e (число)
-1 (Число)
30 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
24 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru