Знаймо

Додати знання

приховати рекламу



Цей текст може містити помилки.

Квадратне рівняння



План:


Введення

Квадратне рівняння - алгебраїчне рівняння загального вигляду

ax ^ 2 + bx + c = 0, \ quad a \ ne 0.

Коефіцієнт з називається вільним членом цього рівняння.

Поділивши рівняння загального вигляду на a, можна отримати так зване наведене квадратне рівняння:

x ^ 2 + px + q = 0, \ quad p = \ frac {b} {a}, \ quad q = \ frac {c} {a}.

1. Геометричний сенс

Квадратне уравненіе.gif

Графіком квадратичної функції є парабола. Рішеннями (корінням) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола, що описується квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має дійсних коренів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (у вершині параболи), рівняння має один дійсний корінь (також кажуть, що рівняння має два кореня співпадаючих). Якщо парабола перетинає вісь абсцис у двох точках, рівняння має два дійсних кореня. (Див. зображення праворуч.)

Якщо коефіцієнт а позитивний, гілки параболи спрямовані вгору і навпаки. Якщо коефіцієнт b позитивний (при позитивному a, при негативному навпаки), то вершина параболи лежить в лівій напівплощини і навпаки.


2. Отримання формули для вирішення

Формулу можна отримати наступним чином:

a x 2 + b x + c = 0,
a x 2 + b x = - c

Множимо кожну частину на 4 a і додаємо b 2 :

4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = - 4 a c + b 2
(2 a x + b) 2 = - 4 a c + b 2
2ax + b = \ pm \ sqrt {-4ac + b ^ 2}

3. Рівняння з речовими коефіцієнтами

Квадратне рівняння з речовими коефіцієнтами a, b ~, ~ c може мати від 0 до 2 речових коренів залежно від значення дискриминанта D = b 2 - 4 a c:

  • при D> 0 коренів два, і вони обчислюються за формулою
    x_ {1,2} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}; (1)
  • при D = 0 корінь один (в деяких контекстах говорять також про двох рівних або співпадаючих коренях), кратності 2:
    x = \ frac {-b} {2a};
  • при D <0 речових коренів немає. Існують два комплексних кореня, що виражаються тією ж формулою (1) (без використання витягу кореня з від'ємного числа), або формулою
    x_ {1,2} = \ frac {-b \ pm i \ sqrt {-b ^ 2 +4 ac}} {2a}.

3.1. Інші записи рішень

Замість формули (1) для знаходження коренів можна використовувати еквівалентне вираження

x_ {1,2} = \ frac {-k \ pm \ sqrt {k ^ 2-ac}} a,

де k = b / 2. Цей вираз є більш зручним для практичних обчислень при парному b , Тобто для рівнянь виду a x 2 + 2 k x + c = 0.

3.2. Наведене квадратне рівняння

Квадратне рівняння виду x 2 + p x + q = 0, в якому старший коефіцієнт a дорівнює одиниці, називають наведеним. У цьому випадку формула для коренів (1) спрощується до

x_ {1,2} = - \ frac p2 \ pm \ sqrt {\ left (\ frac p2 \ right) ^ 2-q}.

Якщо рівняння записати у вигляді x 2 + 2 p x + q = 0 , То формула буде ще простіше:

x_ {1,2} =-p \ pm \ sqrt {p ^ 2-q}.

3.3. Мнемонічні правила

  • З " Радіоняні ":
    "Мінус" напишемо спочатку,
    Поруч з ним p навпіл,
    "Плюс-мінус" знак радикала,
    З дитинства знайомого нам.
    Ну, а під коренем, приятель,
    зводиться все до дрібниці:
    p навпіл і в квадраті
    Мінус прекрасне [1] q.
  • З " Радіоняні "(інший варіант):
    p, зі знаком взявши зворотним,
    на два ми його розділимо,
    і від кореня акуратно
    знаком "мінус-плюс" відділимо.
    А під коренем дуже до речі
    половина p в квадраті
    мінус q - і ось рішення,
    тобто корені рівняння.

4. Рівняння з комплексними коефіцієнтами

У комплексному разі квадратне рівняння вирішується за тією ж формулою (1) і зазначеним вище її варіантів, але помітними є тільки два випадки: нульового дискриминанта (один дворазовий корінь) і ненульового (два простих кореня).

5. Теорема Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + p x + q = 0 дорівнює коефіцієнту p , Взятому з оберненим знаком, а твір коренів одно вільному члену q :

x_1 + x_2 =-p, \ qquad \ qquad x_1x_2 = q.

У загальному випадку (для неприведення квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 ):

x_1 + x_2 =-b / a, \ qquad \ qquad x_1x_2 = c / a.

5.1. Мнемонічне правило

Познайомили поета
З теоремою Вієта
Обидва кореня він склав
мінус p він отримав
а коренів твір
дає q з рівняння

6. Розкладання квадратного рівняння на множники

Якщо відомі обидва кореня квадратного рівняння, його можна розкласти по формулі

~ Ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2).

У разі нульового дискриминанта це співвідношення стає одним з варіантів формули квадрата суми чи різниці.

7. Рівняння, що зводяться до квадратних

7.1. Алгебраїчні

Рівняння виду a \ cdot f ^ 2 (x) + b \ cdot f (x) + c = 0 є рівнянням, зводиться до квадратного. У загальному випадку воно вирішується заміною f (x) = t, t \ in E (f) c наступним рішенням квадратного рівняння a \ cdot t ^ 2 + b \ cdot t + c = 0 .

Також при рішенні можна обійтися без заміни, вирішивши сукупність двох рівнянь f (x) = \ frac {-b - \ sqrt {b ^ 2-4 \ cdot a \ cdot c}} {2a} і f (x) = \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4 \ cdot a \ cdot c}} {2a}

Якщо f (x) = x 2 , То рівняння приймає вигляд:

a x 4 + b x 2 + c = 0

Таке рівняння називається біквадратним [2].


7.2. Диференціальні

Лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами другого порядку

y''+ p y '+ q y = 0

підстановкою y = e k x зводиться до характеристическому квадратному рівнянню:

k 2 + p k + q = 0

Якщо рішення цього рівняння k 1 і k 2 не рівні один одному, то спільне рішення має вигляд:

y = Ae ^ {k_1 x} + Be ^ {k_2 x} , Де A і B - Довільні постійні.

Для комплексних коренів k_ {1,2} = k_r \ pm k_i i можна переписати спільне рішення, використовуючи формулу Ейлера :

y = e ^ {k_r x} \ left (A \ cos {k_i x} + B \ sin {k_i x} \ right) = Ae ^ {k_r x} \ cos (k_i x + \ varphi)

Якщо рішення характеристичного рівняння збігаються k 1 = k 2 = k , Спільне рішення записується у вигляді:

y = A x e k x + B e k x

Рівняння такого типу часто зустрічаються в найрізноманітніших задачах математики і фізики, наприклад, в теорії коливань або теорії ланцюгів змінного струму.


Примітки

  1. інший варіант - "нещасна"
  2. Математичний енциклопедичний словник / / Москва, "Радянська енциклопедія", 1988

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Квадратне число
Єврейське квадратне лист
Монгольська квадратне лист
Рівняння
Змішане рівняння
Хвильове рівняння
Диофантово рівняння
Пфаффово рівняння
Рівняння Ейнштейна
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru