Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Квадратний корінь



План:


Введення

Квадратний корінь з \! a (Корінь 2-го ступеня) - це рішення \! x рівняння виду x \ cdot x = a . Незважаючи на те, що в першу чергу під \! x і \! a маються на увазі числа, в різних розглядах вони можуть бути математичними об'єктами різної природи, у тому числі такими як матриці і оператори. При використанні терміну слід уточнювати його значення в конкретному розділі математики.


1. Застосування операції кореня до числах

Квадратний корінь з числа \! a - Це таке число, квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює \! a , Тобто рішення рівняння \! x ^ 2 = a щодо змінної \! x . [1] [2]


1.1. Раціональні числа

Корінь з раціонального числа \! p / q є раціональним числом, тільки якщо \! p і \! q (Після скорочення загальних множників) є квадратами натуральних чисел.

Безперервна дріб кореня з раціонального числа завжди є періодичною (можливо з предперіодом) що дозволяє з одного боку легко обчислювати хороші раціональні наближення до них за допомогою лінійних рекуррент, а з іншого боку обмежує точність наближення: | \ Sqrt {r}-p / q |> \ frac {1} {Cq ^ 2} , Де \! C залежить від \! r [3] [4]. Вірно і зворотне: будь-яка періодична ланцюгова дріб є квадратичною ірраціональністю.


1.2. Дійсні числа

При натуральних \! a рівняння \! x ^ 2 = a не завжди вирішується в раціональних числах, що і призвело до появи нових числових полів. Найдавніше з таких розширень - поле речових (дійсних) чисел.

Теорема. Для будь-якого позитивного числа a існує рівно два дійсних корені, які рівні по модулю і протилежні за знаком. [5]

Невід'ємні квадратний корінь з позитивного числа \! a називається арифметичним квадратним коренем і позначається з використанням знака радикала \ Sqrt a . [6]


1.3. Комплексні числа

Над полем комплексних чисел рішень завжди два, які відрізняються лише знаком (за винятком квадратного кореня з нуля). Корінь з комплексного числа \! a часто позначають як \ Sqrt {a} , Проте використовувати це позначення потрібно обережно. Поширена помилка:

-1 = (\ Sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(-1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1

Для витягання квадратного кореня з комплексного числа зручно використовувати експоненційну форму запису комплексного числа: якщо

\! a = | a | e ^ {i \ phi} ,

то (див. Формула Муавра)

\ Sqrt {a} = \ sqrt {| a |} e ^ {i (\ phi +2 \ pi k) / 2} ,

де корінь з модуля розуміється в сенсі арифметичного значення, а k може приймати значення k = 0 і k = 1, таким чином у підсумку у відповіді виходять два різних результату.


2. Квадратний корінь як елементарна функція

2.1. Речовий аналіз

Графік функції y = \ sqrt x

Квадратним коренем називають також функцію \ Sqrt {x} речовинної змінної \! x , Яка кожному \! x \ geq 0 ставить у відповідність арифметичне значення кореня. [7] Ця функція є окремим випадком степеневої функції \! x ^ \ alpha з \! \ Alpha = 1 / 2 . Ця функція є гладкою при \! x> 0 , В нулі ж вона неперервна справа, але не дифференцируема.


2.2. Комплексний аналіз

3. Узагальнення

Квадратні корені вводяться як рішення рівнянь виду x \ circ x = a і для інших об'єктів: матриць [8], функцій [9], операторів [10] і т. п. В якості операції \ Circ при цьому можуть використовуватися досить довільні мультиплікативні операції, наприклад, суперпозиція.

В алгебрі застосовується таке формальне визначення: Нехай (G, \ cdot) - группоід і a \ in G . Елемент x \ in G називається квадратним коренем з \ A якщо \ X \ cdot x = a .


4. Квадратний корінь в елементарній геометрії

Квадратні корені тісно пов'язані з елементарною геометрією : якщо дано відрізок довжини 1, то за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати ті і тільки ті відрізки, довжина яких записується виразами, що містять цілі числа, знаки чотирьох дій арифметики, квадратні корені і нічого понад те. [11]


5. Квадратний корінь в інформатиці

У багатьох мовах програмування функціонального рівня (а також мовами розмітки типу LaTeX) функція квадратного кореня позначається як sqrt (від англ. square root "Квадратний корінь").

6. Алгоритми знаходження квадратного кореня

Знаходження або обчислення квадратного кореня заданого числа називається витягом (квадратного) кореня.

6.1. Розклад в ряд Тейлора

\ Sqrt {1 + x} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n (2n )!}{( 1-2n) (n!) ^ 2 (4 ^ n)} x ^ n = 1 + \ textstyle \ frac {1} {2} x - \ frac {1} {8} x ^ 2 + \ frac {1} {16} x ^ 3 - \ frac {5} {128} x ^ 4 + \ dots, \! при | X | \ le 1 .

6.2. Арифметичне витяг квадратного кореня

Для квадратів чисел вірні такі рівності:

1 = 1 2
1 + 3 = 2 2
1 + 3 + 5 = 3 2

і так далі.

Тобто, дізнатися цілу частину квадратного кореня числа можна, віднімаючи з нього всі непарні числа по порядку, поки залишок не стане менше наступного від'ємника числа або дорівнює нулю, і порахувавши кількість виконаних дій. Наприклад, так:

9 - 1 = 8
8 - 3 = 5
5 - 5 = 0

Виконано 3 дії, квадратний корінь числа 9 дорівнює 3.

Недоліком такого способу є те, що якщо витягуваний корінь не є цілим числом, то можна дізнатися тільки його цілу частину, але не точніше. У той же час такий спосіб цілком доступний дітям, вирішальним найпростіші математичні завдання, що вимагають добування квадратного кореня.


6.3. Груба оцінка

Багато алгоритми обчислення квадратних коренів з позитивного дійсного числа S вимагають деякого початкового значення. Якщо початкове значення занадто далеко від справжнього значення кореня, обчислення сповільнюються. Тому корисно мати грубу оцінку, яка може бути дуже неточна, але легко обчислюється. Якщо S ≥ 1, нехай D буде числом цифр S ліворуч від десяткової коми. Якщо S <1, нехай D буде числом нулів, що йдуть підряд, праворуч від десяткової коми, взяте зі знаком мінус. Тоді груба оцінка виглядає так:

Якщо D непарній, D = 2 n + 1, тоді використовуємо \ Sqrt {S} \ approx 2 \ cdot 10 ^ n.
Якщо D парне, D = 2 n + 2, тоді використовуємо \ Sqrt {S} \ approx 6 \ cdot 10 ^ n.

Два і шість використовуються тому, що \ Sqrt {\ sqrt {1 \ cdot 10}} = \ sqrt [4] {10} \ approx 2 \, і \ Sqrt {\ sqrt {10 \ cdot 100}} = \ sqrt [4] {1000} \ approx 6 \,.

При роботі в двійковій системі (як всередині комп'ютерів), слід використовувати іншу оцінку 2 ^ {\ left \ lfloor D / 2 \ right \ rfloor} (Тут D це число двійкових цифр).


6.4. Геометричне витяг квадратного кореня

Mitjana geomtrica amb teorema de l'altura. PNG

| BH | = \ sqrt {| AH | \ cdot | HC |}

Зокрема, якщо \! | AH | = 1 , А \! | HC | = x , То | BH | = \ sqrt {x} [12]



6.5. Ітераційний аналітичний алгоритм

Основна стаття: Ітераційна формула Герона

\ Begin {cases} x_ {n +1} = \ frac {1} {2} \ left (x_n + \ frac {a} {x_n} \ right) \ \ x_0 = a \ end {cases}

тоді \ Lim_ {n \ to \ infty} x_n = \ sqrt {a}

6.6. Стовпчиком

Цей спосіб дозволяє знайти наближене значення кореня з будь-якого дійсного числа з будь-якою наперед заданою точністю. Такий спосіб може бути освоєно навіть школярем. До недоліків способу можна віднести збільшується складність обчислення зі збільшенням кількості знайдених цифр.

Для ручного витягу кореня застосовується запис, схожа на поділ стовпчиком. Виписується число, корінь якого шукаємо. Праворуч від нього будемо поступово отримувати цифри шуканого кореня. Нехай витягується корінь з цілого числа N . Для початку подумки або мітками розіб'ємо число N на групи по дві цифри зліва і праворуч від десяткової точки. При необхідності, групи доповнюються нулями - ціла частина доповнюється ліворуч, десяткова справа. Так 31234.567 можна уявити, як 3 грудня 34. 56 70. На відміну від ділення знесення виробляється такими групами по 2 цифри.

  1. Запишемо число N (У прикладі - 69696) на листку.
  2. Знайдемо a , Квадрат якого менше групи старших розрядів числа N (Старша група - найбільша ліва не рівна нулю), а квадрат a + 1 більше групи старших розрядів числа. Записати знайдене a праворуч від N (це чергова цифра шуканого кореня). (На першому кроці прикладу a ^ 2 = 2 ^ 2 = 2 \ cdot 2 = 4 <6 , А (A +1) ^ 2 = 3 ^ 2 = 3 \ cdot 3 = 9> 6 ).
  3. Записати квадрат a під старшою групою розрядів. Провести віднімання зі старшої групи розрядів N виписаного квадрата числа a і записати результат віднімання під ними.
  4. Зліва від цього результату віднімання провести вертикальну лінію і зліва від межі записати число рівне вже знайденим цифрам результату (ми їх виписуємо праворуч від N) помножене на 20. Назвемо це число b . (На першому кроці прикладу це число просто є b = 2 \ cdot 20 = 40 , На другому b = 26 \ cdot 20 = 520 ).
  5. Провести знесення наступної групи цифр, тобто дописати наступні дві цифри числа N праворуч від результату віднімання. Число утворене "склеєними" результатом вирахування й дописані двома цифрами назвемо c . (На першому кроці прикладу це число просто є c = 296 , На другому c = 2096 ). Якщо зноситься перша група після десяткової точки числа N , То потрібно поставити крапку праворуч від вже знайдених цифр шуканого кореня.
  6. Тепер потрібно знайти таке a , Що (B + a) \ cdot a менше або дорівнює c , Але (B + (a +1)) \ cdot (a +1) більше, ніж c . Записати знайдене a праворуч від N, як чергову цифру шуканого кореня. Цілком можливо, що a виявиться рівним нулю. Це нічого не міняє - записується 0 праворуч від вже знайдених цифр кореня. (На першому кроці прикладу це число 6, так як (40 +6) \ cdot 6 = 46 \ cdot 6 = 276 <296 , Але (40 +7) \ cdot 7 = 47 \ cdot 7 = 329> 296 ) Якщо число знайдених цифр вже задовольняє шуканої точності припиняємо процес обчислення.
  7. Записати число (B + a) \ cdot a під c . Провести віднімання стовпчиком числа (B + a) \ cdot a з c і записати результат віднімання під ними. Перейти до кроку 4.

Наочне опис алгоритму:

SquareRoot.png


Примітки

  1. "Коренем n-го ступеня з числа x називається число, n-й ступінь якого збігається з x. При n = 2 і n = 3 корені називаються відповідно квадратним і кубічним." - Визначення зі статті "Алгебра" - slovari.yandex.ru / art.xml? art = krugosvet/krugosvet/2/1001510.htm енциклопедії " Кругосвет "
  2. "Витягти корінь n-го ступеня з числа а - це означає знайти таке число (або числа) x, яке при зведенні в n-ю ступінь дасть дане число ( \! x ^ {n} = a ) ... Корінь 2-го ступеня називається квадратним "- визначення зі статті "Витяг кореня" - slovari.yandex.ru / art.xml? art = bse/00028/86300.htm "Великій радянській енциклопедії" третього видання.
  3. Теорема Ліувілля про наближення алгебраїчних чисел
  4. Див А. Я. Хинчин, Ланцюгові дроби - ilib.mccme.ru / djvu / hinchin-cep-dr.htm, М. ГІФМЛ, 1960, 4, 10.
  5. Фіхтенгольц, Григорій Михайлович. Курс диференціального й інтегрального числення Том. 1. Введення, 4 / / Мат. аналіз на EqWorld - eqworld.ipmnet.ru / ru / library / mathematics / calculus.htm
  6. Г. Корн, Т. Корн. Довідник з математики (для науковців та інженерів). М., 1974 р., п. 1.2.1
  7. Фіхтенгольц, гл. 2, 1
  8. Див, наприклад: Гантмахер Ф. Р., Теорія матриць, М.: Держ. вид-во техніко-теоретичної літератури, 1953, або: Воєводін В., Воєводін В., Енциклопедія лінійної алгебри. Електронна система ЛІНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
  9. Див, наприклад: Єршов Л. В., Райхміст Р. Б., Побудова графіків функцій, М.: Просвещение, 1984, або: Каплан І. А., Практичні заняття з вищої математики, Харків: Вид-во ХДУ, 1966 .
  10. Див, наприклад: Хатсон В., Пім Дж., Додатки функціонального аналізу і теорії операторів, М.: Мир, 1983, або: Халмош П., Гільбертів простір в задачах, М.: Мир, 1970.
  11. Р. Курант Г. Роббінс Що таке математика? МЦНМО, 2000. (Розділ III Геометричні побудови. Алгебра числових полів)
  12. Р. Курант Г. Роббінс Що таке математика? МЦНМО, 2000. Стор. 148

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Квадратний корінь з 3
Квадратний корінь з 5
Квадратний корінь з 2
Квадратний метр
Квадратний фут
Квадратний ярд
Квадратний кілометр
Фунт на квадратний дюйм
Корінь
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru