Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Квадратріси



План:


Введення

Рис. 1. Кінематичні визначення квадратріси
Рис. 2. Те саме з анімацією

Квадратріси - плоска трансцендентна крива, яка визначається кінематично. Була запропонована в античні часи для вирішення завдань квадратури кола і трисекции кута.


1. Кінематичне визначення

Розглянемо квадрат A B C D (Рис. 1), в який вписано сектор чверті кола. Нехай точка E рівномірно рухається по дузі від точки D до точки B ; Одночасно відрізок A 'B' рівномірно рухається зі становища D C в положення A B . Нарешті, вимагатимемо, щоб обидва рухи закінчилися одночасно. Тоді точка перетину радіуса A E і відрізання A 'B' опише квадратріси (рис. 2, виділена червоним кольором).


2. Історія

Перша згадка про квадратріси зробили Папп Александрійський [1] і Ямвлих в кінці III століття. Папп дав і докладний опис способів її побудови. Крива відкрита, за повідомленням Прокла Діадох (V століття), софістом Гіппієм ( V століття до н.е..) і використовувалася ним для виконання завдання трисекции кута. Інший античний геометр, Дінострат, дав дослідження цієї кривої і показав, що вона забезпечує також вирішення завдання квадратури кола. У джерелах дану криву називають "квадратріси Дінострата" або "квадратріси Гиппия".

У Новий час криву досліджували Роберваля ( 1636), Ферма, Барроу ( 1670) та інші відомі математики. Декарт присвятив дослідженню квадратріси чимало сторінок у своїй "Геометрії" (1637). Ньютон в 1676 визначив довжину дуги квадратріси, її кривизну і площа її сегмента у вигляді ряду.


3. Рівняння кривої

\ Rho = \ frac {2R} {\ pi} \ frac {\ varphi} {\ sin \ varphi}.
Висновок
Виведемо рівняння квадратріси в полярних координатах. Нехай R - Радіус кола, \ Varphi - Поточний кут F A G , ρ = A F - Полярний радіус. Для зручності введемо час t , Яке за період руху змінюється від 0 до 1. Тоді рівномірний рух точки E по дузі довжиною \ Textstyle \ frac {\ pi} {2} можна виразити рівнянням:
\ Varphi = \ frac {\ pi} {2} \ cdot (1-t).

Рівномірний рух відрізка A 'B' виражається рівнянням:

A 'A = ρsin φ = (1 - t) R

Підставляючи значення 1 - t з першого рівняння в друге, отримуємо остаточно:

\ Rho = \ frac {2R \ varphi} {\ pi \ sin \ varphi}.
x = y \, \ operatorname {ctg} \ frac {\ pi y} {2R}
Висновок
Наводимо рівняння в полярних координатах до вигляду:
\ Rho \ sin \ varphi = \ frac {2R} {\ pi} \ varphi

Враховуючи ρsin φ = y , Отримуємо

y = \ frac {2R} {\ pi} \ varphi

З геометричних міркувань: \ Textstyle \ varphi = \ operatorname {arctg} \ frac {y} {x} . Тоді рівняння постане у вигляді:

\ Frac {\ pi y} {2R} = \ operatorname {arctg} \ frac {y} {x}

Беремо тангенс від обох частин:

\ Operatorname {tg} \ frac {\ pi y} {2R} = \ frac {y} {x}

тобто

x = y \, \ operatorname {ctg} \ frac {\ pi y} {2R}

4. Основна властивість

Рівняння квадратріси в полярних координатах можна записати у вигляді:

\ Rho \ sin \ varphi = \ frac {2R} {\ pi} \ varphi, або: y = k φ,

де k = \ frac {2R} {\ pi}. Звідси випливає основна властивість даної кривої:

Ординати будь-яких двох точок квадратріси ставляться, як полярні кути цих точок: \ Frac {y_1} {y_2} = \ frac {\ varphi_1} {\ varphi_2}.

Квадратріси - єдина (невироджених) крива в першому координатному квадранті, що володіє такою властивістю (це легко довести, повторивши наведені міркування в зворотному порядку).


5. Застосування

5.1. Трисекции кута

Трисекции кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини, за допомогою квадратріси проводиться елементарно. Нехай E A B (Рис. 1) - деякий кут, третину якого треба побудувати. Алгоритм розподілу наступний:

  1. Знаходимо точку F на квадратріси і її ординату A ' .
  2. Відкладаємо на відрізку A A ' його третю частину; отримаємо деяку точку H .
  3. Знаходимо на квадратріси точку K з ординатою H .
  4. Проводимо промінь A K . Кут K A B - Шуканий.

Доказ цього алгоритму відразу випливає з основного властивості квадратріси. Очевидно також, що аналогічним способом можна розділити кут не тільки на три, а й на будь-яке інше число частин.


5.2. Квадратура кола

Рис. 3. Схема квадратури кола за допомогою квадратріси

Завдання квадратури кола ставиться так: побудувати квадрат з такою ж площею, як у заданого кола радіуса R . Алгебраїчно це означає рішення рівняння: x 2 = π R 2 .

Побудуємо для вихідного кола квадратріси, як на рис. 1. Використовуючи Перша чудова межа, отримуємо, що абсциса A G її нижньої точки дорівнює \ Frac {2R} {\ pi} . Висловимо це у вигляді пропорції: C: 2 R = 2 R: A G , Де C = 2π R - Довжина кола. Наведене співвідношення дозволяє побудувати відрізок довжини C . Прямокутник із сторонами R і C / 2 матиме потрібну площу, а побудувати рівновеликий йому квадрат - справа нескладна, див. статтю Квадратура (математика) або рис. 3.


6. Варіації

Крім розглянутої вище квадратріси Дінострата, існує ряд інших кривих, які можна використовувати для квадратури кола, і тому також званих квадратріси.

y = a \ sin \ frac {\ pi x} {2a}
x = 2 a \ sin ^ 2 \ frac {y} {2a}
Рис. 4. Графік "повної" квадратріси при R = 1

Крім того, ряд авторів воліють поміняти місцями x і y в рівнянні квадратріси Дінострата:

y = x \, \ operatorname {ctg} \ frac {\ pi x} {2R}

Цей варіант має ту перевагу, що функція y (x) визначена на всій речовинної осі, крім точок \ Pm 2 R, \ pm 4 R, \ pm 6 R \ dots , Див. її графік при R = 1 на рис. 4. У полярних координатах центральна гілка даного варіанту кривої описується формулою:

\ Rho = \ frac {R} {\ pi} \ cdot \ frac {\ pi-2 \ varphi} {\ cos \ varphi}.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru