Квадратура кола



План:


Введення

Коло і квадрат однакової площі

Квадратура кола - задача, що полягає в знаходженні побудови за допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого за площею даному колу.

Поряд з трисекции кута і подвоєнням куба, є однією з найвідоміших нерозв'язних задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки.


1. Нерозв'язність

Якщо прийняти за одиницю виміру радіус кола і позначити x довжину сторони шуканого квадрата, то завдання зводиться до рішення рівняння: x 2 = π , Звідки: x = \ sqrt {\ pi} . Як відомо, за допомогою циркуля і лінійки можна виконати всі 4 арифметичних дії і витяг квадратного кореня, звідси випливає, що квадратура кола можлива в тому і тільки в тому випадку, якщо за допомогою кінцевого числа таких дій можна побудувати відрізок довжини π . Таким чином, нерозв'язність цієї задачі випливає з неалгебраічності ( трансцендентності) числа π , Яка була доведена в 1882 Ліндеманн.

Однак цю нерозв'язність слід розуміти, як нерозв'язність при використанні тільки циркуля і лінійки. Задача про квадратуру круга стає розв'язною, якщо, крім циркуля і лінійки, використовувати інші засоби (наприклад, квадратріси). Найпростіший механічний спосіб запропонував Леонардо да Вінчі. [1] Виготовимо кругової циліндр з радіусом підстави R і висотою \ Frac {R} {2} , Намасти його чорнилом і прокотимо по площині. За один повний оборот циліндр віддрукує на площині прямокутник площею π R 2 . Маючи таким прямокутником, вже нескладно побудувати рівновеликий йому квадрат.


2. Наближене рішення

До цієї окружність вписується квадрат. До потроєному діаметру кола додається п'ята частина сторони цього квадрата. Довжина отриманого відрізка відрізняється від довжини окружності менше, ніж на 1 / 17000 .

3. Метафора "Квадратура круга"

Математичне доказ неможливості квадратури кола не заважало багатьом ентузіастам витрачати роки на вирішення цієї проблеми. Марність досліджень за рішенням завдання квадратури кола перенесла цей оборот в багато інші області, де він просто позначає безнадійне, безглузде або марне підприємство.

Література

  • Манін Ю. І. Про можливості розв'язання задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки. Енциклопедія елементарної математики. Книга четверта (геометрія), М., Фізматгіз, 1963. - 568 с.
  • Перельман Я. І. Квадратура круга. Л.: Дім цікавої науки, 1941. Текст у форматі djv / zip.
  • Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекции кута, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія "Популярні лекції з математики", випуск 62.
  • Рудіо Ф. Про квадратуру, кола (Архімед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр), з додатком історії питання. Видання третє. М.-Л.: ОГИЗ, 1936. Серія: Класики природознавства.
  • Хал Хеллман. Великі протистояння в науці. Десять найбільш захоплюючих диспутів - Глава 2. Валліс проти Гоббса: Квадратура кола = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever - М .: "Діалектика", 2007. - 320 с. - ISBN 0-471-35066-4.
  • Щетніков А. І. Як були знайдені деякі рішення трьох класичних завдань давнини? Математичну освіту, № 4 (48), 2008, с. 3-15.

Примітки

  1. Александрова Н. В. Історія математичних термінів, понять, позначень: Словник-довідник, вид. 3-е - СПб: ЛКИ, 2008. - С. 71. - 248 с. - ISBN 978-5-382-00839-4.

http://znaimo.com.ua