Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Квадратура (математика)



План:


Введення

Квадратура ( лат. quadratura , Надання квадратної форми) - математичний термін, спочатку означав знаходження площі заданої фігури або поверхні. Надалі зміст терміна поступово змінювався [1] Завдання квадратури послужили одним з головних джерел виникнення в кінці XVII століття математичного аналізу.

В античні часи проведення квадратури розумілося як побудова з допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого даної фігурі (наприклад, квадратура кола, Гиппократова луночки). Як основний метод аналізу тоді був прийнятий метод вичерпання Евдокса.

У середньовічній Європі квадратура означала обчислення площі заданої області (наприклад, квадратура арки циклоїди). Для цього найчастіше використовувався метод неподільних.

З появою інтегрального числення обчислення площі звелося до інтегрування, і термін квадратура став розумітися як синонім ( певного або невизначеного) інтеграла. "Стало звичайним обчислення інтеграла називати квадратурою" [2]

В даний час термін вживається рідко, в основному в наступних стійких словосполученнях:

  • Квадратурні формули - формули для оцінки значення певного інтеграла.
  • Привести до квадратура (виразити в квадратурах, вирішити в квадратурах) - виразити у вигляді інтеграла від комбінацій стандартних функцій.

1. Історичний нарис

Математики Стародавньої Греції, відповідно до пифагорейской доктриною, розуміли визначення площі фігури як побудова з допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого даної фігурі. Звідси і походить термін квадратура.

Античний метод знаходження середнього геометричного

Для квадратури прямокутника зі сторонами a і b треба побудувати квадрат зі стороною x = \ sqrt {ab} ( середнє геометричне a і b). Для цього можна використовувати наступний факт: якщо побудувати коло на сумі цих двох відрізків як на діаметрі, то висота BH, восставленная з точки їх з'єднання до перетину з колом, дасть їх середнє геометричне [3]. Аналогічна геометрична конструкція вирішує задачу квадратури паралелограма і трикутника. У загальному вигляді завдання квадратури багатокутника вирішується в "Засадах" Евкліда (пропозиція 45 книг I і пропозиція 14 Книги II).

Площа сегмента параболи

Набагато складніше виявилися завдання квадратури криволінійних фігур. Квадратура кола, як остаточно було доведено в XIX столітті, за допомогою циркуля і лінійки неможлива. Однак для деяких фігур (наприклад, Гиппократова луночки) квадратуру все ж таки вдалося провести. Вищим досягненням античного аналізу стали проведені Архімедом квадратури поверхні сфери та сегменту параболи :

  • площа поверхні сфери дорівнює учетверенной площі великого кола цієї сфери;
  • площа сегмента параболи, відсікається від неї прямий, складає 4 / 3 від площі вписаного в цей сегмент трикутника (див. малюнок).

Треба відзначити, що результат Архімеда для поверхні сфери вже виходить за межі пифагорейского визначення, тому що не зводиться до явного побудови квадрата.

Для доказу своїх результатів Архімед використовував висхідний до Евдоксу " метод вичерпання ".

У XVII столітті з'явився " метод неподільних ", менш суворий, але більш простий і потужний, ніж метод вичерпання. З його допомогою Галілей і Роберваля знайшли площа арки циклоїди, а фламандець Грегуар де Сен-Венсан досліджував площа під гіперболою ("Opus Geometricum", 1647), причому Сараса ( фр. Alphonse Antonio de Sarasa ), Учень і коментатор де Сен-Венсана, вже відзначив зв'язок цієї площі з логарифмами [4]. Джон Валліс провів алгебраізацію методу: він будує в "Арифметиці нескінченних" ( 1656) числові ряди, які ми зараз називаємо інтегральними сумами, і знаходить ці суми. Техніка Валліса отримала подальший розвиток в працях Ісаака Барроу і Джеймса Грегорі; були отримані квадратури для безлічі алгебраїчних кривих, а також спіралей. Гюйгенс успішно провів квадратуру ряду поверхонь обертання, зокрема, в 1651 він опублікував працю про квадратуру конічних перетинів під назвою "Роздуми про квадратуру гіперболи, еліпса і круга".

Подальший прогрес був пов'язаний з появою інтегрального числення, яке дало універсальний метод для обчислення площі. У зв'язку з цим термін квадратура став поступово виходити з ужитку, а в тих випадках, коли він використовувався, став синонімом терміна інтеграл. Цікаво, що Ісаак Ньютон намагався замість звичного для нас, лейбніцевского позначення інтеграла, ввести свій символ - квадрат, який ставився перед інтегрованою функцією або містив її всередині себе [5].


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Квадратура
Квадратура кола
Квадратура кола Тарського
E8 (математика)
F4 (математика)
E6 (математика)
G2 (математика)
Математика
Рівність (математика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru