Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Квадрірованіе квадрата



План:


Введення

Розбиття квадрата на 21 квадрат, серед яких немає рівних. Цифра всередині кожного квадрата означає довжину його сторони. Відповідно, довжина сторони великого квадрата дорівнює (складаючи довжини сторін крайніх квадратів) 50 + 35 + 27 = 50 + 29 + 33 = 33 + 37 + 42 = 27 + 19 + 24 + 42 = 112

Квадрірованіе квадрата - завдання про розбиття квадрата на кінцеве число менших квадратів. У більш вузькому сенсі - завдання про розбиття квадрата на кінцеве число попарно нерівних між собою квадратів.

Довгий час вважалося, що ця надзвичайно важка математична задача нерозв'язна. В 1936 - 1938 роках її вирішили чотири студенти Трініті-коледжу Кембриджського університету [1].


1. Діаграма Сміта

Діаграма Сміта для прямокутника. Верхня клема "+" відповідає верхній стороні прямокутника, нижня клема "-" - нижній стороні. Решта клеми відповідають посередником горизонтальним відрізкам. Якщо довжині сторони квадрата зіставити силу струму, то діаграма стає електричною схемою, для якої виконується закон Кірхгофа. Наприклад, довжина верхньої сторони прямокутника складається зі сторін 6 + 4 + 5 = 15, що відповідає розгалуження струму в 15 одиниць на три відповідні частини

Ключову роль у вирішенні задачі квадрірованія зіграв винахід діаграми, названої діаграмою Сміта, яка будь разбиению квадрата (або прямокутника) ставить у відповідність еквівалентну електричний ланцюг. Кожному горизонтальному відрізку на схемі розбиття квадрата відповідає "клема" цього ланцюга, а кожному квадрату розбиття - провідник, що з'єднує дві "клеми". Сила струму, поточного по провіднику, дорівнює довжині сторони відповідного квадрата. Якщо вважати опір кожного провідника рівним одиниці, така електричний ланцюг веде себе як "справжня" і підпорядковується правилам Кірхгофа для струмів в ланцюзі. Це дозволило застосовувати для розв'язання задачі квадрірованія добре розроблену теорію електричних ланцюгів.


2. Термінологія

Квадрат, розбитий на попарно нерівні квадрати, називається досконалим.

Порядком квадрата, розбитого на складові квадрати, називається число складових його квадратів.

Розбиття квадрата, ніяке підмножина квадратів якого не утворює прямокутника (не рахуючи окремих квадратів), називається простим.

3. Коротка історія

Найперші знайдені Бруксом, Смітом, Стоуном і Татту вчинені квадрати були 69-го порядку. В 1939 Р. Шпраг (R. Sprague) знайшов досконалий квадрат 55-го порядку, це був перший опублікований досконалий квадрат. Пізніше Т. Г. Уіллкокс (TH Willcocks) знайшов досконалий квадрат 24-го порядку, який довгий час тримав рекорд малості порядку.

Нарешті, в 1978 голландський математик А. Й. В. Дуйвестейн (AJW Duijvestijn) за допомогою комп'ютера знайшов розбиття квадрата на 21 квадрат, серед яких немає рівних. Він довів, що не існує досконалого квадрата меншого порядку, а також показав, що знайдене ним розбиття - єдино можливе для 21-го порядку.


4. Кубірованіе куба

"Кубірованіе куба", тобто розбиття куба на кінцеве число попарно нерівних між собою кубів неможливо. Доказ цього факту було дано Бруксом, Смітом, Стоуном і Татту.

Ідея докази полягає в наступному. Припустимо, що шукане розбиття куба існує. Серед усіх кубів розбиття, що стоять на нижньому підставі вихідного куба, виберемо найменший. Назвемо його кубом A. Оскільки до A прилягають з боків тільки великі куби розбиття, їх межі будуть підніматися над ним з усіх сторін, утворюючи "стіни". Звідси ясно, що на верхньому підставі A можуть стояти тільки куби менших розмірів.

Виберемо серед них найменший і позначимо його B. При цьому, B не може стояти на краю куба A, так як при квадрірованіі квадрата найменший квадрат не може бути скраю.

Повторюючи для нього ті самі міркування, що і для A, приходимо до висновку про існування ще меншого куба C, що стоїть на верхньому підставі B. Повторюючи ці міркування, ми отримуємо нескінченну послідовність кубів розбиття, що суперечить нашим припущенням про кінцівки розбиття.

Аналогічно, неможливо "гіперкубірованіе гіперкуба" для гиперкубов будь розмірності, більшою 3-х. Дійсно, для будь-якої розмірності n гіперкуби розбиття, прилеглі до якої-небудь (n - 1)-мірною гіперграні вихідного гіперкуба, повинні розбивати цю гіпергрань на кінцеве число попарно нерівних (n - 1)-мірних гиперкубов. При n = 4 "гіперкубірованіе" неможливо, так як має породжувати "кубірованіе" 3-мірних гіперграней вихідного 4-мірного гіперкуба. Індукцією по n можна зробити висновок про неможливість "гіперкубірованія" для всіх n> 3.


Література

  • М. Гарднер, Математичні головоломки й розваги. Пер. з англійської Ю. Данилова. Изд. "Онікс", Москва, 1994, стор 305-326.
  • І. М. Яглом, Як розрізати квадрат серія "Математична бібліотечка" М., Наука, 1968-112 с.
  • CJ Bouwkamp and AJW Duijvestijn, Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25, Eindhoven Univ. Technology, Dept. of Math., Report 92-WSK-03, Nov. 1992.
  • CJ Bouwkamp and AJW Duijvestijn, Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26, Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, December 1994.
  • Brooks, RL; Smith, CAB; Stone, AH; and Tutte, WT The Dissection of Rectangles into Squares, Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
  • Martin Gardner, Squaring the square, in The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
  • H. Meschkowski, Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry, Oliver and Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9-102.
  • S. Stein, Mathematics: The Man-Made Universe, (2nd ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92-124.
  • W. Tutte, Squaring the Square, Canadian journal of Mathematics, 1950, pp.197-209.
  • W. Tutte, The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly, 1965, Vol. 72, No. 2, pp. 29-35.
  1. Brooks, RL; Smith, CAB; Stone, AH; and Tutte, WT The Dissection of Rectangles into Squares, Duke Math. J. 7, 312-340, 1940

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru