Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кватерніони



План:


Введення

Кватерніони (від лат. quaterni , По чотири) - система Гіперкомплексні чисел, запропонована Гамільтоном в 1843.

Множення кватернионов некомутативних; вони утворюють тіло, яке зазвичай позначається \ Mathbb H .

Кватерніони дуже зручні для опису ізометрій тривимірного і чотиривимірного Евклідових просторів, і тому отримали широке поширення в механіці. Також їх використовують в обчислювальній математиці, наприклад при створенні тривимірної графіки. [1]


1. Визначення

1.1. Вектор-скаляр

Кватерніони являє собою пару \ Left (a, \ vec {u} \ right), де \ Vec {u} - Вектор тривимірного простору, а a \, - Скаляр, тобто дійсне число. Операції складання визначені наступним чином:

\ Left (a, \ vec {u} \ right) + \ left (b, \ vec {v} \ right) = \ left (a + b, \ vec {u} + \ vec {v} \ right)

Твір визначається таким чином:

\ Left (a, \ vec {u} \ right) \ left (b, \ vec {v} \ right) = \ left (ab - \ vec {u} \ cdot \ vec {v}, a \ vec {v } + b \ vec {u} + \ vec {u} \ times \ vec {v} \ right)

де \ Cdot позначає скалярний твір, а \ Times - векторний добуток.

Зокрема,

\ Left (a, 0 \ right) \ left (0, \ vec {v} \ right) = \ left (0, \ vec {v} \ right) \ left (a, 0 \ right) = \ left (0 , a \ vec {v} \ right)
\ Left (a, 0 \ right) \ left (b, 0 \ right) = \ left (ab, 0 \ right) \,
\ Left (0, \ vec {u} \ right) \ left (0, \ vec {v} \ right) = \ left (- \ vec {u} \ cdot \ vec {v}, \ vec {u} \ times \ vec {v} \ right)

Зауважимо, що


1.2. Стандартне визначення

Кватерніони можна визначити як формальну суму \, A + bi + cj + dk, де \, A, b, c, d - Дійсні числа, а \, I, j, k - уявні одиниці з наступним властивість: i 2 = j 2 = k 2 = i j k = - 1 . Таким чином, таблиця множення базисних кватернионов - \, 1, i, j, k - Виглядає так:

1 i j k
1 \, 1\, I\, J\, K
i \, I\, -1\, K\,-J
j \, J\,-K\, -1\, I
k \, K\, J\,-I\, -1

наприклад, \, Ij = k , A \, Ji =- k .


1.2.1. Через речові матриці

Кватерніони також можна визначити як речові матриці такого вигляду зі звичайними матричними твором і сумою:

\ Begin {pmatrix} a &-b &-c &-d \ \ b & \; \; a &-d & \; \; c \ \ c & \; \; d & \; \; a & - b \ \ d &-c & \; \; b & \; \; a \ end {pmatrix}.

При такого запису:

  • сопряженному кватерніони відповідає транспонована матриця:
    \ Bar q \ mapsto Q ^ T ;
  • четвертий ступінь модуля кватерніони дорівнює определителю відповідної матриці:
    \ Left | q \ right | ^ 4 = \ det Q .

1.3. Через комплексні числа

Кватерніони можна представити як пару комплексних чисел. Нехай j ^ 2 = -1, \, j \ ne \ pm i і z, w \ in \ C . Тоді кватерніони можна записати у вигляді q = z + w j = a + b i + c j + d i j .

1.3.1. Через комплексні матриці

Альтернативно, кватерніони можна визначити як комплексні матриці такого вигляду зі звичайними матричними твором і сумою:

\ Begin {pmatrix} \; \; \ alpha & \ beta \ \ - \ bar \ beta & \ bar \ alpha \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \; \; a + bi & c + di \ \ -c + di & a-bi \ end {pmatrix},

тут \ Bar \ alpha і \ Bar \ beta позначають комплексно-зв'язані числа до \, \ Alpha і \, \ Beta .

Таке уявлення має декілька чудових властивостей:

  • комплексному числу відповідає діагональна матриця;
  • сопряженному кватерніони відповідає сполучена транспонована матриця:
    \ Bar q \ mapsto \ bar Q ^ T ;
  • квадрат модуля кватерніони дорівнює определителю відповідної матриці:
    \ Left | q \ right | ^ 2 = \ det Q .

2. Пов'язані визначення

Для кватерніони

\, Q = a + bi + cj + dk

кватерніони \, A називається скалярним частиною \, Q, а кватерніони \, U = bi + cj + dk - Векторної частиною. Якщо \, U = 0, то кватерніони називається чисто скалярним, а при \, A = 0 - Чисто векторним.


2.1. Сполучення

Кватерніони

\ Bar q = a-bi-cj-dk

називається зв'язаним до \, Q.

Поєднане твір є твором сполучених в зворотному порядку:

\ Overline {pq} = \ bar q \ bar p

Для кватернионов справедливо рівність

\ Overline {p} =- \ frac 12 (p + ipi + jpj + kpk)

2.2. Модуль

Так само, як і для комплексних чисел,

\ Left | q \ right | = \ sqrt {q \ bar q} = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2}

називається модулем \, Q . Якщо \, \ Left | q \ right | = 1, то \, Q називається одиничним кватерніонів.

В якості норми кватерніони зазвичай розглядають його модуль: \ Left \ | z \ right \ | = \ left | z \ right | .

Таким чином, на безлічі кватерніонів можна ввести метрику. Кватерніони утворюють метричний простір, ізоморфне \ R ^ 4 з евклідової метрикою.

Кватерніони з модулем в якості норми утворюють банахових алгебру.

З тотожності чотирьох квадратів випливає, що \ Left | p \ cdot q \ right | = \ left | p \ right | \ cdot \ left | q \ right |, іншими словами, кватерніони володіють мультиплікативної нормою і утворюють асоціативний алгебру з розподілом.


2.3. Звернення

Кватерніони, зворотний по множенню до q , Обчислюється так:

q ^ {-1} = \ frac {\ bar q} {\ left | q \ right | ^ 2} .

3. Алгебраїчні властивості

Чотири базисних кватерніони і чотири протилежних їм за знаком утворюють по множенню групу кватерніонів (порядку 8). Позначається:

Q_8 = \ left \ {\ pm 1, \ pm i, \ pm j, \ pm k \ right \} .

Безліч кватерніонів є прикладом кільця з розподілом.

Безліч кватернионов утворює чотиривимірну асоціативну алгебру з поділом над полем речовинних (але не комплексних) чисел. Взагалі \ Mathbb R , \ Mathbb C , \ Mathbb H є єдиними скінченновимірних асоціативними алгебра з діленням над полем дійсних чисел. [2]

Некомутативних множення кватерніонів призводить до несподіваних наслідків. Наприклад, кількість різних коренів поліноміальною рівняння над безліччю кватернионов може бути більше, ніж ступінь рівняння. Зокрема, рівняння q 2 + 1 = 0 має нескінченно багато рішень - це все поодинокі чисто векторні кватерніони.


4. Кватерніони і повороти простору

Організація всіх трьох ступенів свободи, проте остаточна свобода найменшого кільця залежить від положення старших кілець

Кватерніони, що розглядаються як алгебра над \ Scriptstyle \ Bbb R , Утворюють чотиривимірний речовий векторний простір. Будь-який поворот цього простору щодо \, 0 може бути записаний у вигляді q \ mapsto \ xi q \ zeta , Де \, \ Xi і \, \ Zeta - Пара одиничних кватерніонів, при цьому пара \, \ Left (\ xi, \ zeta \ right) визначається з точністю до знака, то є один поворот визначають в точності дві пари - \, \ Left (\ xi, \ zeta \ right) і \, \ Left (- \ xi, - \ zeta \ right) . З цього випливає, що група Лі SO \ left (\ R, 4 \ right)поворотів \ R ^ 4 є факторгруппамі S ^ 3 \ times S ^ 3 / \ Z_2 , Де \, S ^ 3 позначає мультипликативную групу одиничних кватерніонів.

Чисто векторні кватерніони утворюють тривимірне речовинно векторний простір. Будь-який поворот простору чисто векторних кватернионов щодо \, 0 може бути записаний у вигляді u \ mapsto \ xi u \ bar \ xi , Де \, \ Xi - Деякий одиничний кватерніонів. Відповідно, SO \ left (\ R, 3 \ right) = S ^ 3 / \ Z_2 , Зокрема, SO \ left (\ R, 3 \ right)діффеоморфно \ R \ mathrm {P} ^ 3 .


5. Цілі кватерніони

В якості норми кватерніони виберемо квадрат його модуля: \ Left \ | z \ right \ | = \ left | z \ right | ^ 2 .

Цілими прийнято називати кватерніони a + b i + c j + d k такі, що всі 2 a, 2 b, 2 c, 2 d - цілі і однаковою парності.

Цілий кватерніони називається

  • парних
  • непарних
  • простим

якщо таким же властивістю володіє його норма.

Цілий кватерніони називається примітивним, якщо він не ділиться ні на яке натуральне число, крім 1 , Без остачі (іншими словами, \ Gcd \ left (2a, 2b, 2c, 2d \ right) \ le 2 ).


5.1. Цілі поодинокі кватерніони

Існує 24 цілих поодиноких кватерніони:

\ Pm 1 , \ Pm i , \ Pm j , \ Pm k , \ Frac {\ pm 1 \ pm i \ pm j \ pm k} {2} .

Вони утворюють групу з множенню і лежать в вершинах правильного чотиривимірного багатогранника - кубооктаедра (не плутати з тривимірним багатогранником- кубооктаедром).


5.2. Розкладання на прості співмножники

Для примітивних кватернионов вірний аналог основної теореми арифметики.

Теорема. [3] Для будь-якого фіксованого порядку множників в розкладанні норми кватерніони N (q) у твір простих цілих позитивних чисел N (q) = p 1 p 2... p n існує розкладання кватерніони q у твір простих кватернионов q = q 1 q 2... q n таке, що N (q i) = p i . Причому дане розкладання єдино по модулю домноженія на одиниці - це означає, що будь-яке інше розкладання буде мати вигляд

q = \ left (q_1 \ epsilon_1 \ right) \ left (\ bar \ epsilon_1 q_2 \ epsilon_2 \ right) \ left (\ bar \ epsilon_2 q_3 \ epsilon_3 \ right) ... \ Left (\ bar \ epsilon_ {n-1} q_n \ right) ,

де \ Epsilon_1 , \ Epsilon_2 , \ Epsilon_3 , ... \ Epsilon_ {n-1} - Цілі поодинокі кватерніони.

Наприклад, примітивний кватерніони q = (1 + i) 2 (1 + i + j) (2 + i) має норму 60, значить, по модулю домноженія на одиниці він має рівно 12 розкладань у твір простих кватерніонів, що відповідають 12 розкладання числа 60 в творів простих:

60 = 2 \ cdot2 \ cdot3 \ cdot5 \ quad 60 = 2 \ cdot2 \ cdot5 \ cdot3 \ quad 60 = 2 \ cdot3 \ cdot2 \ cdot5 \ quad 60 = 2 \ cdot5 \ cdot2 \ cdot3 \ quad 60 = 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot2 \ quad 60 = 2 \ cdot5 \ cdot3 \ cdot2

60 = 3 \ cdot2 \ cdot2 \ cdot5 \ quad 60 = 5 \ cdot2 \ cdot2 \ cdot3 \ quad 60 = 3 \ cdot2 \ cdot5 \ cdot2 \ quad 60 = 5 \ cdot2 \ cdot3 \ cdot2 \ quad 60 = 3 \ cdot5 \ cdot2 \ cdot2 \ quad 60 = 5 \ cdot3 \ cdot2 \ cdot2

Загальне число розкладів такого кватерніони одно 24 ^ 3 \ cdot 12 = 165 888


6. Опції кватерніонів змінного

6.1. Допоміжні функції

Знак кватерніони обчислюється так:

\ Operatorname {sgn} \, q = \ frac {q} {\ left | q \ right |} .

Аргумент кватерніони - це кут повороту чотиривимірного вектора, який відраховується від речової одиниці:

\ Arg q = \ arccos \ frac {a} {\ left | q \ right |} .

У подальшому використовується уявлення заданого кватерніони q у вигляді

q = a + \ left | \ mathbf {u} \ right | \ mathrm {i} = \ left | q \ right | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, \ mathrm {arg} \, q }

Тут a - Речова частина кватернионов, \ Mathrm {i} = \ left | \ mathbf {u} \ right | ^ {-1} \ mathbf {u} . При цьому i 2 = - 1 , Тому що проходить через q і речову пряму площину має структуру алгебри комплексних чисел, що дозволяє перенести на випадок кватернионов довільні аналітичні функції. Вони задовольняють стандартним співвідношенням, якщо всі аргументи мають вигляд a + b i для фіксованого одиничного вектора i . У разі якщо потрібно розглядати кватерніони з різним напрямком, формули значно ускладнюються, в силу некомутативних алгебри кватерніонів.


6.2. Елементарні функції

Стандартне визначення аналітичних функцій на асоціативної нормованої алгебри грунтується на розкладанні цих функцій у степеневі ряди. Міркування, що доводять коректність визначення таких функцій, повністю аналогічні комплексному нагоди і засновані на обчисленні радіуса збіжності відповідних статечних рядів. Враховуючи зазначене вище "комплексне" подання для заданого кватернионов, відповідні ряди можна привести до зазначеної нижче компактній формі. Тут наведені лише деякі найбільш вживані аналітичні функції, аналогічно можна обчислити будь-яку аналітичну функцію. Загальне правило таке: якщо f (a + b i) = c + d i для комплексних чисел, то f (q) = c + d \ mathbf {i} , Де кватерніони q розглядається в "комплексному" поданні q = a + b \ mathbf {i} .

Ступінь і логарифм
\ Exp q = \ exp a \ left (\ cos \ left | \ mathbf {u} \ right | + \ sin \ left | \ mathbf {u} \ right | \ hat {\ mathbf {u}} \ right)
\ Ln q = \ ln \ left | q \ right | + \ arg q \, \ hat {\ mathbf {u}}

Відзначимо, що, як завжди в комплексному аналізі, логарифм виявляється визначений лише з точністю до 2 \ pi \ hat {\ mathbf {u}} .

Тригонометричні функції
\ Sin q = \ sin a \, \ operatorname {ch} \ left | \ mathbf {u} \ right | + \ cos a \, \ operatorname {sh} \ left | \ mathbf {u} \ right | \ hat { \ mathbf {u}}
\ Cos q = \ cos a \, \ operatorname {ch} \ left | \ mathbf {u} \ right | - \ sin a \, \ operatorname {sh} \ left | \ mathbf {u} \ right | \ hat { \ mathbf {u}}
\ Operatorname {tg} \, q = \ frac {\ sin q} {\ cos q}

6.3. Регулярні функції

Існують різні способи визначення регулярних функцій кватерніонів змінного. Самий явний - розгляд кватерніонів диференційовних функцій, при цьому можна не збігаються в силу некомутативних множення кватерніонів. Очевидно, що їх теорія повністю аналогічна. Визначимо кватерніонів леводіфференціруемую функцію f як має межа

\ Frac {df} {dq} = \ lim_ {h \ to 0} \ left [h ^ {-1} \ left (f \ left (q + h \ right) - f \ left (q \ right) \ right ) \ right]

Виявляється, що всі такі функції мають в деякій околиці точки q вид

f = a + q b

де a, b - Постійні кватерніони. Інший спосіб заснований на використанні операторів

\ Frac {\ partial} {\ partial \ bar q} = \ frac {\ partial} {\ partial t} + \ vec i \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ vec j \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ vec k \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ Frac {\ partial} {\ partial q} = \ frac {\ partial} {\ partial t} - \ vec i \ frac {\ partial} {\ partial x} - \ vec j \ frac {\ partial} {\ partial y} - \ vec k \ frac {\ partial} {\ partial z}

та розгляді таких кватерніони функцій f , Для яких [4]

\ Frac {\ partial f} {\ partial \ bar q} = 0

що повністю аналогічне використанню операторів \ Frac {\ partial} {\ partial \ bar z} і \ Frac {\ partial} {\ partial z} в комплексному випадку. При цьому виходять аналоги інтегральної теореми Коші, теорії відрахувань, гармонійних функцій і рядів Лорана для кватерніони функцій [5].


6.4. Похідна Гато

Похідна Гато функції кватерніонів змінного визначена згідно з формулою

\ Partial f (x) (a) = \ lim_ {t \ to 0} (t ^ {-1} (f (x + ta)-f (x)))

Похідна Гато є адитивним відображенням збільшення аргументу і може бути представлена ​​у вигляді [6]

\ Partial f (x) (dx) = \ frac {{}_{( s) 0} \ partial f (x)} {\ partial x} dx \ frac {{}_{( s) 1} \ partial f (x)} {\ partial x}

Тут передбачається підсумовування по індексу s . Число доданків залежить від вибору функції f . Вирази \ Frac {{}_{( s) 0} \ partial f (x)} {\ partial x} і \ Frac {{}_{( s) 1} \ partial f (x)} {\ partial x} називаються компонентами похідної.


7. Види множень

7.1. Множення Грассмана

Так по-іншому називається загальноприйняте множення кватерніонів ( p q ).

7.2. Евклідова множення

Відрізняється від загальноприйнятого тим, що замість першого співмножники береться пов'язаний до нього: \ Bar p q . Воно також некомутативних.

7.3. Скалярний твір

Аналогічно однойменної операції для векторів:

p \ cdot q = \ frac {\ bar p q + \ bar q p} {2} .

Цю операцію можна використовувати для виділення одного з коефіцієнтів, наприклад, \ Left (a + bi + cj + dk \ right) \ cdot i = b .

Визначення модуля кватерніони можна видозмінити:

\ Left | p \ right | = \ sqrt {p \ cdot p} .

7.4. Зовнішнє твір

\ Operatorname {Outer} \ left (p, q \ right) = \ frac {\ bar pq - \ bar qp} {2} .

Використовується не дуже часто, проте розглядається на додаток до скалярному твору.

7.5. Векторний добуток

Аналогічно однойменної операції для векторів. Результатом є теж вектор:

p \ times q = \ frac {pq - qp} {2} .

8. З історії

Пам'ятна табличка на мосту Брум Брідж в Дубліні : "Тут на прогулянці, 16 жовтня 1843 року, у спалаху генія, сер Вільям Роуен Гамільтон відкрив формулу перемножения кватернионов " [7]

Система кватернионов була вперше опублікована Гамільтоном в 1843. Історики науки також виявили начерки з цієї теми в неопублікованих рукописах Гаусса, относящихся к 1819 - 1820 годам. [8]

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Пізніше Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля. [9] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).


9. Новые результаты и направления исследований

9.1. Кватернионы и метрика Минковского

Как алгебра над \scriptstyle\Bbb R, кватернионы образуют вещественное векторное пространство \scriptstyle\Bbb H, снабжённое тензором третьего ранга S типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, S отображает каждую 1-форму t на \scriptstyle\Bbb H и пару векторов \left(a, b\right) з \scriptstyle\Bbb H в вещественное число S\left(t, a, b\right) . Для любой фиксированной 1-формы t S превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на \scriptstyle\Bbb H . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на \scriptstyle\Bbb H . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы t , А відповідна псевдоевклидова метрика є метрика Мінковського [10]. Ця метрика автоматично продовжується на групу Лі ненульових кватернионов уздовж її левоінваріантних векторних полів, утворюючи так звану закриту ФЛРУ (Фрідман - Леметр - Робертсон - Уолкер) метрику [11] - важливе рішення рівнянь Ейнштейна. Ці результати прояснюють деякі аспекти проблеми сумісності квантової механіки і загальної теорії відносності в рамках теорії квантової гравітації [12].


Примітки

  1. Кватерніони в програмуванні ігор - wat.gamedev.ru / articles / quaternions ( GameDev.ru)
  2. Теорема Фробеніуса
  3. John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith - math.ucr.edu / home / baez / octonions / conway_smith / (Англ.) . - Review. архіві - www.webcitation.org/618OftMR3 з першоджерела 22 серпня 2011.
  4. R. Fueter ber die analytische Darstellung der regulren Funktionen einer Quaternionenvariablen, - Comment. math. Helv. 8, pp.371-378, 1936.
  5. A. Sudbery Quaternionic Analysis, - Department of Mathematics, University of York, 1977.
  6. Вираз \ Frac {{}_{( s) p} \ partial f (x)} {\ partial x} не є дробом і повинно сприйматися як символ оператора. Дане позначення запропоновано для того, щоб зберегти наступність із класичним аналізом.
  7. У листі своєму синові Арчібальда від 5 серпня 1865 Гамільтон пише: "... Але, звичайно, напис вже стерлася" (Л. С. Полак Варіаційні принципи механіки, їх розвиток і застосування у фізиці .- М.: Фізматгіз, 1960 .- С .103-104)
  8. Бурбаки Н.. Архітектура математики. Нариси з історії математики - М .: Іноземна література, 1963. - С. 68.
  9. А. Н. Крилов Відгук про роботи академіка П. П. Лазарєва. - vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM
  10. Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem / / Euruphysics Letters, - IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. - С. 621-626 - DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
  11. Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions / / International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. - С. 251-257 - ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
  12. Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems / / International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. - С. 492-510 - ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Література

  • І. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гіперкомплексні числа - www.ftl.kherson.ua/index.php?option=com_remository&Itemid=5&func=showdown&id=8026. - М .: Наука, 1973. - 144 с.
  • Міщенко А., Соловйов Ю. кватерніони - kvant.mccme.ru/1983/09/kvaterniony.htm, - Квант, N9, 1983.
  • Martin John Baker EuclideanSpace.com - www.euclideanspace.com / maths / algebra / realNormedAlgebra / quaternions / index.htm - застосування кватернионов в 3D графіці.
Числові системи
Рахункові
безлічі
Натуральні числа ( \ Scriptstyle \ mathbb {N} ) Цілі ( \ Scriptstyle \ mathbb {Z} ) Раціональні ( \ Scriptstyle \ mathbb {Q} ) Алгебраїчні ( \ Scriptstyle \ overline {\ mathbb {Q}} ) вичіслімих (англ.)
Речові числа
та їх розширення
Речові ( \ Scriptstyle \ mathbb {R} ) Комплексні ( \ Scriptstyle \ mathbb {C} ) кватерніони ( \ Scriptstyle \ mathbb {H} ) Числа Келі (октави, октоніони) ( \ Scriptstyle \ mathbb {O} ) Седеніони ( \ Scriptstyle \ mathbb {S} ) Процедура Келі-Діксона (en) Дуальні Гіперкомплексні Superreal number (англ.) Hyperreal number (англ.) Surreal number (англ.)
Інші
числові системи
Кардинальні числа Порядкові числа (трансфінітних, ордінал) p-адіческіе Супернатуральние числа
Див також Подвійні числа Ірраціональні числа Трансцендентні Числовий промінь


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кватерніони аналіз
Тотожність Ейлера (кватерніони)
Кватерніони і обертання простору
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru