Когомологий де Рама - теорія когомологий, заснована на диференціальних формах, і застосовувана в теоріях гладких і алгебраїчних багатовидів.

Названі на честь швейцарського математика де Рама. k -Мірна група когомологий де Рама різноманіття M звичайно позначається H ^ k_ {\ mathrm {dR}} (M) .


1. Гладкі різноманіття

1.1. Визначення

1.1.1. Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама називається коцепной комплекс зовнішніх диференціальних форм на гладкому різноманітті M з зовнішньої похідної d \, ^ k в якості диференціала.

0

Тут \ Omega ^ 0 (M) - Простір гладких функцій на M , \ Omega ^ 1 (M) - Простір 1-форм, тобто \ Omega ^ k (M) - Простір k -Форм. Зауважимо, що d \, ^ {k +1} d \, ^ k = 0 . k -Мірна група когомологий H_k цього коцепного комплексу є його мірою точності в k -Ом члені і визначається як

H ^ k (\ Omega ^ \ bullet, \; d ^ \ bullet) = \ mathrm {Ker} \, d ^ k \, / \, \ mathrm {Im} \, d ^ {k-1}.
  • Форма \ Alpha \ in \ Omega ^ k (M) називається замкнутою, якщо d \, ^ k \ alpha = 0 , В цьому випадку \ Alpha \ in \ mathrm {Ker} \, d ^ k .
  • Форма \ Alpha \ in \ Omega ^ k (M) називається точною, якщо \ Alpha = d \, ^ {k-1} \ gamma , Для деякої \ Gamma \ in \ Omega ^ {k-1} , Тобто \ Alpha \ in \ mathrm {Im} \, d ^ {k-1} .

Зауважимо, що всяка точна форма є замкненою.


1.1.2. Як клас еквівалентності форм

Більш геометрично, ідея когомологий де Рама полягає в тому, щоб класифікувати замкнуті форми на різноманітті: дві замкнуті форми \ Alpha і \ Beta в \ Omega ^ k (M) називаються когомологічнимі, якщо вони відрізняються на точну форму, тобто їх різниця \ Alpha-\ beta = d \ gamma є точною формою. Це визначення породжує відношення еквівалентності на безлічі замкнутих форм в \ Omega ^ k (M) .

Когомологіческім класом [\ Alpha] форми \ Alpha називається множина всіх замкнутих форм, що відрізняються від \ Alpha на точну форму - тобто безліч форм виду \ Alpha + d \ gamma .

k -Мірна група когомологий де Рама H ^ k_ \ mathrm {dR} (M) - Це факторгруппамі всіх замкнутих форм в \ Omega ^ k (M) по підгрупі точних форм.

Зауважимо, що для різноманіття M , Що має Nзв'язних компонент,

H ^ 0_ \ mathrm {dR} (M) \ cong \ mathbf {R} ^ N.

Дійсно, форми ступеня 0 - це скалярні функції. Замкнутість означає, що функції мають нульову похідну, тобто постійні на кожній компоненті зв'язності різноманіття.


1.2. Теорема де Рама

Теорема Стокса є вираженням подвійності між когомологий де Рама і гомолог ланцюгових комплексів. А саме, ключове наслідок з теореми полягає в тому, що " інтеграли від замкнутої форми з гомологічним ланцюгах дорівнюють ": якщо \ Omega - Замкнута k -Форма, а M і N - Гомологічні k -Ланцюга (тобто M-N є кордоном (K +1) -Мірної ланцюга W ), То

\ Int \ limits_M \ omega = \ int \ limits_N \ omega,

оскільки їх різниця є інтеграл

\ Int \ limits_ {\ partial W} \ omega = \ int \ limits_W \, d \ omega = \ int \ limits_W 0 = 0.

Таким чином, спарювання диференціальних форм і ланцюгів за допомогою інтегрування визначає гомоморфізм з когомологий де Рама H ^ k_ \ mathrm {dR} (M) в групу сингулярних когомологий H ^ k (M; \; \ mathbf R) . Теорема де Рама, доведена Жоржем де Рамом в 1931 році, стверджує, що на гладких многовидах це відображення є изоморфизмом :

H ^ k_ \ mathrm {dR} (M) \ cong H ^ k (M; \; \ mathbf R).

Зовнішнє твір наділяє пряму суму груп H ^ k_ \ mathrm {dR} (M) структурою кільця. Аналогічну структуру в сингулярних когомологий H ^ k (M; \; \ mathbf R) задає \ Smile -Множення. Теорема де Рама стверджує також, що ці два кільця когомологий ізоморфні як градуйовані кільця.


2. Алгебраїчні різноманіття

2.1. Визначення

Цілком аналогічно гладкому нагоди, з кожним алгебраїчним різноманіттям X над полем k зв'язується комплекс регулярних диференціальних форм.

Групами когомологий де Рама різноманіття X називаються групи когомологий H ^ p_ \ mathrm {dR} (X / k) .


3. Окремі випадки когомологий де Рама

де X_ {an} - Комплексне аналітичне різноманіття, відповідне алгебраическому різноманіттю X .
  • Наприклад, якщо X - Додаток до алгебраїчної гіперповерхні в P ^ n (\ C) , То когомологий H ^ p (X, \; \ C) можуть бути обчислені за допомогою раціональних диференціальних форм на P ^ n (\ C) з полюсами на цій гіперповерхні.

3.1. Відносні когомологий де Рама

Для будь-якого морфізма f \ colon X \ to S можна визначити так званий відносний комплекс де Рама

\ Sum_ {p \ leqslant 0} \ Gamma (\ Omega ^ p_ {X / S}),

приводить до відносних когомологий де Рама H ^ p_ \ mathrm {dR} (X / S) .

У разі, якщо різноманіття X є спектром кільця \ Mathrm {Spec} \, A , А S = \ mathrm {Spec} \, B і обидва володіють афінності, то відносний комплекс де Рама збігається з \ Lambda \ Omega ^ 1_ {A / B} .

Когомологий \ Mathcal {H} ^ p_ \ mathrm {dR} (X / S) комплексу пучків \ Sum_ {p \ leqslant 0} f_ * \ Omega ^ p_ {X / S} на S називається пучками відносних когомологий де Рама. Eсли f - Власний морфізм, то ці пучки когерентні на S .


Література

  • Ботт, Р., Ту, Л. В. Диференціальні форми в алгебраїчної топології. - М .: Платон, 1997. - 336 с. - ISBN 5-80100-280-4 .
  • Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія: методи теорії гомології. - М .: Наука, 1984. - 343 с.
  • де Рам, Ж. диференційовних різноманіття = Varietes differentiables. - M.: КомКніга, 2006. - 250 с. - ISBN 5-484-00341-5 .