Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Компактний простір



План:


Введення

Компактний простір - це топологічний простір, в якому покритті якого відкритими множинами знайдеться кінцеве подпокритіе.

В топології компактні простору за своїми властивостями нагадують кінцеві безлічі в теорії множин.


1. Пов'язані визначення

  • Підмножина топологічного простору, що є в індукованої топології компактним простором, називається компактним безліччю.

Інше визначення: Безліч M \ subset X називають компактним в метричному просторі (X, ρ) в тому випадку, якщо кожен його нескінченне підмножина містить послідовність, що сходяться до елементу цієї множини M .

  • Безліч називається щодо компактним або предкомпактним, якщо його замикання компактно.
  • Простір називається секвенційного компактнішим, якщо з будь-якій послідовності в ньому можна виділити сходяться підпослідовність.
  • Локально компактний простір - топологічний простір, в якому будь-яка точка має околиця, замикання якого компактно.
  • Обмежено компактний простір - метричний простір, в якому всі замкнуті кулі компактні.
  • Термін компакт іноді використовується для метрізуемого компактного простору, але іноді просто як синонім до терміну "компактне простір".

2. Властивості

  • Властивості компактних метричних просторів:
    • Метричний простір компактно тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність точок в ньому містить сходяться підпослідовність.
    • Для скінченновимірних евклідових просторів підпростір є компактом тоді і тільки тоді, коли воно обмежено і замкнуто. Про простору, що володіють таку властивість, говорять, що вони задовольняють властивості Гейне - Бореля..
    • Лемма Лебега : Для будь-якого компактного метричного простору і відкритого покриття \ {V_ \ alpha \}, \ \ alpha \ in A існує позитивне число \, \! r таке, що будь-яка підмножина, діаметр якого менше \, \! r , Міститься в одному з множин \, \! V_ \ alpha . Таке число \, \! r називається числом Лебега.
    • У компактних просторах кожен ультрафільтр сходиться принаймні до однієї точки.

3. Приклади компактних множин

  • замкнуті і обмежені множини в \ Mathbb {R} ^ n
  • кінцеві підмножини топологічних просторів
  • теорема Асколі - Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір C (X) речових функцій на метричному компактному просторі X з нормою \ | F \ | = \ sup_x | f (x) | . Тоді замикання безлічі функцій F в C (X) компактно тоді і тільки тоді, коли F рівномірно обмежена і равностепенно безперервно.
  • простір Стоуна булевих алгебр
  • компактіфікація топологічного простору

4. Історія

Бікомпактної простір - термін, введений П. С. Александровим як посилення уведеного М. Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактно - в первинному сенсі слова - якщо в кожному рахунковому відкритому покритті цього простору міститься його кінцеве подпокритіе. Однак подальший розвиток математики показало, що поняття бікомпактної настільки важливіше первісного поняття компактності, що в даний час під компактністю розуміють саме бікомпактної, а компактні в старому розумінні простору називають лічильно-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Компактний оператор
Компактний мюонний соленоїд
Теорема Монтель про компактний сімействі функцій
L p (простір)
Простір
Унітарна простір
Зв'язний простір
Нульмерние простір
Простір Мінковського
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru