Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Комплексна площину



План:


Введення

Комплексна площину - це двомірне речовий простір \ Mathbb {R} ^ 2 , Яке ізоморфно полю комплексних чисел \ Mathbb {C} . Кожна точка такого простору - це впорядкована пара вигляду (X, y) , Де x і y - речові числа, і де перший елемент пари відповідає речовій частині, а другий елемент пари відповідає уявної частини комплексного числа z = x + i y :

x = \ mathrm {Re} \, z,
y = \ mathrm {Im} \, z.

Впорядковану пару (X, y) природно інтерпретувати як радіус-вектор з початком в нулі і з кінцем у точці (X, y) .

В силу ізоморфізму між \ Mathbb C і \ Mathbb {R} ^ 2 , Алгебраїчні операції над комплексними числами переносяться на операції над відповідними їм радіус-векторами:

  • складання комплексних чисел - це складання відповідних радіус-векторів;
  • множення комплексних чисел - це перетворення радіус-вектора, пов'язане з його поворотом і розтягуванням.

Результатом компактіфікаціі комплексної площині є розширена комплексна площина - комплексна площина, доповнена нескінченно віддаленою точкою, ізоморфна комплексної сфері. Комплексна площину пов'язана з комплексною сферою, наприклад, стереографической проекцією.

Комплекснозначних функції комплексного змінного зазвичай інтерпретуються як відображення комплексних площині або сфери в себе. Оскільки прямі на площині (при стереографической проекції) переходять в окружності на сфері, містять нескінченно віддалену точку, комплексні функції зручніше розглядати на сфері.

Розглядаючи на комплексній площині топологію \ Mathbb {R} ^ 2 , Можна вводити поняття відкритих, замкнутих множин, і давати визначення таких об'єктів як криві і формулювати такі властивості комплексних функцій як безперервність, дифференцируемость і аналітичність, а комплексне уявлення дозволяє компактно описувати ці властивості на мові співвідношень між речовими і уявними частинами, а також, між модулями і аргументами відповідних комплексних чисел.

Особливу роль в комплексному аналізі відіграють конформні відображення.


1. Безлічі на комплексній площині

1.1. Відкриті безлічі

Фундаментальне поняття околиці вводиться на комплексній площині дуже просто - околицею {\ Mathcal U} _ {z_0} точки z_0 \ in \ mathbb C називається безліч виду {\ Mathcal U} _ {z_0} = \ {z \ colon | z-z_0 | <r\},\,r> 0 . Геометрично на комплексній площині околиці мають дуже простий вигляд - це просто кола з центром в певних точках комплексної площини. Іноді для зручності потрібно розглядати проколоті околиці \ Dot {\ mathcal U} _ {z_0} = {\ mathcal U} _ {z_0} \ setminus \ {z_0 \} .

Тепер визначимо відкрите безліч - відповідно до одного з варіантів класичного визначення із загальної топології, відкритим безліч буде, якщо він для будь-якої своєї точки містить певну його околиці. Визначення околиці у нас вже є, відповідно, відкрите безліч на \ Mathbb C повністю визначено.


1.2. Гранична точка і замкнутий безліч

Визначити граничну точку теж буде неважко - точка z_0 \ in \ mathbb C буде граничною для безлічі G \ subset \ mathbb C , Якщо для довільної околиці {\ Mathcal U} _ {z_0} перетин {\ Mathcal U} _ {z_0} \ cap G буде непорожній. Іншими словами, точка є граничною, якщо в довільній "близькості" до неї завжди можна буде знайти точки множини. Безліч граничних точок іноді називається похідним і позначається G ' .

Безліч G \ subset \ mathbb C буде називатися замкнутим, якщо для нього справедливо включення G '\ subset G . Ясно видно, що для довільного безлічі G безліч \ Overline {G} = G \ cup G ' буде замкнуто; воно називається замиканням безлічі G .


1.3. Кордон

Точка z_0 \ in \ mathbb C буде називатися граничної для безлічі G \ subset \ mathbb C , Якщо для довільної околиці {\ Mathcal U} _ {z_0} перетину {\ Mathcal U} _ {z_0} \ cap G і {\ Mathcal U} _ {z_0} \ cap ({\ mathbb C} \ setminus G) будуть непустих. Безліч всіх граничних точок називається граничним безліччю \ Partial G або просто кордоном.


1.4. Усюди щільні множини

Безліч E \ subset \ mathbb C буде називатися усюди щільним в іншому безлічі G \ subset \ mathbb C , Якщо для довільної точки z_0 \ in G і будь-який околиці {\ Mathcal U} _ {z_0} перетин {\ Mathcal U} _ {z_0} \ cap E непорожній.


2. Зв'язність

2.1. Відстань між множинами

Як відомо з елементарної математики, на комплексній площині відстань між двома точками дорівнює модулю їх різниці. Тепер визначимо відстань між точкою z 0 і деяким безліччю G \ subset \ mathbb C як величину \ Mathrm {dist} \, (z_0, G) = \ inf_ {z \ in G} | z-z_0 | .

На базі цього поняття вже можна визначити відстань між двома довільними множинами в \ Mathbb C : \ Mathrm {dist} \, (G_1, G_2) = \ inf_ {z \ in G_1} \ mathrm {dist} \, (z, G_2) = \ inf_ {z \ in G_2} \ mathrm {dist} \, ( z, G_1) .


2.2. Зв'язність

Безліч G \ subset \ mathbb C називається зв'язковим, якщо для нього виконано співвідношення \ Inf_ {z_1, z_2 \ in G} | z_1-z_2 | = 0 . Якщо дана величина не дорівнює нулю, то множина називається незв'язних. Можна показати, що недоладне безліч G можна представити у вигляді об'єднання (кінцевого чи лічильного) \ Sum G_n , Де G n - Непересічні зв'язкові множини, звані зв'язковими компонентами безлічі G . Потужність безлічі зв'язкових компонент називається порядком зв'язності.


3. Опуклі, зіркові і лінійно зв'язкові безлічі

Безліч G \ subset \ mathbb C називається зоряним відносно точки z_0 \ in G , Якщо для довільної точки z \ in G виконується включення \ Overline {z_0z} \ subset G .

Безліч G \ subset \ mathbb C називається опуклим, якщо воно зоряно щодо будь-якої своєї точки. Безліч G * називається опуклою оболонкою множини G , Якщо воно опукло, G \ subset G ^ * і для будь-якого опуклого безлічі G * * , Що містить безліч G виконується включення G ^ * \ subset G ^{**} .

Ламаної Γ називається безліч точок комплексної площини, представимое у вигляді об'єднання відрізків. Безліч G називається лінійно зв'язним, якщо для двох довільних точок z_1, z_2 \ in G існує ламана \ Gamma \ subset G така, що виконується z_1, z_2 \ in \ Gamma .

Можна довести, що будь лінійно зв'язне безліч буде зв'язковим. Звідси негайно випливає, що пов'язні все опуклі і зоряні множини.


4. Криві на \ Mathbb C

4.1. Криві та шляхи

Кривий або шляхом на комплексній площині \ Mathbb C називається відображення виду \ Varphi (t) \ colon [0; 1] \ to \ mathbb C . Особливо варто відзначити, що при такому визначенні можна конкретизувати не тільки вигляд кривої, який буде залежати від аналітичних властивостей функції φ (t) , Але і її напрямок. Для прикладу, функції φ (t) і η (t) = φ (1 - t) будуть визначати однакову за видом криву, але прохідну в протилежних напрямках.


4.2. Гомотопий кривих

Криві \ Varphi_0 (t) \ colon [0; 1] \ to \ mathbb C і \ Varphi_1 (t) \ colon [0; 1] \ to \ mathbb C називаються гомотопних, якщо існує крива \ Xi (t, q) \ colon [0; 1] \ times [0; 1] \ to \ mathbb C , Що залежить від параметра q таким чином, що \ Xi (t, 0) \ equiv \ varphi_0 і \ Xi (t, 1) \ equiv \ varphi_1 .


5. Нескінченно віддалена точка

В комплексному аналізі часто корисно розглядати повну комплексну площину [1], доповнену в порівнянні зі звичайною нескінченно віддаленою точкою: z = \ infty . При такому підході необмежено зростаюча (по модулю) послідовність вважається сходящейся до нескінченно віддаленій точці. Алгебраїчні операції з нескінченністю не виробляються, хоча кілька алгебраїчних співвідношень мають місце:

  • \ Frac {z} {\ infty} = 0; z + \ infty = \ infty (z \ ne \ infty)
  • z \ cdot \ infty = \ infty; \ frac {z} {0} = \ infty (z \ ne 0)

ε -Околицею нескінченно віддаленої точки вважається безліч точок z , Модуль яких більше, ніж ε , Тобто зовнішня частина ε -Околиць початку координат.


Література

Примітки

  1. Свєшніков А. Г., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної. Указ. соч р., стор. 20-21.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Комплексна функція
Комплексна амплітуда
Проективна площину
Сагітальній площину
Кругова площину
Кумицька площину
Факультет Робототехніка і комплексна автоматизація МГТУ ім. Н. Е. Баумана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru