Термін комплексна функція може ставитися до двох видів функцій:


1. Комплекснозначних функцій

Комплекснозначних функцій - функція речового змінного, що має комплексні значення:

f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C} .

Така функція може бути представлена ​​у вигляді

\! f (x) = u (x) + iv (x) ,

де \! u (x) і \! v (x) - Речові функції. Функція \! u (x) називається речовинної частиною функції \! f (x) , А \! v (x) - Її уявною частиною.


2. Функція комплексного змінного

Це поняття - узагальнення попереднього варіанту:

f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} .

Такими функціями займається окрема область математичного аналізу - теорія функцій комплексного змінного, або комплексний аналіз.

Функція також може бути представлена ​​у вигляді

\! f (z) = u (z) + i v (z) ,

однак є більше глибокий зв'язок між u і v. Наприклад, для того, щоб функція f (z) була дифференцируема, повинні виконуватися умови Коші - Рімана :

\ Frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y} ;
\ Frac {\ partial u} {\ partial y} = - \ frac {\ partial v} {\ partial x} .

Література

  • Шабат Б. В. Введення в комплексний аналіз. - М .: Наука, 1969. - 577 с.
  • Тітчмарша Є. Теорія функцій: Пер. з англ. - 2-ге вид., Перероб. - М .: Наука, 1980. - 464 с.
  • Привалов І. І. Введення в теорію функцій комплексного змінного: Посібник для вищої школи. - М.-Л.: Державне видавництво, 1927. - 316 с.
  • Євграфов М. А. Аналітичні функції. - 2-ге вид., Перероб. і дополн. - М .: Наука, 1968. - 472 с.
  • Свєшніков А. Г., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної. - М .: Наука, 1974. - 320 с.