Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Комплексне число



План:


Введення

Комплексні [1] числа ( устар. Уявні числа [2]), - розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається \ Mathbb {C} . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , Де x і y - Дійсні числа, i - уявна одиниця [3].

Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте полі - це означає, що многочлен ступеня n з комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів ( основна теорема алгебри). Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел в математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно сформулювати багато математичні моделі, які застосовуються в математичній фізиці і в природних науках - електротехніці, гідродинаміці, картографії, квантової механіки, теорії коливань і багатьох інших.


1. Визначення

Поле комплексних чисел можна розуміти як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен z 2 + 1 має корінь. Наступні дві елементарні моделі показують, що несуперечливе побудова такої системи чисел можливо. Обидва наведених визначення призводять до ізоморфним розширень поля дійсних чисел \ R , Як і будь-які інші конструкції поля розкладання многочлена z 2 + 1 .


1.1. Стандартна модель

Комплексне число z можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел (X, y) . Введемо операції додавання і множення таких пар наступним чином:

  • (X, \; y) + (x ', \; y') = (x + x ', \; y + y');
  • (X, \; y) \ cdot (x ', \; y') = (xx'-yy ', \; xy' + yx ').

Речові числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і представлені парами виду (X, \; 0) , Причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль представляється парою 0 = (0, \; 0), одиниця - 1 = (1, \; 0), а уявна одиниця - i = (0, \; 1). На безлічі комплексних чисел нуль і одиниця володіють тими ж властивостями, що і на безлічі речових, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює (-1, \; 0) , Тобто - 1.

Нескладно показати, що зазначені операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є ​​тільки властивості, пов'язані з ставленням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок речових чисел, включивши в нього всі комплексні числа так, щоб операції, як і раніше були узгоджені з порядком, неможливо.


1.2. Матрична модель

Комплексні числа можна також визначити як сімейство речових матриць виду

\ Begin {pmatrix} x & y \ \-y & x \ end {pmatrix}

зі звичайним матричним складанням і множенням. Дійсною одиниці буде відповідати

\ Begin {pmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & 1 \ end {pmatrix},

уявної одиниці -

\ Begin {pmatrix} 0 & 1 \ \ -1 & 0 \ end {pmatrix}.

1.3. Зауваження

Помилково визначення числа i як однини, задовольняє рівнянню x 2 = - 1 , Так як число (- I) також задовольняє цьому рівнянню.

Слід також зауважити, що вираз \ Sqrt {-1} , Раніше часто використовувалося замість i , Не цілком коректно, так як алгебраїчний корінь визначається над безліччю невід'ємних чисел. Аж до XIX століття включно запис на зразок 5 + \ sqrt {-3} вважалася допустимою, але в даний час, щоб уникнути помилок, прийнято записувати цей вислів як 5 + i \ sqrt {3} . Приклад можливої ​​помилки при необережному використанні застарілої записи:

\ Sqrt {-3} \ cdot \ sqrt {-3} = \ sqrt {(-3) \ cdot (-3)} = \ sqrt {9} = 3,

в той час як правильну відповідь:

\ Left (i \ sqrt {3} \ right) \ cdot \ left (i \ sqrt {3} \ right) = i \ cdot i \ cdot \ sqrt {9} = -3.

2. Дії над комплексними числами

  • Порівняння
    a + b i = c + d i означає, що a = c і b = d (Два комплексних числа рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини).
  • Додавання
    (A + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.
  • Віднімання
    (A + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i.
  • Множення
    (A + bi) \ cdot (c + di) = ac + bci + adi + bdi ^ 2 = (ac-bd) + (bc + ad) i.
  • Розподіл
    \ Frac {a + bi} {c + di} = \ frac {ac + bd} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ left (\ frac {bc-ad} {c ^ 2 + d ^ 2} \ right) i.

3. Геометрична модель

Геометричне уявлення комплексного числа

Розглянемо площину з прямокутної системою координат. Кожному комплексному числу ~ Z = x + iy зіставимо точку площини з координатами {X, y} (А також радіус-вектор, що з'єднує початок координат з цією точкою). Така площина називається комплексної. Речові числа на ній займають горизонтальну вісь, уявна одиниця зображується одиницею на вертикальній осі; з цієї причини горизонтальна і вертикальна осі називаються відповідно і уявною осями.

Часто буває зручно розглядати на комплексній площині також полярну систему координат, в якій координатами точки є відстань до початку координат (модуль) і кут радіус-вектора точки (показаного синьою стрілкою на малюнку) з горизонтальною віссю (аргумент). Докладніше див нижче.

У цьому наочному поданні сума комплексних чисел відповідає векторної сумі відповідних радіус-векторів. При перемножуванні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Якщо модуль другий співмножник дорівнює 1, то множення на нього геометрично означає поворот радіус-вектора першого числа на кут, рівний аргументу другого числа. Цей факт пояснює широке використання комплексного представлення в теорії коливань, де замість термінів "модуль" і "аргумент" використовуються терміни " амплітуда "і" фаза ".


4. Пов'язані визначення

Модуль, аргумент, речова і уявна частини

Нехай ~ Z = x + iy - Комплексне число, де ~ X і ~ Y - речові числа. Числа x = \ Re (z) або \ Operatorname {Re} ~ z і y = \ Im (z) або \ Operatorname {Im} ~ z називаються відповідно і уявною (аналогічно англ. real, imaginary ) Частинами z .


4.1. Модуль і аргумент

Модулем (абсолютною величиною) комплексного числа називається довжина радіус-вектора відповідної точки комплексній площині (або, що те ж, відстань між точкою комплексної площини, що відповідає цьому числу, і початком координат).

Модуль комплексного числа z позначається | Z | і визначається виразом | Z | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} . Часто позначається буквами ~ R або ~ \ Rho . Якщо z є дійсним числом, то | Z | збігається з абсолютною величиною цього дійсного числа.

Для будь-яких z, z_1, z_2 \ in \ mathbb {C} мають місце такі властивості модуля. :

1) | Z | \ geqslant 0 \, , Причому | Z | = 0 \, тоді і тільки тоді, коли z = 0 \, ;;
2) | Z_1 + z_2 | \ leqslant | z_1 | + | z_2 | \, ( нерівність трикутника);
3) | Z_1 \ cdot z_2 | = | z_1 | \ cdot | z_2 | \, ;
4) | Z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \, .

З третього властивості слід | A \ cdot z | = | a | \ cdot | z | , Де a \ in \ mathbb {R} . Дана властивість модуля разом з першими двома властивостями вводять на безлічі комплексних чисел структуру двовимірного нормованого простору над полем \ Mathbb {R} .

5) Для пари комплексних чисел z 1 і z 2 модуль їх різниці | Z 1 - z 2 | дорівнює відстані між відповідними точками комплексної площини.

Кут \ Varphi (В радіанах) радіус-вектора точки, що відповідає числу z , Називається аргументом числа z і позначається ~ \ Operatorname {Arg} (z) .

  • З цього визначення випливає, що \ Operatorname {tg} \ \ varphi = \ frac {y} {x} ; \ Cos \ varphi = \ frac {x} {| z |} ; \ Sin \ varphi = \ frac {y} {| z |} ~ ~ .
  • Для комплексного нуля значення аргумента не визначене, для ненульового числа z аргумент визначається з точністю до 2 k π , Де k - Будь-яке ціле число.
  • Головним значенням аргументу називається таке значення \ Varphi , Що - \ Pi <\ varphi \ leqslant \ pi . Часто головне значення позначається ~ \ Operatorname {arg} (z) [4]. Головне значення аргументу зворотного числа відрізняється знаком від аргументу вихідного: ~ \ Operatorname {arg} \ left (\ frac {1} {z} \ right) = - \ operatorname {arg} (z) .

4.2. Парні числа

Геометричне уявлення сполучених чисел

Якщо комплексне число z = x + i y , То число \ Bar z = x-iy називається зв'язаним (або комплексно зв'язаних) до z (Позначається також z * ). На комплексній площині пов'язані числа виходять дзеркальним відображенням один одного щодо речової осі. Модуль сполученого числа такий же, як у вихідного, а їхні аргументи відрізняються знаком.

Перехід до парному числа можна розглядати як одномісну операцію; перерахуємо її властивості.

  • \ Bar {\ bar {z}} = z (Поєднане до парному є вихідне).
  • z \ cdot \ bar z = | z | ^ 2.
  • \ Overline {z_1 \ pm z_2} = \ bar {z} _1 \ pm \ bar {z} _2.
  • \ Overline {z_1 \ cdot z_2} = \ bar z_1 \ cdot \ bar z_2.
  • \ Overline {z_1/z_2} = \ bar z_1 / \ bar z_2.

Узагальнення: \ Overline {p (z)} = p (\ bar z) , Де p (z) - Довільний многочлен з речовими коефіцієнтами.

  • | \ Bar {z} | = | z |
  • \ Mathrm {Re} \, z = \ frac {z + \ bar z} {2}; \ quad \ mathrm {Im} \, z = \ frac {z-\ bar z} {2i}.

5. Представлення комплексних чисел

5.1. Алгебраїчна форма

Запис комплексного числа z у вигляді x + i y , x, \; y \ in \ R , Називається алгебраїчної формою комплексного числа.

Сума і добуток комплексних чисел можуть бути обчислені безпосереднім підсумовуванням і перемножуванням таких виразів, як зазвичай розкриваючи дужки і приводячи подібні, щоб представити результат теж у стандартній формі (при цьому треба врахувати, що i 2 = - 1 ):

(A + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d);
(A + ib) \ cdot (c + id) = ac + iad + ibc + i ^ 2bd = ac + iad + ibc-bd = (ac-bd) + i (ad + bc).

5.2. Тригонометрична і показова форми

Якщо речову x і уявну y частини комплексного числа виразити через модуль r = | z | і аргумент \ Varphi ( x = r cos φ , y = r sin φ ), То всяке комплексне число z , Крім нуля, можна записати в тригонометричній формі

z = r (cos φ + i sin φ).

Також може бути корисна показова форма запису комплексних чисел, тісно пов'язана з тригонометричної через формулу Ейлера :

z = r e i φ,

де e i φ - Розширення експоненти для випадку комплексного показника ступеня.

Звідси випливають такі широко використовувані рівності:


5.3. Формула Муавра і вилучення коренів з комплексних чисел

Коріння п'ятого ступеня з одиниці (вершини п'ятикутника)

Ця формула дозволяє зводити в цілу ступінь ненульове комплексне число, представлене в тригонометричній формі. Формула Муавра має вигляд:

z n = [r (cos φ + i sin φ)] n = r n (cos n φ + i sin n φ),

де r - Модуль, а \ Varphi - Аргумент комплексного числа. У сучасній символіці вона опублікована Ейлером в 1722. Наведена формулою справедлива при будь-якому цілому n, не обов'язково позитивний.

Аналогічна формула застосовна також і при обчисленні коренів n -Го ступеня з ненульового комплексного числа:

z 1 / n = [r (cos (φ + 2π k) + i sin (φ + 2π k))] 1 / n =
= R ^ {1 / n} \ left (\ cos \ frac {\ varphi +2 \ pi k} {n} + i \ sin \ frac {\ varphi +2 \ pi k} {n} \ right),
n> 1, k = 0, \; 1, \; \ ldots, \; n-1.

Зазначимо, що коріння n -Го ступеня з ненульового комплексного числа завжди існують, і їх кількість дорівнює n . На комплексній площині, як видно з формули, всі ці коріння є вершинами правильного n -Кутника, вписаного в коло радіуса \ Sqrt [n] {r} з центром в початку координат (див. малюнок).


6. Історія

Вперше, мабуть, уявні величини з'явилися у відомій праці "Велике мистецтво, або про алгебраїчних правилах" Кардано ( 1545), який визнав їх непридатними до вживання. Користь уявних величин, зокрема, при вирішенні кубічного рівняння, в так званому непріводімим випадку (коли речові коріння многочлена виражаються через кубічні корені з уявних величин), вперше оцінив Бомбеллі ( 1572). Він же дав деякі найпростіші правила дій з комплексними числами.

Вирази вигляду a + b \ sqrt {-1} , Що з'являються при вирішенні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати "уявними" в XVI - XVII століттях, проте навіть для багатьох великих учених XVII століття алгебраїчна і геометрична сутність уявних величин представлялася неясною. Лейбніц, наприклад, писав: "Дух божий знайшов якнайтоншу віддушину в цьому диві аналізу, виродку з світу ідей, подвійній сутності, яка знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з від'ємної одиниці". [5]

Довгий час було неясно, чи всі операції над комплексними числами приводять до комплексних результатів, або, наприклад, вилучення кореня може привести до відкриття якогось нового типу чисел. Завдання про висловлення коренів ступеня n з даного числа була вирішена в роботах Муавра ( 1707) і Котса ( 1722).

Символ i = \ sqrt {-1} запропонував Ейлер ( 1777, опубл. 1794), який взяв для цього першу букву слова лат. imaginarius . Він же розповсюдив всі стандартні функції, включаючи логарифм, на комплексну область. Ейлер також висловив в 1751 думка про алгебраїчної замкнутості поля комплексних чисел. До такого ж висновку прийшов Д'Аламбер ( 1747), але перше строге доведення цього факту належить Гауссу ( 1799). Гаус і ввів у широкий вжиток термін "комплексне число" в 1831, хоча цей термін раніше використовував в тому ж сенсі французький математик Лазар Карно в 1803.

Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними з'явилося вперше в роботі Весселя ( 1799). Перші кроки в цьому напрямку були зроблені Валлісом ( Англія) в 1685. Сучасне геометричне представлення, іноді зване "діаграмою Аргана", увійшло в побут після опублікування в 1806 -м і 1814 -му роках роботи Ж. Р. Аргана, повторював незалежно висновки Весселя. Терміни "модуль", "аргумент" і "поєднане число" ввів Коші.

Арифметична модель комплексних чисел як пара дійсних чисел була побудована Гамільтоном ( 1837); це довело несуперечність їхніх властивостей. Гамільтон запропонував і узагальнення комплексних чисел - кватерніони, алгебра яких некомутативних.


7. Варіації і узагальнення

8. Функції комплексної змінної


Примітки

  1. Подвійне наголос вказано згідно наступних джерел.
    • Велика радянська енциклопедія, 3-е изд. (1973), том 12, стор 588, стаття Комплексні числа.
    • Радянський енциклопедичний словник (1982), стор 613, стаття Комплексне число.
    • Останнє видання "Словника труднощів російської мови" (Розенталь Д. Е., Теленкова М. А., Айріс-прес, 2005, стор 273) вказує обидва варіанти: "комплексні (комплексні) числа".
    • В Великої російської енциклопедії (том 14, 2010 рік) по непоясненим причин пропонуються одночасно наголосу Комплексне число (стор. 691), але Комплексний аналіз (стор. 695).
    У наступних джерелах вказано єдиний варіант наголосу (на другий склад) для чисел.
    • Орфографічний словник російської мови (6-е видання, 2010), Граматичний словник російської мови (6-е видання, 2009), Російський орфографічний словник Російської академії наук під ред. В. В. Лопатіна (2-е видання, 2004).
  2. " Математична енциклопедія "/ Головний редактор І. М. Виноградов - М. : "Радянська енциклопедія", 1979. - 1104 с. - (51 [03] М34). - 148800 прим .
  3. У теорії електричних ланцюгів, символ \ Scriptstyle {i} іноді замінюють на \ Scriptstyle {j} , Щоб не плутати зі стандартним позначенням електричного струму ( \ Scriptstyle {i} ).
  4. Свєшніков А. Г., Тихонов А. Н. Теорія функцій комплексної змінної - М .: Наука, 1967. - С. 14-15.
  5. Клайн М. Математика. Втрата визначеності - djvu.504.com1.ru: 8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu - М .: Світ, 1984. - С. 139.

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
90 (число)
3 (число)
e (число)
-1 (Число)
30 (число)
12 (число)
14 (число)
18 (число)
24 (число)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru