Знаймо

Додати знання

приховати рекламу



Цей текст може містити помилки.

Комплексний аналіз



План:


Введення

Комплексний аналіз [1], теорія функцій комплексного змінного (або комплексної змінної; скорочено - ТФКП) - розділ математичного аналізу, в якому розглядаються і вивчаються функції комплексного аргументу.


1. Загальні поняття

Кожна комплексна функція w = f (z) = f (x + i y) може розглядатися як пара речових функцій від двох змінних: f (z) = u (x, \; y) + iv (x, \; y) , Що визначають її речову і уявну частину відповідно. Опції u , v називаються компонентами комплексної функції f (z) .

Поняття межі для послідовності і функції вводиться так само, як і в матеріальному випадку, з заміною абсолютної величини на комплексний модуль. Якщо \ Lim_ {z \ to a + bi} f (z) = A + Bi , То \ Lim_ {x \ to a, \; y \ to b} u (x, \; y) = A і \ Lim_ {x \ to a, \; y \ to b} v (x, \; y) = B . Вірно і зворотнє: з існування меж компонент випливає існування межі самої функції, і компонентами межі будуть межі компонентів. Безперервність комплексної функції теж визначається так само, як в матеріальному випадку, і вона рівносильна безперервності обох її компонент.

Всі основні теореми про межу і безперервності речових функцій мають місце і в комплексному випадку, якщо це розширення не пов'язане з порівнянням комплексних величин на більше-менше. Наприклад, немає аналога теоремі про проміжні значеннях безперервної функції.

ε -Околиця числа z 0 визначається як безліч точок z , Віддалених від z 0 менше ніж на ε : ~ | Z-z_0 | <\ varepsilon . На комплексній площині ε -Околиця являє собою коло радіуса ε з центром в z 0 .


2. Нескінченно віддалена точка

У комплексному аналізі часто корисно розглядати повну комплексну площину [2], доповнену в порівнянні зі звичайною нескінченно віддаленою точкою: z = \ infty . При такому підході необмежено зростаюча (по модулю) послідовність вважається сходящейся до нескінченно віддаленій точці. Алгебраїчні операції з нескінченністю не виробляються, хоча кілька алгебраїчних співвідношень мають місце:

  • \ Frac {z} {\ infty} = 0; z + \ infty = \ infty (z \ ne \ infty)
  • z \ cdot \ infty = \ infty; \ frac {z} {0} = \ infty (z \ ne 0)

ε -Околицею нескінченно віддаленої точки вважається безліч точок z , Модуль яких більше, ніж ε , Тобто зовнішня частина ε -Околиць початку координат.


3. Диференціювання

3.1. Визначення

Похідна для комплексної функції одного аргументу w = f (z) визначається так само, як і для речовинної:

f ^ \ prime (z) = \ frac {df} {dz} = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (z + h)-f (z)} {h}

(Тут h - Комплексне число). Якщо ця межа існує, функція називається дифференцируемой або голоморфних. При цьому

f (z + h)-f (z) = \ frac {df} {dz} \ cdot h + o (h).

Слід враховувати одну важливу особливість: оскільки комплексна функція задана на площині, існування наведеного межі означає, що він однаковий при прагненні до z з будь-якого напрямку. Цей факт накладає суттєві обмеження на вид функцій-компонент u, \; v і визначає їх жорстку взаємозв'язок ( умови Коші - Рімана):

\ Frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y}; \ qquad \ frac {\ partial u} {\ partial y} =- \ frac {\ partial v} { \ partial x}.

Звідси випливає, що діфференцируємості компонент u і v недостатньо для діфференцируємості самої функції.

Більше того, мають місце такі властивості, що відрізняють комплексний аналіз від речового:

  • Всяка дифференцируемая в деякій околиці точки z комплексна функція дифференцируема необмежену кількість разів і аналітична, тобто її ряд Тейлора сходиться до даної функції в усіх точках цієї околиці (в літературі поряд з терміном аналітична функція використовується також його синонім " голоморфних функція ").
  • ( Теорема Ліувілля): Якщо функція диференційована на всій комплексній площині і не є константою, то її модуль не може бути обмежений.
  • Обидві компоненти дифференцируемой комплексної функції є гармонійними функціями, тобто задовольняють рівнянню Лапласа :
\ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} = 0; \ qquad \ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 v} {\ partial y ^ 2} = 0.
  • Будь гармонійна функція може бути як речовинній, так і уявної компонентою диференціюється. При цьому інша компонента визначається однозначно (з умов Коші - Рімана), з точністю до константи-доданка.

Таким чином, будь-яка дифференцируемая комплексна функція - це функція виду u + i v , Де u, \; v - Взаємопов'язані гармонійні функції двох аргументів.


3.2. Інші властивості

Нехай функції f (z) і g (z) діфференцируєми в області G \ subset \ mathbb C . Тоді f (z) \ pm g (z) і f (z) \ cdot g (z) також діфференцируєми в цій галузі. Якщо g (z) в області G не звертається в нуль, то \ Frac {f (z)} {g (z)} буде дифференцируема в G . Композиція функцій f (g (z)) дифференцируема всюди, де вона визначена. Якщо похідна функції w = f (z) в області G не звертається в нуль, то існує зворотна до неї функція z = φ (w) , І вона буде дифференцируема.

Похідні суми, різниці, добутку, частки від ділення, композиції функцій і зворотної функції обчислюється за тими ж формулами, що і в матеріальному аналізі.


3.3. Геометричний зміст похідної

Приклад конформного відображення. Видно, що кути зберігаються.

Кожна комплексна функція w = f (z) = u (x, \; y) + iv (x, \; y) визначає деяке відображення комплексної площини з координатами (X, \; y) на іншу комплексну площину з координатами (U, \; v) . При цьому вираз:

\ Left | \ frac {f (z + h)-f (z)} {h} \ right | = k (h)

при малому h геометрично можна витлумачити як коефіцієнт масштабування, яке виконує дане відображення при переході від точки z до точки z + h . Існування межі ~ \ Lim_ {h \ to 0} k (h) , Тобто модуля похідної | F ^ \ prime (z) | = k , Означає, що коефіцієнт масштабування однаковий в будь-якому напрямку від точки z , Тобто не залежить від напрямку. Взагалі кажучи, коефіцієнт масштабування змінюється від точки до точки.

Якщо коефіцієнт масштабування k> 1 , То в околиці точки z відстані між точками збільшуються, і коефіцієнт масштабування називають коефіцієнтом розтягування. Якщо коефіцієнт масштабування k <1 , То в околиці точки z відстані між точками зменшуються, і коефіцієнт масштабування називають коефіцієнтом стиснення.

Що стосується аргументу похідної, то він визначає кут повороту гладкої кривої, що проходить через точку z . Всі гладкі криві при такому відображенні повертаються на один і той самий кут. Відображення, що зберігають кути, називаються конформними; таким чином, будь-яка дифференцируемая комплексна функція визначає конформне відображення (в тій області, де її похідна не звертається в нуль). З цим фактом пов'язано широке застосування комплексних функцій в картографії та гідродинаміці [3].


4. Інтегрування

Поняття первообразной комплексної функції (невизначеного інтеграла) вводиться так само, як в матеріальному випадку. Однак аналог певного інтеграла в інтервалі від a до b на комплексній площині, взагалі кажучи, не існує, так як шлях від початкової точки до кінцевої неоднозначний. Тому основним видом комплексного інтеграла є криволінійний інтеграл, що залежить від конкретного шляху. Нижче будуть зазначені умови, при виконанні яких інтеграл не залежить від шляху, і тоді інтеграл "від точки до точки" може бути визначений коректно.

Нехай рівняння z = z (t), \; a \ leqslant t \ leqslant b визначає деяку кусочно-гладку криву γ в комплексній площині, а функція f (z) визначена в точках цієї кривої. Розділимо інтервал завдання параметра на n рівних частин: a = t_0 <t_1 <\ ldots <t_n = b і розглянемо інтегральну суму:

\ Sum_ {1 \ leqslant k \ leqslant n} f (z (t_k)) (z (t_k)-z (t_ {k-1})).

Межа цієї суми при необмеженому зростанні n називається (комплексним) інтегралом по кривій γ від даної функції f (z) ; Він позначається:

\ Int \ limits_ \ gamma \! F (z) \, dz.

Для будь-якої функції f (z) , Безперервної уздовж γ , Цей інтеграл існує і може бути обчислений через звичайний речовий інтеграл по параметру:

Тут u, \; v - Компоненти f (z) . З цього уявлення відразу випливає, що властивості комплексного інтеграла аналогічні властивостям речового криволінійного інтеграла.


4.1. Контурний інтеграл

Особливий практичний інтерес представляють інтеграли по (замкнутому) контуру, тобто за кусочно-гладкою кривою без точок самопересеченія, у якої початкова точка співпадає з кінцевою. Контур можна обходити в двох напрямках; позитивним вважається напрям, у якому обмежена контуром область розташовується зліва по ходу руху.

Якщо крива γ утворює замкнутий контур, вживається особливе позначення інтеграла:

\ Oint \ limits_ \ gamma \! F (z) \, dz.

Має місце важлива інтегральна теорема Коші : для будь-якої функції f (z) , аналітичної в однозв'язна області A \ subset \ C і для будь-якого замкнутого контура \ Gamma \ subset A справедливе співвідношення:

\ Oint \ limits_ \ gamma \! F (z) \, dz = 0 .

Наслідок: нехай функція f (z) , Аналітична в однозв'язна області A \ subset \ C , А точки z 1, z 2 з області A з'єднані деякої кривої γ . Тоді інтеграл \ Int \ limits_ \ gamma \! F (z) \, dz залежить тільки від точок z 1, z 2 , Але не від вибору з'єднує їх кривої γ , Так що можна позначити його \ Int \ limits_ {z_1} ^ {z_2} {f (z) \, dz} , І має місце теорема Ньютона - Лейбніца :

\ Int \ limits_ {z_1} ^ {z_2} {f (z) \, dz} = F (z_2) - F (z_1),

де F (z) - первообразная для f (z) .

Інші потужні інструменти для дослідження комплексних і речових інтегралів:


5. Теореми єдиності та аналітичне продовження

Нулем функції f (z) називається точка z 0 , В якій функція звертається в нуль: f (z 0) = 0 .

Теорема про нулях аналітичної функції. Якщо нулі функції f (z) , Аналітичної в області D , Мають граничну точку всередині D , То функція f (z) усюди в D дорівнює нулю.

Наслідок: якщо функція f (z) аналітична в області D і не дорівнює нулю тотожно, то в будь обмеженою замкнутої підобласті C \ subset D у неї може бути лише кінцеве число нулів.

Теорема єдиності аналітичної функції. Нехай {Z n} - сходящаяся послідовність різних точок області D . Якщо дві аналітичні функції f (z), g (z) збігаються в усіх точках цієї послідовності, то вони тотожно рівні у D .

Зокрема, якщо дві аналітичні функції збігаються на деякій кусочно-гладкою кривою в D , То вони збігаються всюди в D . Це означає, що значення аналітичної функції навіть на невеликій ділянці області повністю визначають поведінку функції у всій області її визначення. Задавши аналітичну функцію на кривій (наприклад, на речовій осі), ми однозначно визначаємо її розширення (якщо воно можливо) на більш широку область, яка називається аналітичним продовженням вихідної функції.

Всі стандартні функції аналізу - многочлен, дрібно-лінійна функція, ступенева функція, експонента, тригонометричні функції, зворотні тригонометричні функції, логарифм - допускають аналітичне продовження на комплексну площину. При цьому для їх аналітичних продовжень матимуть місце ті ж алгебраїчні, диференціальні та інші тотожності, що й для речового оригіналу, наприклад:

\ Sin ^ 2 z + \ cos ^ 2 z = 1; \ qquad e ^ u \ cdot e ^ v = e ^ {u + v}

6. Розклад в ряд

6.1. Степеневий ряд

Визначення суми числового ряду і ознаки збіжності в комплексному аналізі практично такі ж, як у матеріальному, з заміною абсолютної величини на комплексний модуль; виняток становлять ознаки збіжності, в яких відбувається порівняння на більше-менше самих елементів ряду, а не їх модулів.

Всяка дифференцируемая в точці z 0 функція розкладається в околиці цієї точки в степеневий ряд Тейлора :

f (z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n (z-z_0) ^ n

Коефіцієнти ряду обчислюються за звичайними формулами. Цей ряд збігається до функції f (z) в деякому колі радіуса R з центром в точці z 0 , Який служить аналогом інтервалу збіжності речового ряду. У цьому колі ряд абсолютно сходиться, а поза ним розходиться. При цьому можливі 3 випадки.

  1. Ряд сходиться в колі кінцевого і ненульового радіуса.
  2. Ряд сходиться на всій комплексній площині, тобто R = \ infty . Такі функції називаються цілими.
  3. Ряд сходиться лише у точці z 0 . Приклад: \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty n! (Z-z_0) ^ n . Такі точки z 0 називаються особливими для функції f (z) . Неособие точки називаються правильними. Середина кола збіжності складається з правильних точок.

Кордон кола збіжності містить хоча б одну особливу точку. Звідси випливає, що радіус кола збіжності в точці z 0 дорівнює відстані від z 0 до найближчої до неї особливої ​​точки.

Теорема Абеля: якщо R - Радіус кола збіжності степеневого ряду, то в будь-якому колі з тим же центром, але меншого радіуса, ряд сходиться рівномірно.


6.2. Ряд Лорана

Представляє великий практичний інтерес дослідження поведінки функції у районі ізольованою особливої ​​точки, тобто точки, в околиці якої функція аналітична, але в самій точці або не аналітична, або не визначена. Степеневий ряд тут марний, тому вводиться більш загальний ряд Лорана :

\ Sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} c_n (z-z_0) ^ n = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} c_n (z-z_0) ^ n + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} \ frac {c_ {-n}} {(z-z_0) ^ n}

Якщо область збіжності ряду Лорана не порожня, вона являє собою кругове кільце : ~ R <| z-z_0 | <R .

Основна теорема: якщо функція f (z) аналітична в круговому кільці, то вона може бути представлена ​​в цьому кільці сходящимся поруч Лорана, причому однозначно.

Як і для степеневого ряду, межі кільця збіжності визначаються розподілом особливих точок функції. По виду ряду Лорана можна зробити деякі висновки про поведінку функції поблизу точки z 0 .

  1. Переборна особлива точка : якщо ряд Лорана не містить елементів з негативними ступенями ~ Z-z_0 . Тоді це просто степеневий ряд, який визначає функцію в деякому колі, навколишньому ~ Z_0 . Сума ряду в цьому колі конечна і може відрізнятися від f (z) тільки в точці z 0 , Так що досить перевизначити ~ F (z_0) , Щоб функція стала аналітичне в усьому колі. Має місце наступний ознака: якщо функція у районі z 0 аналітична і обмежена, то z 0 - Усунена особлива точка.
  2. Полюс : якщо ряд Лорана містить кінцеве число елементів з негативними ступенями ~ Z-z_0 . У цьому випадку функція в точці z 0 нескінченна (по модулю).
  3. Істотно особлива точка : якщо ряд Лорана містить нескінченне число елементів з негативними ступенями ~ Z-z_0 . У цьому випадку функція в точці z 0 не може бути коректно визначена так, щоб бути безперервною.

7. Програми в матеріальному аналізі

За допомогою теорії відрахувань, що є частиною ТФКП, обчислюються багато складних інтеграли по замкнутих контурів.

Засобами комплексного аналізу пояснюються деякі моменти, що не піддаються простій інтерпретації в термінах речового аналізу. Наведемо класичний приклад: функція

f (x) = \ frac {1} {1 + x ^ 2}

безперервна і нескінченно диференційовних на всій речової прямої. Розглянемо її ряд Тейлора

\ Frac {1} {1 + x ^ 2} = 1-x ^ 2 + x ^ 4-x ^ 6 + \ ldots

Цей ряд сходиться тільки в інтервалі (-1; \; 1) , Хоча точки \ Pm 1 не є якимись особливими для f (x) .

Положення проясняється при переході до функції комплексного змінного f (z) = \ frac {1} {1 + z ^ 2} , У якій виявляються дві особливі точки: \ Pm i . Відповідно, цю функцію можна розкласти в ряд Тейлора тільки в колі Δ = {z: | z | <1} .


8. Історія

Фундаментальні роботи в комплексному аналізі пов'язані з іменами Ейлера, Рімана, Коші, Вейерштрасса і багатьох інших відомих математиків. Теорія конформних відображень стала бурхливо розвиватися завдяки наявним пріменененіям в інженерній справі, також методи і результати комплексного аналізу застосовуються в аналітичній теорії чисел. Новий сплеск інтересу до комплексного аналізу пов'язаний з комплексною динамікою і теорією фракталів.


Примітки

  1. Подвійне наголос вказано згідно наступних джерел.
    • Велика радянська енциклопедія, 3-е изд. (1973), том 12, стор 588, стаття Комплексні числа.
    • Радянський енциклопедичний словник (1982), стор 613, стаття Комплексне число.
    • Останнє видання "Словника труднощів російської мови" (Розенталь Д. Е., Теленкова М. А., Айріс-прес, 2005, стор 273) вказує обидва варіанти: "комплексні (комплексні) числа".
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
    • Орфографический словарь русского языка" (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей указывают варианты: " ко́мплексный " и " компле́ксный (матем.)".
  2. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21.
  3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели - djvu.504.com1.ru:8019/WWW/cf62db0aace63e65e57994fb2c1a96cb.djvu - М .: Наука, 1973.

Література

  • Евграфов М. А. Аналитические функции - 2-е изд., перераб. и дополн. - М .: Наука, 1968. - 472 с.
  • История математики. В 3-х томах / Под редакцией А. П. Юшкевича - М .: Наука, 1972. - Т. III.
  • Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М .: Наука, 1981. - 304 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного - 4-е изд.. - М .: Наука, 1972.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М .: Наука, 1967. - 304 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ - 2-е изд., перераб. - М .: Наука, 1980. - 464 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления - М .: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 800 с. - ISBN 5-9221-0155-2.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ - М .: Наука, 1969. - 577 с.
Портал "Наука"
Портал "Математика" | Категорія "Математика"

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Відрахування (комплексний аналіз)
Особливість (комплексний аналіз)
Полюс (комплексний аналіз)
Нуль (комплексний аналіз)
Тотожність Ейлера (комплексний аналіз)
Комплексний тип даних
Комплексний книготорговий індекс-шифр
Аналіз
Коваріаційний аналіз
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru