Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Конформне відображення



План:


Введення

Взаємно однозначне відображення області D на область D * ( евклідова простору або ріманова різноманіття) називається конформним ( лат. conformis - Подібний), якщо в околиці будь-якої точки D диференціал цього перетворення є композиція ортогонального перетворення та гомотетии.

Цей термін прийшов з комплексного аналізу, спочатку використовувався тільки для конформних відображень областей площині.


1. Пов'язані визначення

  • Якщо при конформному відображенні зберігається орієнтація, то говорять про конформному відображенні першого роду, якщо ж вона змінюється на протилежну, то говорять про конформному відображенні другого роду або антіконформном відображенні.
  • Дві метрики g, \ tilde g на гладкому різноманітті M називаються конформноеквівалентнимі якщо існує гладка функція \ Psi: M \ to \ R така що \ Tilde g = e ^ \ psi g . У цьому випадку тотожне відображення на M індукує конформне відображення (M, g) \ to (M, \ tilde g) .

2. Властивості

Приклад конформного відображення. Видно, що перпендикулярність зберігається.
  • Конформне відображення зберігає форму нескінченно малих фігур;
  • Конформне відображення зберігає кути між кривими в точках їх перетину (властивість збереження кутів).
    • Це властивість можна також взяти за визначення конформного відображення.
  • Теорема Ліувілля : Всяке конформне відображення області евклідова простору \ R ^ n при n \ ge 3 можна представити у вигляді кінцевого числа суперпозицій - ізометрій і інверсій.
  • Кривизна Вейля зберігається при конформному відображенні, тобто якщо \ Tilde g і g - Конформноеквівалентние метричні тензори, то
    \ Tilde W (X, Y) Z = W (X, Y) Z,
    де \ Tilde W і W позначають тензори Вейля для \ Tilde g і g відповідно.
  • Для конформно-еквіваленти метрик \ Tilde g = e ^ {2 \ psi} g
\ Tilde {Sc} = \ left ({Sc} - \ frac {4 (n-1)} {n-2} \ Delta u \ right) / u ^ {\ frac {n +2} {n-2} }

3. Приклади


4. Історія

Дослідженням конформних відображень займалися Л. Ейлер , Б. Ріман , К. Гаусс , А. Пуанкаре , К. Каратеодорі , Н. Е. Жуковський , С. А. Чаплигін .


5. Застосування

Конформне відображення застосовується в картографії, електростатиці, механіці суцільних середовищ ( гідро- і аеромеханіки, газова динаміка, теорія пружності, теорія пластичності та ін.)


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Відображення
Відображення (геометрія)
Лінійне відображення
Ступінь відображення
Ліпшіцево відображення
Багатозначне відображення
Відображення (програмування)
Білінійну відображення
Якобіан відображення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru