Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Конічний перетин


Blue cut-cone.gif

План:


Введення

Конічні перетини: окружність , еліпс , парабола (Площина перерізу паралельна твірної конуса), гіпербола .
Blue cut-cone.gif

Конічний перетин або коника є перетин площині з круговим конусом. Існує три головних типи конічних перетинів: еліпс, парабола і гіпербола, крім того існують вироджені перетини: точка, пряма і пара прямих. Окружність можна розглядати як окремий випадок еліпса.

Конічні перетини можуть бути отримані як перетин площині з двостороннім конусом

a 2 z 2 = x 2 + y 2 Декартовій системі координат)

Тут

a = \ operatorname {tg} \ theta
θ - Кут між твірною конуса та його віссю.

Якщо площину проходить через початок координат, то виходить вироджений перетин. У невиродженим випадку,

  • якщо січна площина перетинає всі утворюють конуса в точках однієї його порожнини, отримуємо еліпс,
  • якщо січна площина паралельна одній з дотичних площин конуса, отримуємо параболу,
  • якщо січна площина перетинає обидві порожнини конуса, отримуємо гіперболу.

Рівняння кругового конуса квадратично, стало бути все конічні перетину є квадриків, також всі квадриків площині є конічними перетинами (хоча дві паралельні прямі утворюють виродження квадриків яка не може бути отримана як перетин конуса, але все ж зазвичай вважається "виродженим конічним перетином").


1. Ексцентриситет

Еліпс (e = 1 / 2), парабола (e = 1) і гіпербола (e = 2) з фіксованими фокусом F та директрисою.

Всі невироджені конічні перетину, крім кола, можна описати таким способом:

Виберемо на площині точку F і пряму d і задамо дійсне число e> 0 . Тоді геометричне місце точок, для яких відстань до точки F і до прямої d відрізняється в e разів, є конічним перетином. Точка F називається фокусом конічного перетину, пряма d - директоркою, число e - ексцентриситетом.

| FM | = e \ cdot | MM '|, \ MM' \ bot d

Залежно від ексцентриситету, вийде:

Для кола вважають e = 0 (Хоча формально при e = 0 , ГМТ виходить тільки точка F ).


2. Властивості

  • Через будь-які п'ять точок на площині, ніякі три з яких не лежать на одній прямій, можна провести єдине конічний перетин.

3. Групи перетворень

  • Ексцентриситет двох невироджених конічних перетинів збігається тоді і тільки тоді, коли вони можуть бути переведені один в одного перетворенням подібності.
  • Афінний перетворення зберігають тільки знак ексцентриситету, тобто з точки зору афінної геометрії існує лише три різних невироджених конічних перетину: еліпс, парабола та гіпербола.
  • Всі невироджені конічні перетину невиразні в проективної геометрії.

4. Координатне представлення

4.1. Декартові координати

В декартових координатах, конічні перетину описуються загальним квадратним многочленом :

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0,

Інакше кажучи, конічні перетину є кривими другого порядку. Знак дискриминанта

B 2 - 4 A C,

визначає тип конічного перетину.

  • Якщо дискримінант менше нуля, то це еліпс, точка або порожня множина.
  • Якщо дискримінант дорівнює нулю, то це парабола, пряма або пари паралельних прямих.
  • Якщо дискримінант більше нуля, то це гіпербола або пари пересічних прямих

4.2. Полярні координати

В полярних координатах (Ρ, θ) , З центром в одному з фокусів нульовим напрямом вздовж головної осі, конічний перетин представляється рівнянням

\ Rho (1 - e \ cos \ theta) = l \,

де е позначає ексцентриситет і l постійна.

5. Історія

Конічні перетини були відомі ще математикам Давньої Греції. Найбільш повним твором, присвяченим цим кривим, були "Конічні перетину" Аполлонія Пергського (близько 200 р. до н. е..).

6. Гравітація

У рамках класичної механіки траєкторія вільного руху сферичних об'єктів в безповітряному просторі підпорядковується одному з додатків закону зворотних квадратів - закону всесвітнього тяжіння, і внаслідок цього є однією з конічних кривих - параболою, гіперболою, еліпсом або прямий. Орбіти планет - еліпси, траєкторії комет - гіперболи), траєкторія польоту гарматного ядра, за вирахуванням впливу повітря - парабола).


Література

Конічні перетини
Головні типи Еліпс Гіпербола Парабола
Вироджені Точка Пряма Пара прямих
Окремий випадок еліпса Окружність
Геометричне побудова Конічний перетин Кулі Данделена
Див також Конічна константа
Математика Геометрія
Криві
Визначення
Перетворені
Неплоских
Плоскі алгебраїчні
Конічні перетини
3-й порядок
Лемніската
Апроксимаційні
Циклоїдальні
Плоскі трансцендентні
Спіралі
Циклоїдальні

Циклоїда Епіціклоіда Гіпоціклоіда Трохоіда (Подовжена + Укорочена циклоїда) Епітрохоїді (Подовжена + Укорочена епіціклоіда ( "Роза") Гіпотрохоіда Швидкого спуску ( Брахістохрона, дуга циклоїди)

Інші
Фрактальні
Прості
Топологічні

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Перетин
Золотий перетин
Срібне перетин
Дедекіндово перетин
Ядерне ефективний перетин
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru