Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Крапельна модель ядра


CNO Cycle.svg

План:


Введення

Крапельна модель ядра - одна з найбільш ранніх моделей будови атомного ядра, запропонована Нільсом Бором в 1936 в рамках теорії складеного ядра [1], розвинена Яковом Френкелем і, надалі, Джоном Уілер, на підставі якої Карлом Вайцзеккер була вперше отримана напівемпірична формула для енергії зв'язку ядра атома, названа на його честь формулою Вайцзеккера.

Відповідно до цієї теорії, атомне ядро ​​можна представити у вигляді сферичної рівномірно зарядженої краплі з особливою ядерної матерії, яка має деякі властивості, наприклад нестисливі, насиченням ядерних сил, "випаровуванням" нуклонів ( нейтронів і протонів), нагадує рідина. У зв'язку з чим на таке ядро-краплю можна поширити деякі інші властивості краплі рідини, наприклад поверхневий натяг, дроблення краплі на більш дрібні ( поділ ядер), злиття дрібних крапель в одну велику ( синтез ядер). Враховуючи ці загальні для рідини та ядерної матерії властивості, а також специфічні властивості останньої, що випливають з принципу Паулі і наявності електричного заряду, можна отримати напівемпіричну формулу Вайцзеккера, що дозволяє обчислити енергію зв'язку ядра, а значить і його масу, якщо відомий його нуклонів склад (загальне число нуклонів ~ A ( масове число) і кількість протонів в ядрі ~ Z ):

~ E_ {c} = \ alpha A - \ beta A ^ {2/3} - \ gamma \ frac {Z ^ 2} {A ^ {1/3}} - \ varepsilon \ frac {(A / 2 - Z ) ^ {2}} {A} + \ delta ,

де: ~ \ Delta = \ chi A ^ {-3 / 4} , Причому \ Delta = \ begin {cases} + \ left | \ delta \ right | & (1) \ \ 0 & (2) \ \ - \ left | \ delta \ right | & (3) \ end {cases} ,

  • (1) - для парному-парних ядер
  • (2) - для ядер з непарним ~ A
  • (3) - для непарній-непарних ядер

Коефіцієнти ~ \ Alpha , ~ \ Beta , ~ \ Gamma , ~ \ Varepsilon і ~ \ Chi отримують при статистичної обробки експериментальних даних.

Ця формула дає досить точні значення енергій зв'язку та мас для дуже багатьох ядер, що робить її досить універсальною і дуже цінного для аналізу різних властивостей ядра. В цілому краплинна модель ядра і напівемпірична формула для енергії зв'язку зіграли вирішальну роль в побудові Бором, Френкелем і Уілер теорії поділу ядра [2] [3].


1. Висновок формули Вайцзеккера

Залежність числа нейтронів N від числа протонів Z для стабільних ядер (N = AZ).

З припущення, що всі нуклони ядра рівноцінні і кожен взаємодіє тільки з довколишніми, як молекули у краплі рідини, випливає, що енергія зв'язку повинна бути пропорційна повного числа нуклонів ~ A і, таким чином, у першому наближенні:

~ E_ {c} = \ alpha A , Де ~ \ Alpha - Коефіцієнт пропорційності.

Однак така надзвичайно спрощена картина вимагає декількох суттєвих поправок [2] [4] [5].


1.1. Поправка на ефект поверхневого натягу

У нуклонів, що знаходяться на поверхні ядра, безпосередніх сусідів менше, ніж у нуклонів, розташованих усередині нього, отже перші будуть пов'язані зі своїми сусідами слабше (випаровування молекул краплі рідини протікає з її поверхні). Отже, такі "поверхневі" нуклони внесуть менший внесок в повну енергію зв'язку. Загальне число "поверхневих" нейтронів пропорційно площі поверхні ядра, тобто його радіусу в квадраті ~ (R ^ 2) , А так як

~ R \ sim A ^ {1/3} , То ~ R ^ 2 \ sim A ^ {2/3} , Отже формула прийме вигляд:

~ E_ {c} = \ alpha A - \ beta A ^ {2/3}

1.2. Поправка на кулоновское відштовхування

На відміну від звичайної, "ядерна рідина" містить заряджені частинки. З закону Кулона і припущення, що кожен з протонів при взаємодії з іншими ~ (Z - 1) протонами знаходиться від них на відстані радіуса ядра ~ R , Кожен протон дасть внесок, пропорційний ~ (Z - 1) / R , А значить при обліку всіх ~ Z повна енергія зв'язку зменшиться на величину, пропорційну:

~ Z (Z - 1) / R \ approx Z ^ 2 / R \ sim Z ^ 2 / A ^ {1/3} , Отже формула прийме вигляд:

~ E_ {c} = \ alpha A - \ beta A ^ {2/3} - \ gamma \ frac {Z ^ 2} {A ^ {1/3}}

1.3. Поправка на протон-нейтронну асиметрію

Хоча краплинна модель ядра досить добре описує загальний характер залежності енергії зв'язку від масового числа ядра, існують особливості в поведінці ядер, для опису яких цієї моделі недостатньо. Перша така особливість - найбільша стійкість легких ядер має місце при ~ Z = A - Z . Освіта пари нейтрон-протон енергетично більш вигідно, ніж освіта пар протон-протон, нейтрон-нейтрон, тому відхилення в будь-яку сторону від вищевказаного умови призводить до зменшення енергії зв'язку, а при великих ~ Z саме це відбувається (див. пояснювальний малюнок), що пояснюється зростанням кулонівського відштовхування. З урахуванням члена, що характеризує протон-нейтронну асиметрію, формула прийме вигляд:

~ E_ {c} = \ alpha A - \ beta A ^ {2/3} - \ gamma \ frac {Z ^ 2} {A ^ {1/3}} - \ varepsilon \ frac {(A / 2 - Z ) ^ {2}} {A}

1.4. Поправка на вплив парності

Друга особливість - вплив парності ~ Z і ~ A-Z на стійкість ядер, а отже, на енергію зв'язку. Можна розбити всі ядра на три групи:

  • (1) парному-парні ядра ( ~ A - Парне)
  • (2) непарній-парні і парному-непарні ( ~ A - Непарне)
  • (3) непарній-непарні ( ~ A - Парне)

Збільшення або зменшення числа протонів або нейтронів на одиницю стрибком переводить ядро ​​з однієї групи в іншу, відповідно стрибком повинна при цьому змінюватися енергія зв'язку. Цей експериментальний факт враховується введенням в формулу члена ~ \ Delta наступним чином:

\ Delta = \ begin {cases} + \ left | \ delta \ right | & (1) \ \ 0 & (2) \ \ - \ left | \ delta \ right | & (3) \ end {cases}

Із зіставлення розрахункових і експериментальних даних ~ \ Left | \ delta \ right | = \ chi A ^ {-3 / 4}

Таким чином, в цілому емпіричну формулу для енергії зв'язку записують:

~ E_ {c} = \ alpha A - \ beta A ^ {2/3} - \ gamma \ frac {Z ^ 2} {A ^ {1/3}} - \ varepsilon \ frac {(A / 2 - Z ) ^ {2}} {A} + \ delta



2. Значення коефіцієнтів формули Вайцзеккера

Коефіцієнти отримують при статистичній обробці експериментальних даних, причому необхідно відзначити, що їх значення постійно уточнюються. Коефіцієнти мають наступні значення в МеВ [6] :

  • ~ \ Alpha = 15,56
  • ~ \ Beta = 17,23
  • ~ \ Gamma = 0,71
  • ~ \ Varepsilon = 93,46
  • ~ \ Chi = 34

3. Енергія деформації і розподіл ядра

Якщо на ядро ​​діє якесь мале обурення, порушуючи внутрішні вібраційні ступені свободи, то площа поверхні ядра, репрезентованої рідкої краплею, збільшується. Відповідно змінюється і його енергія зв'язку. Варто зазначити, що обсяг нестисливої ​​краплі не змінюється, тому перший член у формулі Вайцзеккера не вносить додаткового вкладу в енергію ядра. Подальша еволюція ядра буде залежати від конкуренції короткодействующих ядерних сил тяжіння і дальнодействующих сил кулонівського відштовхування : якщо переважають ядерні сили, то ядро знову "схлопнется" в сферичну краплю; якщо переважають кулонівських сили - відбудеться поділ ядра. [7]

Для кількісного розгляду процесу скористаємося формулою Вайцзеккера. Досить розглянути другий і третій члени, відповідальні за поверхневе натягнення і кулоновское відштовхування, так як саме вони вносять істотний внесок в зміну енергії деформованого ядра.

Поверхнева енергія ядра задається формулою:

E_ {surf} = \ tau S = \ tau \ int \ frac {R ^ 3 \, d \ Omega} {(\ vec {n} \ vec {R})},

де ~ \ Tau - Коефіцієнт поверхневого натягу, а площа ~ S в загальному випадку визначається поверхневим інтегралом. Якщо залишити тільки члени квадрупольного розкладання форми поверхні по сферичним функціям, що добре прийнятно для малих деформацій, то для площі поверхні (яка буде еліпсоїдом) виходить проста формула:

S = S_0 \ left (1 + \ frac {2} {5} \ alpha_2 ^ 2 \ right).

Тут ~ \ Alpha_2 ^ 2 - Значення квадрупольний деформації (коефіцієнт розкладання); ~ S_0 = 4 \ pi R_0 ^ 2 = 4 \ pi r_0 ^ 2 A ^ {2/3} - Площа сферичного ядра радіуса ~ R_0 = r_0 A ^ {1/3} (Для цієї емпіричної формули радіуса ядра зазвичай беруть ~ R_0 \ approx 1,2фм). Тоді енергія поверхневого натягу деформованого ядра записується як

E_ {surf} = \ tau S_0 \ left (1 + \ frac {2} {5} \ alpha_2 ^ 2 \ right) = \ beta A ^ {2/3} \ left (1 + \ frac {2} {5 } \ alpha_2 ^ 2 \ right) = E_ {surf} ^ 0 \ left (1 + \ frac {2} {5} \ alpha_2 ^ 2 \ right),

де ~ \ Beta = 4 \ pi r_0 ^ 2 \ tau = 17,23 МеВ - другий коефіцієнт формули Вайцзеккера, ~ E_ {surf} ^ 0 - Поверхнева енергія недеформованому ядра.

Кулонівська енергія ядра також виражається через параметр квадрупольний деформації ~ \ Alpha_2 :

E_ {Coul} = E_ {Coul} ^ 0 \ left (1 - \ frac {1} {5} \ alpha_2 ^ 2 \ right)

з енергією сферичного ядра як у формулі Вайцзеккера

E_ {Coul} ^ 0 = \ frac {3} {5} \ frac {(Z e) ^ 2} {R} = \ gamma \ frac {Z ^ 2} {A ^ {1/3}}.

Тепер можна визначити енергію деформації ядра через різницю енергій станів деформованого і сферичного ядра:

\ Delta E = (E_ {surf} + E_ {Coul}) - (E_ {surf} ^ 0 + E_ {Coul} ^ 0) = \ frac {1} {5} \ alpha_2 ^ 2 \, (2E_ {surf } ^ 0 - E_ {Coul} ^ 0).

Аналіз останньої формули показиват, що якщо

  • ~ 2E_ {surf} ^ 0> E_ {Coul} ^ 0 - То ядро ​​стійко по відношенню до малих деформацій,
  • ~ 2E_ {surf} ^ 0 <E_ {Coul} ^ 0 - То ядро ​​не стійко по відношенню до малих деформацій.

Видно, що в цьому підході еволюція ядра визначається енергією поверхневого натягу і кулонівському енергією в основному недеформованому стані.

Для якісних оцінок часто вводять величину

x = \ frac {E_ {Coul} ^ 0} {2E_ {surf} ^ 0} = \ frac {Z ^ 2 / A} {48,53} \,,

звану параметром подільності. При ~ X = 1 рідка крапля стає нестійкою і мимовільно ділиться за характерне ядерне час порядку 10 -22 с. Існування ядер з ~ Z ^ 2 / A> 48,53 \, [6] (т. зв. острів стабільності) пояснюється існуванням оболонок у деформованих ядер.


4. Область застосування рідко-крапельної моделі

Формула Вайцзеккера дозволяє обчислювати енергію зв'язку ядра за відомими ~ A і ~ Z з точністю ~ 10 МеВ. При ~ A \ approx 100 це дає відносну похибку 10 -2. Масу будь-якого ядра можна обчислювати з точністю 10 -4: [8]

M = Z m_p + (AZ) m_n - \ left [\ alpha A - \ beta A ^ {2/3} - \ gamma \ frac {Z ^ 2} {A ^ {1/3}} - \ varepsilon \ frac {(A / 2 - Z) ^ {2}} {A} + \ delta \ right] / c ^ 2,

де ~ M_p - Маса протона, ~ M_n - Маса нейтрона, ~ C - швидкість світла.

Так як краплинна модель є макроскопічної теорією, то вона не враховує мікроскопічної будови ядра, наприклад, розподілу ядерних оболонок. Тому формула Вайцзеккера погано застосовна для магічних ядер. В рамках краплинної моделі вважається, що ядро ​​має ділитися на два фрагменти рівної маси, але це спостерігається лише з вірогідністю близько 1% (зазвичай один з осколків розподілу важких ядер прагне володіти магічним числом 50 або 82, тобто маси фрагментів будуть відрізнятися приблизно в 1 , 5 рази). Також краплинна модель не придатна для кількісного опису спектрів енергій порушених станів ядер. [7]


Примітки

  1. Н. Бор Захоплення нейтрона і будова ядра - ufn.ru/ru/articles/1936/4/a / / / УФН. - 1936. - В. 4. - Т. 14. - № 4. - С. 425-435.
  2. 1 2 Бартоломей Г.Г., Байбаков В.Д., Алхутов М.С., Бать Г.А. Основи теорії і методи розрахунку ядерних енергетичних реакторів. - Москва: Вища школа, 1982. - С. 512.
  3. Мухін К.М. Цікава ядерна фізика. - Москва: Вища школа, 1985. - С. 312.
  4. IRCameron, University Of New Brunswick Nuclear Fission reactors. - Canada, New Brunswick: Plenum Press, 1982.
  5. І.Камерон Ядерні реактори. - Москва: Вища школа, 1987. - С. 320.
  6. 1 2 дані 1982
  7. 1 2 Крапельна модель - nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm / / Б.С. Ішхані, І.М. Капітонов, В.Н. Орлине, "Моделі атомних ядер" - nuclphys.sinp.msu.ru / nucmod / index.html - Ядерна фізика в Інтернеті - nuclphys.sinp.msu.ru/nucmod/nucmod3.htm.
  8. Мухін К.М. Експериментальна ядерна фізика ядерна фізика. - Москва: Вища школа, 1993. - С. 125. - ISBN 5-283-04080-1

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Штовхання ядра
Ратха-ядра
Активні ядра галактик
Активні ядра галактик
Модель 4C
Модель
Абстрактна модель
Еталонна модель
Бізнес-модель
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru