Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Крива



План:


Введення

Крива або лінія - геометричне поняття, яке визначається в різних розділах геометрії різному.


1. Елементарна геометрія

У рамках елементарної геометрії поняття кривої не отримує виразною формулювання і іноді визначається як "довжина без ширини" або як "межа фігури". По суті в елементарній геометрії вивчення кривих зводиться до розгляду прикладів ( пряма, відрізок, ламана, окружність та ін.) Не маючи загальними методами, елементарна геометрія досить глибоко проникла у вивчення властивостей конкретних кривих ( конічні перетину, деякі алгебраїчні криві вищих порядків і також трансцендентні криві), застосовуючи в кожному випадку спеціальні прийоми.


2. Параметричні визначення

Найчастіше крива визначається як безперервне відображення з відрізка в простір :

\ Gamma: [a, b] \ to X

При цьому, криві можуть бути різними, навіть якщо їх образи збігаються. Такі криві називають параметризованих кривими або, якщо [A, b] = [0,1] , Шляхами.

Іноді крива визначається з точністю до репараметрізаціі, тобто з точністю до мінімального відносини еквівалентності такого що параметричні криві

\ Gamma_1: [a_1, b_1] \ to X і \ Gamma_2: [a_2, b_2] \ to X

еквівалентні, якщо існує безперервна монотонна функція (іноді неубутною) h з відрізка [A 1, b 1] на відрізок [A 2, b 2] , Така що

\ Gamma_1 \ equiv \ gamma_2 \ circ h.

Зумовлені цим ставленням класи еквівалентності називаються непараметрізованнимі кривими або просто кривими.


3. Крива Жордана

Кривий Жордана називається образ безперервного ін'ектівного відображення окружності або відрізка в простір. У разі окружності крива називається замкнутою кривою Жордана, а в разі відрізка - Жорданових дугою або простий дугою.

Слід зазначити що крива Жордана є досить складним об'єктом, наприклад можливо побудувати плоску криву Жордана з ненульовою мірою Лебега.


3.1. Коментар

Існує велика спокуса визначити криву як образ безперервного відображення відрізка в простір.

Проте можливо побудувати таке безперервне відображення відрізка в площину, що його образ заповнює квадрат, наприклад, крива Пеано. Більш того, згідно теоремі Мазуркевича, компактне зв'язне і локально зв'язний топологічний простір є безперервним чином відрізка. Таким чином, не тільки квадрат, а й куб будь-якого числа вимірів і навіть Гільбертом цегла є безперервними образами відрізка.

Вищевикладене показує, що крива не може бути визначена як безперервний образ відрізання, якщо на відображення не накласти додаткових обмежень.


4. Аналітичні криві

Аналітична крива на площині визначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівнянню F (x, y) = 0 , Де F є аналітичною функцією. При цьому на функцію F накладаються обмеження, які гарантують, що

  • це рівняння має нескінченну безліч незбіжних рішень і
  • це безліч рішень не заповнює "шматка площині".

Аналогічно определются аналітичні криві в старших розмірностях.


4.1. Алгебраїчні та трансцендентні криві

Важливий клас аналітичних кривих складають ті, для яких функція F (x, y) є многочлен від двох змінних. У цьому випадку крива, яка визначається рівнянням F (x, y) = 0 , Називається алгебраїчної, в іншому випадку - трансцендентною.

Алгебраїчні криві, які визначаються рівняннями вищих ступенів, розглядаються в алгебраїчної геометрії. При цьому велику стрункість набуває їх теорія, якщо розгляд ведеться на комплексній проективної площині. У цьому випадку алгебраїчна крива визначається рівнянням виду

F (z 1, z 2, z 3) = 0 ,

де F - однорідний многочлен трьох змінних, що є проективними координатами точок.

Більш точно трансцендентні криві - криві, які можна задати через лінію рівня аналітичної функції (або, в багатовимірному випадку, системи функцій).

Приклади


5. Типи кривих


5.1. Типи точок на кривій

6. Узагальнені криві

Більш загальне визначення кривої для випадку площини було дано Кантором в 1870-e роки:

Канторової кривої називається компактне зв'язне підмножина площині таке, що його доповнення всюди щільно.

Важливий приклад Канторової кривої доставляє килим Серпінського. Яка б не була Канторової крива L , Вона може бути вкладена в килим Серпінського, тобто в килимі Серпінського міститься підмножина L ' , гомеоморфні L . Таким чином килим Серпінського є універсальною плоскою Канторової кривої.

Згодом це визначення було узагальнено Урисона :

Кривий Урисона називається зв'язний компактне топологічний простір C топологічної розмірності 1.

Килим Серпінського задовольняє цьому визначенню, так що будь-яка Канторової крива є також і кривою Урисона. Назад, якщо плоский зв'язний компакт є кривою Урисона, то він буде Канторової кривої.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Крива Коха
Крива погоні
Асимптотична крива
Крива Леві
Крива Минковского
Крива Пеано
Інтегральна крива
Крива Персея
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru