Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кривизна



План:


Введення

В диференціальної геометрії, кривизна - збірна назва ряду кількісних характеристик ( скалярних, векторних, тензорних), що описують відхилення того чи іншого геометричного "об'єкта" ( кривої, поверхні, ріманова простору і т. д.) від відповідних "плоских" об'єктів ( пряма, площину, евклидово простір і т. д.).

Зазвичай кривизна визначається для кожної точки на "об'єкті" і виражається як значення деякого диференціального виразу 2-го порядку. Іноді кривизна визначається в інтегральному сенсі, наприклад, як міра, такі визначення використовують для "об'єктів" зниженою гладкості. Як правило, тотожне перетворення на нуль кривизни у всіх точках тягне локальне збіг досліджуваного "об'єкта" з "плоским" об'єктом.

У цій статті наводяться лише кілька найпростіших прикладів визначень поняття кривизни.


1. Кривизна кривої

Нехай γ (t) - Регулярна крива в d -Мірному евклідовому просторі, параметрезованих довжиною. Тоді

\ Kappa = | \ ddot \ gamma (t) |

називається кривизною кривої γ в точці p = γ (t) , Тут \ Ddot \ gamma (t) позначає другу похідну по t . Вектор

k = \ ddot \ gamma (t)

називається вектором кривизни γ в точці p = γ (t) .

Очевидно, це визначення можна переписати через вектор дотичної \ Tau (t) = \ dot \ gamma (t) :

k = \ dot \ tau (t),

де одна точка над буквою означає першу похідну по t.

float

Для кривої, заданої параметрично в загальному випадку (параметр не обов'язково є довжиною), кривизна відображається формулою

\ Kappa = \ frac {| \ dot \ gamma \ times \ ddot \ gamma |} {| \ dot \ gamma | ^ 3} ,

де \ Dot \ gamma і \ Ddot \ gamma відповідно позначають першу і другу похідну радіус-вектора γ в необхідній точці (при цьому під хрестом \ Times для кривої в тривимірному просторі можна розуміти векторне твір, для кривої в двовимірному просторі - Псевдоскалярний твір, а для кривої в просторі довільної розмірності - зовнішнє твір).

Для того щоб крива γ збігалася з деяким відрізком прямої або зі всієї прямої, необхідно і достатньо, щоб кривизна (або вектор кривизни) тотожно дорівнювала нулю.

Величина, зворотна кривизні кривої ( r = 1 / κ ), Називається радіусом кривизни; він збігається з радіусом дотичної кола в даній точці кривої. Центр цієї окружності називається центром кривизни.


2. Кривизна поверхні

Нехай Φ є регулярна поверхню в тривимірному евклідовому просторі. Нехай p - Точка Φ , T p - Дотична площина до Φ в точці p , n - Одинична нормаль до Φ в точці p , А - π e площина, що проходить через n і деякий одиничний вектор e в T p . Крива γ e , Що виходить як перетин площині π e з поверхнею Φ , Називається нормальним перетином поверхні Φ в точці p в напрямку e . Величина

\ Kappa_e = k \ cdot n

де \ Cdot позначає скалярний твір, а k - Вектор кривизни γ e в точці p , Називається нормальною кривизною поверхні Φ в напрямку e . З точністю до знака нормальна кривизна дорівнює кривизні кривої γ e .

У дотичної площини T p існують два перпендикулярних напрямку e 1 і e 2 такі, що нормальну кривизну в довільному напрямку можна представити за допомогою так званої формули Ейлера:

κ e = κ 1 cos 2 α + κ 2 sin 2 α

де α - Кут між e 1 і e , A величини κ 1 і κ 2 нормальні кривизни у напрямках e 1 і e 2 , Вони називаються головними кривизнами, а напрямки e 1 і e 2 - Головними напрямками поверхні в точці p . Головні кривизни є екстремальними значеннями нормальних кривизн. Структуру нормальних кривизн в даній точці поверхні зручно графічно зображати за допомогою індикатриси Дюпена.

Величина

H = κ 1 + κ 2 , (Іноді \ Frac {\ kappa_1 + \ kappa_2} 2 )

називається середньої кривизною поверхні. Величина

K = κ 1 κ 2

називається гауссовой кривизною поверхні.

Гауссова кривизна є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь, зокрема не змінюється при ізометричних згинаннях.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кривизна Гаусса
Повна кривизна
Аффинная кривизна
Скалярна кривизна
Кривизна простору-часу
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru