Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кривизна Гаусса



План:


Введення

Зліва направо: поверхня з негативною гауссовой кривизною ( гіперболоїд), поверхня з нульовою гауссовой кривизною ( циліндр), і поверхня з позитивною гауссовой кривизною ( сфера).

Позначимо нормальні кривизни у головних напрямках ( головні кривизни) κ 1 і κ 2 . Величина:

K = κ 1 κ 2

називається гауссовой кривизною, повною кривизною або просто кривизною поверхні. Зустрічається також термін скаляр кривизни, який має на увазі результат згортки тензора кривизни; при цьому скаляр кривизни вдвічі більше, ніж гауссова кривизна.

Гауссова кривизна - міра викривлення поверхні в околиці будь-якої її точки.

Гауссова кривизна може бути обчислена через метрику, і тому вона є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (відзначимо, що головні кривизни до внутрішньої геометрії не відносяться). За знаком кривизни можна класифікувати точки поверхні (див. малюнок). Кривизна площині дорівнює нулю. Кривизна сфери радіуса R усюди дорівнює \ Frac {1} {R ^ 2} . Існує і поверхня постійної негативної кривизни - псевдосфера.


1. Визначення кривизни Гаусса для гіперповерхні

Як відомо, кривизна n-мірної гіперповерхні в точці повністю описується головними кривизнами:

(1) \ qquad k ^ {(1)}, k ^ {(2)}, \ dots k ^ {(n)}

та відповідними головними напрямами.

Розглянемо (з точністю до знака) симметрический многочлен, складений з чисел (1) \ qquad k ^ {(1)}, k ^ {(2)}, \ dots k ^ {(n)} :

(2) \ qquad K ^ {[1]} = - (k ^ {(1)} + k ^ {(2)} + \ dots + k ^ {(n)}) = - \ sum_ {i} k ^ {(i)}
\ Qquad K ^ {[2]} = k ^ {(1)} k ^ {(2)} + k ^ {(1)} k ^ {(3)} + \ dots + k ^ {(n-1 )} k ^ {(n)} = \ sum_ {i <j} k ^ {(i)} k ^ {(j)}
\ Qquad \ cdots \ cdots \ cdots
\ Qquad K ^ {[n]} = (-1) ^ nk ^ {(1)} k ^ {(2)} \ cdots k ^ {(n)}

Назвемо вищенаведені величини кривизнами Гаусса відповідного ступеня. Загальна формула кривизни Гаусса ступеня m запишеться так:

(3) \ qquad K ^ {[m]} = \ sum_ {i_1 <i_2 <\ dots <i_m} k ^ {(i_1)} k ^ {(i_2)} \ cdots k ^ {(i_m)}

Кривизни Гаусса є коефіцієнтами характеристичного многочлена для матриці тензора повної кривизни гіперповерхні:

(4) \ qquad \ det (\ lambda \ delta ^ i_j - b ^ i_j) = \ lambda ^ n + K ^ {[1]} \ lambda ^ {n-1} + \ dots + K ^ {[n- 1]} \ lambda + K ^ {[n]}

2. Тензорна формула для кривизни Гаусса

Формула (3) визначає кривизну Гаусса через власні числа тензора повної кривизни гіперповерхні b i j . Спробуємо висловити ці величини через компоненти самого тензора b i j в будь-якій системі координат. Для обчислення визначника довільного тензора другого рангу ми маємо таку формулу з використанням тензора метричної матрьошки (див. Абсолютно антисиметричною одиничний тензор):

(5) \ qquad \ det (a ^ i_j) = {1 \ over n!} g ^ {i_1 i_2 \ dots i_n} _ {j_1 j_2 \ dots j_n} a ^ {j_1} _ {i_1} a ^ {j_2 } _ {i_2} \ cdots a ^ {j_n} _ {i_n}

Підставимо в цю формулу a ^ i_j = \ lambda \ delta ^ i_j - b ^ i_j , Щоб обчислити ліве вираз формули (4), тоді маємо:

(6) \ qquad n! \ Det (\ lambda \ delta ^ i_j - b ^ i_j) = g ^ {i_1 i_2 \ dots i_n} _ {j_1 j_2 \ dots j_n} (\ lambda \ delta ^ {j_1} _ {i_1} - b ^ {j_1 } _ {i_1}) \ cdots (\ lambda \ delta ^ {j_n} _ {i_n} - b ^ {j_n} _ {i_n})

Розкриємо дужки у формулі (6). Оскільки тензор метричної матрьошки g ^ {i_1 i_2 \ dots i_n} _ {j_1 j_2 \ dots j_n} не змінюється при синхронній перестановці верхніх і нижніх індексів, то всі складові при однаковому ступені λ m будуть однаковими (їхня кількість дорівнює біноміальним коефіцієнту C ^ m_n ), І ми отримуємо:

(7) \ qquad n! \ Det (\ lambda \ delta ^ i_j - b ^ i_j) = \ lambda ^ ng ^ {s_1 s_2 \ dots s_n} _ {s_1 s_2 \ dots s_n} - C ^ 1_n \ lambda ^ {n-1} g ^ { i s_2 \ dots s_n} _ {j s_2 \ dots s_n} b ^ j_i + C ^ 2_n \ lambda ^ {n-2} g ^ {i_1 i_2 \ dots s_n} _ {j_1 j_2 \ dots s_n} b ^ {j_1 } _ {i_1} b ^ {j_2} _ {i_2} - \ dots

Оскільки послідовні згортки тензора метричної матрьошки рівні:

(8) \ qquad g ^ {i_1 i_2 \ dots i_m s_ {m +1} s_ {m +2} \ dots s_n} _ {j_1 j_2 \ dots j_m s_ {m +1} s_ {m_2} \ dots s_n} = (nm)! \, G ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_m}

То з формули (7) і формули для біноміальних коефіцієнтів C ^ m_n = {n! \ Over m! (N-m)!} знаходимо таку формулу для характеристичного многочлена (поділивши обидві сторони рівняння (7) на n! ):

(9) \ qquad \ det (\ lambda \ delta ^ i_j - b ^ i_j) = \ lambda ^ n - {\ lambda ^ {n-1} \ over 1!} G ^ i_j b ^ j_i + {\ lambda ^ {n-2} \ over 2!} g ^ {i_1 i_2} _ {j_1 j_2} b ^ {j_1} _ {i_1} b ^ {j_2} _ {i_2} - \ dots

Порівнюючи формули (9) і (4), знаходимо таку формулу для кривизни Гауса:

(10) \ qquad K ^ {[m]} = {(-1) ^ m \ over m!} g ^ {i_1 i_2 \ dots i_m} _ {j_1 j_2 \ dots j_m} b ^ {j_1} _ {i_1 } b ^ {j_2} _ {i_2} \ dots b ^ {j_m} _ {i_m}

3. Вираз через тензор Рімана

Для скалярной кривизни гіперповерхні ми маємо таку формулу

(11) \ qquad R = g ^ {ik} g ^ {jl} R_ {ijkl} = 2 \ sum_ {i <j} k ^ {(i)} k ^ {(j)} = 2 K ^ {[ 2]}

Щоб узагальнити цю формулу для більш високих ступенів, спробуємо замінити добуток двох метричних тензорів в формулі (11) на тензор метричної матрьошки четвертого рангу:

(12) \ qquad g ^ {ijkl} R_ {ijkl} = \ begin {vmatrix} g ^ {ik} & g ^ {il} \ \ g ^ {jk} & g ^ {jl} \ end {vmatrix} R_ {ijkl} = (g ^ {ik} g ^ {jl} - g ^ {il} g ^ {jk}) R_ {ijkl} = 2 R = 4 K ^ {[2]}

Для подальших обчислень ми перейдемо в локальну декартову систему координат в одній з точок різноманіття P, і орієнтуємо її вздовж головних напрямків гіперповерхні. У точці P матриця метричного тензора буде одиничною:

(13) \ qquad g_ {ij} = \ delta_ {ij} = \ begin {cases} 1, & i = j \ \ 0, & i \ ne j \ end {cases}

а тому ми можемо чисельно не розрізняти коваріантний і відповідні контраваріантние компоненти тензорів (верхні і нижні індекси). Тензор Рімана в точці P буде в деякому сенсі діагональним, а саме, його ненульові компоненти будуть рівні:

(14) \ qquad R_ {ijij} =-R_ {ijji} = k ^ {(i)} k ^ {(j)} \ qquad (i \ ne j)

і дорівнюють нулю всі ті компоненти R i j k l , Де друга пара індексів (K l) не збігається з (I j) з точністю до перестановки в парі.

Ліва частина формули (12) є лінійною формою від тензора Рімана, а коефіцієнтами цієї форми служать компоненти тензора метричної матрьошки. Очевидним узагальненням є розгляд білінійної форми і форм вищих ступенів від компонента тензора Рімана. Проведемо обчислення формули (12) ще раз і таким чином, щоб ці обчислення можна було легко узагальнити. Маємо, враховуючи діагональної тензора Рімана:

(15) \ qquad g ^ {ij} _ {kl} R ^ {kl} _ {ij} = \ sum_ {i, j} \ left (\ sum_ {k, l} g ^ {ij} _ {kl} R ^ {kl} _ {ij} \ right) = \ sum_ {i, j} \ left (g ^ {ij} _ {ij} R ^ {ij} _ {ij} + g ^ {ij} _ {ji } R ^ {ji} _ {ij} \ right)

Далі, два доданків у правій частині формули (15) однакові внаслідок антисиметрії за індексами всередині пари як тензора метричної матрьошки, так тензора Рімана. Крім того, діагональна компонента метричної матрьошки дорівнює одиниці, оскільки (в такій формулі додавання за однаковим індексам не проводиться, а індекси i, j різні):

(16) \ qquad g ^ {ij} _ {ij} = \ begin {vmatrix} \ delta ^ i_i & \ delta ^ i_j \ \ \ delta ^ j_i & \ delta ^ j_j \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix } 1 & 0 \ \ 0 & 1 \ end {vmatrix} = 1

Враховуючи вищесказане і формулу (14), перетворюємо формулу (15) далі:

(17) \ qquad g ^ {ij} _ {kl} R ^ {kl} _ {ij} = 2 \ sum_ {i \ ne j} 1 \ cdot k ^ {(i)} k ^ {(j)} = 2 \ cdot 2! \ Sum_ {i <j} k ^ {(i)} k ^ {(j)} = 2 \ cdot 2! K ^ {[2]}

Тепер перейдемо до обчислення наступної квадратичної форми:

(18) \ qquad \ Phi_2 (R) = g ^ {i_1 j_1 i_2 j_2} _ {k_1 l_1 k_2 l_2} R ^ {k_1 l_1} _ {i_1 j_1} R ^ {k_2 l_2} _ {i_2 j_2}

Коефіцієнтами цієї форми служать компоненти тензора метричної матрьошки восьмого рангу. Цей тензор має дві групи індексів, і є антисиметричною по перестановці індексів всередині цих груп. Обчислюємо аналогічно формулі (15).

(19) \ qquad \ Phi_2 (R) = \ sum_ {i_1, j_1, i_2, j_2} \ left (\ sum_ {k_1, l_1, k_2, l_2} g ^ {i_1 j_1 i_2 j_2} _ {k_1 l_1 k_2 l_2 } R ^ {k_1 l_1} _ {i_1 j_1} R ^ {k_2 l_2} _ {i_2 j_2} \ right) = 2 ^ 2 \ sum_ {i_1, j_1, i_2, j_2} g ^ {i_1 j_1 i_2 j_2} _ {i_1 j_1 i_2 j_2} R ^ {i_1 j_1} _ {i_1 j_1} R ^ {i_2 j_2} _ {i_2 j_2}

Позначимо індекси i 1, j 1, i 2, j 2 як i, j, k, l для спрощення запису:

(19a) \ qquad \ Phi_2 (R) = 2 ^ 2 \ sum_ {i, j, k, l} g ^ {ijkl} _ {ijkl} R ^ {ij} _ {ij} R ^ {kl} _ { kl} = 2 ^ 2 4! \ Sum_ {i, j, k, l \ over all \; different} g ^ {ijkl} _ {ijkl} k ^ {(i)} k ^ {(j)} k ^ {(k)} k ^ { (l)}

Всі чотири індекси i, j, k, l повинні бути попарно різними, оскільки компоненти тензора метричної матрьошки дорівнюють нулю при наявності двох однакових індексів в одній групі. У правій сумі формули (19a) стоять діагональні компоненти тензора метричної матрьошки, які дорівнюють одиниці (аналогічно формулі 16).

(19b) \ qquad \ Phi_2 (R) = 2 ^ 2 \ sum_ {i, j, k, l \ over all \; different} k ^ {(i)} k ^ {(j)} k ^ {(k )} k ^ {(l)} = 2 ^ 2 \ cdot 4! \ Sum_ {i <j <k <l} k ^ {(i)} k ^ {(j)} k ^ {(k)} k ^ {(l)} = 2 ^ 2 \ cdot 4! K ^ {[4]}

Множник 4! при переході до другої сумі у формулі (19a) виник внаслідок того, що для одного доданка в правій сумі, що характеризується фіксованим набором чотирьох різних чисел i , Відповідає 4! = 24 однакових за величиною доданка в лівій сумі, що характеризуються перестановками цих чотирьох чисел.

Формули (19), (19a), (19b) легко узагальнюються на форми вищих ступенів. Таким чином отримуємо загальну формулу для знаходження кривизни Гаусса парної ступеня 2 m :

(20) \ qquad K ^ {[2 m]} = {1 \ over 2 ^ m (2 m)!} G ^ {i_1 j_1 \ dots i_m j_m} _ {k_1 l_1 \ dots k_m l_m} R ^ {k_1 l_1} _ {i_1 j_1} \ cdots R ^ {k_m l_m} _ {i_m j_m}

4. Альтернативний висновок формули кривизни Гаусса для парної ступеня

Скористаємося наступним вираженням тензора Рімана через тензор повної кривизни

(21) \ qquad R ^ {kl} _ {ij} = b ^ k_i b ^ l_j - b ^ k_j b ^ l_i

і почнемо в формулі (10) групувати співмножники по два, наприклад починаючи з перших двох (тут ми вважаємо, що ступінь 2 m кривизни Гаусса не менше двох ( m \ ge 1 ), І для спрощення запису опустимо позначення m ):

(22) \ qquad (2 m)! K = g ^ {ij \ dots} _ {kl \ dots} b ^ k_i b ^ l_j \ cdots = - g ^ {ji \ dots} _ {kl \ dots} b ^ k_i b ^ l_j \ cdots

Останнє перетворення справедливо внаслідок антисиметрії тензора метричної матрьошки щодо індексів в верхній групі. Далі, в останньому виразі поміняємо місцями індекси i, j :

(23) \ qquad (2 m)! K = - g ^ {ij \ dots} _ {kl \ dots} b ^ k_j b ^ l_i \ cdots

Тепер додамо рівняння (22) і (23), при цьому врахувавши (21). Отримуємо, знову змінивши позначення індексів:

(24) \ qquad 2 (2 m)! K ^ {[2 m]} = g ^ {i_1 j_1 i_2 j_2 \ dots i_m j_m} _ {k_1 l_1 k_2 l_2 \ dots k_m l_m} R ^ {k_1 l_1} _ {i_1 j_1} b ^ {k_2} _ { i_2} \ cdots b ^ {k_m} _ {i_m} b ^ {l_m} _ {j_m}

Множник 2 в лівій частині рівняння (24) з'явився в результаті угруповання двох множників b ^ {k_1} _ {i_1} b ^ {l_1} _ {j_1} . Очевидно, ми можемо аналогічним чином згрупувати попарно і інші співмножники, тоді в лівій частині ми отримаємо множник 2 m , А в правій - вираз, в якому бере участь тільки тензор Рімана і тензор метричної матрьошки, тобто ми отримаємо формулу (20).


5. Кривизна Гаусса непарної ступеня

Кривизна Гаусса непарної ступеня також пов'язана з тензором Рімана, але складнішими формулами, ніж (20). До того ж з цих формул кривизна Гаусса виражається неоднозначно.

6. Значення кривизни Гаусса

На початку було дано визначення кривизни Гаусса тільки для гіперповерхні (формули 2, 3). Але формула (20), як і формули для знаходження кривизни Гаусса непарної ступеня, дозволяють поширити це поняття на довільні (абстрактні) різноманіття. Таким чином ми можемо розглядати кривизни Гаусса як скалярні інваріанти тензора Рімана.

Внутрішня кривизна різноманіття повністю описується тензором Рімана.

Кривизну Гаусса як скаляр можна інтегрувати за обсягом всього різноманіття (дивіться статтю Інтеграли Гаусса). Інтеграл від K [n] є топологічним інваріантом n-мірного різноманіття (не змінюється при безперервної деформації многовидах).


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кривизна
Скалярна кривизна
Повна кривизна
Аффинная кривизна
Кривизна простору-часу
Премія Гаусса
Ряд Гаусса
Гармата Гаусса
Пряма Гаусса
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru