Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кристалографічна група



План:


Введення

Кристалографічна група - дискретна група рухів n - мірного евклідова простору, що має обмежену фундаментальну область.


1. Теорема Бібербаха

Дві кристалографічні групи вважаються еквівалентними, якщо вони пов'язані в групі афінних перетворень евклідова простору.

Теореми Бібербаха

  1. Всяка n -Мірна кристалографічна група Γ містить n лінійно незалежних паралельних переносів; група G лінійних частин перетворень (тобто образ Γ в G L n ) Кінцева.
  2. Дві кристалографічні групи еквівалентні тоді і тільки тоді, коли вони ізоморфні як абстрактні групи.
  3. При будь-якому n є лише кінцеве число n -Мірних кристалографічних груп, що розглядаються з точністю до еквівалентності (що є рішенням 18-ї проблеми Гільберта).

Теорема дозволяє дати наступний опис будови кристалографічних груп як абстрактних груп: Нехай L - Сукупність всіх паралельних переносів, що належать кристалографічної групі Γ . Тоді L - нормальна підгрупа кінцевого індексу, ізоморфна \ Z ^ n і збігається зі своїм централізаторів в Γ . Наявність такої нормальної підгрупи в абстрактній групі Γ є і достатньою умовою того, щоб група Γ була ізоморфна кристалографічної групи.

Група G лінійних частин кристалографічної групи Γ зберігає грати L ; Іншими словами, в базисі решітки L перетворення з G записуються цілочисельними матрицями.


1.1. Кількість груп

Число кристалографічних груп n -Мірного простору із збереженням орієнтації або без дається послідовностями A004029 і A006227. З точністю до еквівалентності є

  • 17 плоских кристалографічних груп
  • 219 просторових кристалографічних груп;
    • якщо ж розглядати просторові групи з точністю до спряженості за допомогою афінних перетворень, що зберігають орієнтацію, то їх буде 230.
  • У розмірності 4 існує 4894 кристалографічних груп зі збереженням орієнтації, або 4783 без збереження орієнтації [1] [2].

2. Можливі симетрії

2.1. Точкові елементи

Елементи симетрії кінцевих фігур, які залишають нерухомою хоча б одну точку.

Поворотні осі симетрії, дзеркальна площина симетрії, центр інверсії (центр симетрії) і невласні обертання - інверсійні осі і дзеркально-поворотні осі. Невласні обертання визначаються як послідовне виконання повороту і інверсії (або відображення в перепендикулярно площині). Будь-яку дзеркально-поворотну вісь можна замінити інверсійної віссю і навпаки. При описі просторових груп перевагу звичайно віддається інверсійним осях (у той час як у символіці Шенфліса використовуються дзеркально-поворотні осі). У 2-мірних і 3-мірних кристалографічних групах можуть бути присутніми тільки повороти навколо осей симетрії на кути 180 (вісь симетрії 2-го порядку), 120 (3-го порядку), 90 (4-го порядку) і 60 (6-го порядку). Осі симетрії в символіці Браве позначаються буквою L з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком осі ( L n ), У міжнародній символіці (символіці Германа - Могена), арабськими цифрами, що вказують на порядок осі (наприклад, L 2 = 2, L 3 = 3 та L 4 = 4). Інверсійні осі в символіці Браве позначаються буквою Ł з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком поворотної осі n), у міжнародній символіці - цифровим індесом з рискою зверху n (Наприклад, Ł 3 = 3 , Ł 4 = 4 , Ł 6 = 6 ). Детальніше про невласних обертання та їх позначеннях написано тут. Осі симетрії L 3, L 4, L 6 називаються осями симетрії вищого порядку. [3] Дзеркальна площину симетрії позначається P по Браве і m в міжнародній символіці. Центр інверсії позначається C по Браве і 1 в міжнародній символіці.

Всі можливі комбінації точкових елементів симетрії приводять до 10 точеним групам симетрії в 2-вимірному просторі і 32 точковим групам в 3-вимірному просторі.

В 4-мірному просторі з'являється новий тип елементів симетрії - подвійні обертання в двох абсолютно перпендикулярних площинах. За рахунок цього збільшується кількість елементів симетрії, сумісних з трансляційної симетрією. Для просторів розмірності 4 і 5 в кристалі можливі точкові елементи симетрії з порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 і 12. Більше того, оскільки обертання в кожній з абсолютно перпендикулярних площин можуть проводитися в різні боки, з'являються енантіоморфних пари точкових елементів симетрії (наприклад, подвійне обертання четвертого порядку, де комбінуються повороти на 90 в першій площині і на 90 в другій площині енантіоморфних подвійному обертанню четвертого порядку, де комбінуються повороти на 90 в першій площині і на -90 у другій). Всі можливі комбінації точкових елементів симетрії в 4-мірному просторі призводять до 227 4-мірним точковим групам, з яких 44 є енантіоморфних (тобто всього виходить 271 точкова група симетрії).

У 6-мірному і 7-мірному просторах в кристалі можливі точкові елементи симетрії з порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 і 30 . [4]


2.2. Трансляції

У кристалографічних групах завжди присутні трансляції - паралельні переноси, при зсуві на які кристалічна структура сполучиться сама з собою. Трансляційна симетрія кристала характеризується гратами Браве. У 3-вимірному випадку всього можливо 14 типів граток Браве. У розмірностях 4, 5 і 6 число типів решіток Браве одно 64, 189 і 841, відповідно [5]. З точки зору теорії груп, група трансляцій є нормальної абелевих підгрупою просторової групи, а просторова група є розширенням своєї подруппи трансляцій. Факторгруппамі просторової групи по підгрупі трансляцій є одна з точкових груп.


2.3. Складні операції симетрії

Повороти навколо осей з одночасним перенесенням на деякий вектор в напрямку цієї осі (гвинтова вісь) і відображення відносно площини з одночасним зсувом на певний вектор, паралельний цій площині (площина ковзного відображення). У міжнародній символіці гвинтові осі позначаються цифрою відповідної поворотної осі з індексом, що характеризує величину перенесення вздовж осі при одночасному повороті. Можливі гвинтові осі в 3-вимірному випадку: 2 1 (поворот на 180 і зсув на 1 / 2 трансляції), 3 1 (поворот на 120 і зсув на 1 / 3 трансляції), 3 2 (поворот на 120 і зсув на 2 / 3 трансляції), 4 1 (поворот на 90 і зсув на 1 / 4 трансляції), 4 2 (поворот на 90 і зсув на 1 / 2 трансляції), 4 3 (поворот на 90 і зсув на 3 / 4 трансляції), 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 (поворот на 60 і зсув на 1 / 6, 2 / 6, 3 / 6, 4 / 6, і 5 / 6 трансляції, відповідно ). Осі 3 2, 4 3, 6 4, and 5 червня енантіоморфних осях 3 1, 4 1, 2 червень, і 6 1, відповідно. Саме за рахунок цих осей існує 11 енантіоморфних пар просторових груп - в кожній парі одна група є дзеркальним відображенням іншої.

Площини ковзного відбиття позначаються в залежності від напрямку ковзання по відношенню до осей кристалічної комірки. Якщо ковзання відбувається вздовж однієї з осей, то площину позначається відповідною латинською літерою a, b або c. В цьому випадку величина ковзання завжди дорівнює половині трансляції. Якщо ковзання направлено по діагоналі грані або просторової діагоналі осередки, то площину позначається буквою n в разі ковзання дорівнює половині діагоналі, або d в разі ковзання рівного четветрі діагоналі (таке можливо тільки якщо діагональ центрована). Площині n і d також називаються кліноплоскостямі. D площині іноді називають алмазними площинами, оскільки вони присутні в структурі алмазу (англ. diamond - алмаз).

У п'яти просторових групах присутні площині, де ковзання відбувається як уздовж однієї осі, так і вздовж другої осі клітинки (тобто площина є одночасно a і b або a і c або b і c). Це відбувається за рахунок центрировки грані, паралельній площині ковзання. У 1992 році для таких площин було введено символ e. [6] Микола Васильович Бєлов пропонував також ввести позначення r для площин з ковзанням уздовж просторової діагоналі в ромбоедрична осередку. Однак r площині завжди збігаються із звичайними дзеркальними площинами, і термін не прижився.


3. Позначення

3.1. Нумерація

Кристалографічні (просторові) групи з усіма притаманними їм елеменатамі симетрії зведені в міжнародному довіднику "Міжнародні кристалографічні таблиці" ( англ. International Tables for Crystallography ), Що випускаються Міжнародним союзом кристалографії. Прийнято використання нумерації, наведеній в даному довіднику. Групи нумеруються з 1 по 230 в порядку збільшення симетрії.

3.2. Символіка Германа - Могена

Символ просторової групи містить символ решітки Браве (велику літеру P, A, B, C, I, R або F) і міжнародний символ точкової групи. Символ решітки Браве позначає наявність додаткових вузлів трансляції всередині елементарної комірки: P (primitive) - примітивна комірка; A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) - додатковий вузол в центрі межі A, B або C відповідно ; I (I-centered) - об'емноцентрірованная (додатковий вузол в центрі клітинки), R (R-centered) - двічі об'емноцентрірованная (два додаткових вузла на великій діагоналі елементарної комірки), F (F-centered) - гранецентрована (додаткові вузли в центрах всіх граней).

Міжнародний символ точкової групи в загальному випадку формується з трьох символів, що позначають елементи симетрії, що відповідають трьом основним напрямам в кристалічній комірці. Під елементом симетрії, що відповідає напрямку, розуміється або вісь симетрії, що проходить в цьому напрямі, або перпендикулярна йому площину симетрії, або і те, і інше (в цьому випадку вони записуються через дріб, наприклад, 2 / c - вісь симетрії 2-го порядку і перпендикулярна їй площина ковзного відображення зі зрушенням у напрямку c). Під основними напрямками розуміють:

  • напрями базисних векторів осередки у разі триклинной, моноклінної та ромбічної сингонії;
  • напрям осі 4-го порядку, напрям одного з базисних векторів в основі елементарної комірки і напрямок по діагоналі підстави осередки у разі тетрагональної сингонії;
  • напрям осі 3-го порядку або 6-го порядку, напрям одного з базисних векторів в основі елементарної комірки і напрям вектора по діагоналі елементарної осередки під кутом 60 до попереднього у разі гексагональної сингонії (сюди ж включається трігональная сингонія, яка в цьому випадку наводиться до гексагональної орієнтації елементарної комірки);
  • напрям одного з базисних векторів, напрямок по просторової діагоналі елементарної комірки і напрямок по бісектрисі кута між базисними векторами.

Символи Германа-Могена зазвичай скорочують, видаляючи позначення відсутніх елементів симетрії за окремими напрямами, коли це не створює неоднозначності, наприклад, записують P4 замість P411. Також за відсутності неоднозначності опускають позначення осей другого порядку, яким перпендикулярні площини симетрії, наприклад, замінюють C \ Tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} на C m m m .


3.3. Символ Шенфліса

Символ Шенфліса задає клас симетрії (основний символ і нижній індекс) і умовний номер групи в межах цього класу (верхній індекс).

  • З n - циклічні групи - групи з єдиним особливим напрямом, представленим поворотною віссю симетрії, - позначаються літерою С, з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком цієї осі.
  • З ni - групи з єдиною інверсійної віссю симетрії супроводжуються нижнім індексом i.
  • C nv (від нім. Vertical - вертикальний) - також має площину симетрії, розташовану вздовж єдиною чи головною осі симетрії, яка завжди мислиться вертикальної.
  • C nh (від нім. Horizontal - горизонтальний) - також має площину симетрії, перпендикулярну до головної осі симетрії.
  • S 2, S 4, S 6 (від нім. Spiegel - дзеркало) - групи з єдиною дзеркальної віссю симетрії.
  • C s - для площині невизначеною орієнтації, тобто не фіксованою через відсутність у групі інших елементів симетрії.
  • D n - є групою С n з додатковими n осями симетрії другого порядку, перпендикулярними вихідної осі.
  • D nh - також має має горизонтальну площину симетрії.
  • D nd (від нім. Diagonal - діагональний) - також має має вертикальні діагональні площині симетрії, які йдуть між осями симетрії другого порядку.
  • O, T - групи симетрії з декількома осями вищого порядку - групи кубічної сингонії. Позначаються буквою О в разі, якщо вони містять повний набір осей симетрії октаедра, або буквою Т, якщо вони містять повний набір осей симетрії тетраедра.
  • O h і T h - також містять горизонтальну площину симетрії
  • T d - також містять діагональну площину симетрії

n може дорівнювати 1, 2, 3, 4, 6.


4. Історія

Походження теорії кристалографічних груп пов'язано з вивченням симетрії орнаментів ( n = 2 ) І кристалічних структур ( n = 3 ). Класифікація всіх плоских (двовимірних) і просторових (тривимірних) кристалографічних груп була отримана незалежно Федоровим (1885), Шенфліса (1891) і Барлоу (1894). Основні результати для багатовимірних кристалографічних груп були отримані Бібербахом (ньому) [7].


Примітки

  1. H. Brown, R. Blow, J. Neubser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52.
  2. J. Neubser, B. Souvignier and H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html - journals.iucr .org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html
  3. Ю.К. Єгоров-Тісменко, Г.П. Литвинская, Ю.Г. Загальская, Кристалографія, вид. МДУ, 1992, стор 22.
  4. T. Janssen, JL Birman, VA Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, SC Abrahams and T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
  5. Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54 (5): 517-531
  6. PM de Wolff, Y. Billiet, JDH Donnay, W. Fischer, RB Galiulin, AM Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, DP Shoemaker, H. Wondratschek, AJC Wilson, & SC Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
  7. Bieberbach L. ber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.-Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.

Література

  • Дж. Вольф, Простору постійної кривизни. Переклад з англійської. Москва: "Наука", Головна редакція фізико-математичної літератури, 1982.
  • Ю.К. Єгоров-Тісменко, Г.П. Литвинская, Теорія симетрії кристалів, М. ГЕОС, 2000 (доступно on-Line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 - geo.web.ru / db / msg.html? mid = 1163834)

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кристалографічна точкова група симетрії
Американська кристалографічна асоціація
T2 (група)
Група 77
АТ-група
Група Е4
Can (група)
Група
Група Лі
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru