Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кристалографічна точкова група симетрії



План:


Введення

Кристалографічна точкова група симетрії - це точкова група симетрії, яка описує макро симетрію кристала. Оскільки в кристалах припустимі осі (поворотні і невласного обертання) тільки 1, 2, 3, 4 і 6 порядків, з усього нескінченного числа точкових груп симетрії тільки 32 відносяться до кристаллографическим.


1. Позначення

1.1. Символіка Браве

В основному використовується в навчальних цілях і зводиться до перерахування всіх елементів точкової групи. Поворотні осі симетрії позначаються буквою L з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком осі ( L n ) - L 1 , L 2 , L 3 , L 4 і L 6 . Інверсійні осі (комбінація повороту з інверсією) позначаються літерою Ł з нижнім цифровим індексом n, відповідним порядком осі n) - Ł 2, Ł 3, Ł 4 і Ł 6. Інверсійна вісь першого порядку (центр інверсії) позначається символом C. Інверсійна вісь другого порядку є просто площину симетрії і звичайно позначається символом P. Для уточнення орієнтації площині щодо головної осі можуть використовуватися різні індекси, наприклад, | | і ⊥. Наприклад, символ L 2 P C позначає групу складається з осі другого порядку і перпендикулярної до неї площини (і, як наслідок їх взаємодії, центру інверсії), а символ L 2 лютого P | | - групу складається з осі другого порядку і двох паралельних їй площин (хоча у випадку тільки паралельних площин символ | | зазвичай опускають і буде L 2 2 P). Символ L 4 4 L 4 лютого P | | P C позначає групу, що складається з осі четвертого порядку, чотирьох перпендикулярних до неї осей другого порядку, чотирьох паралельних їй площин, однією перпендикулярній площині та центру інверсії.


1.2. Символ Шенфліса

Символіка Шенфліса заснована на класифікації точкових груп за домами і широко використовується для позначення взагалі всіх точкових груп, а не тільки кристалографічних.

Сімейство груп з єдиною поворотною віссю позначається латинською буквою C з індексом, які показують порядок осі. До кристаллографическим відносяться C 1, C 2, C 3, C 4 і C 6.

Додавання горизонтальній площині до груп C n позначається додатковим індексом h. Отримуємо групи C 2h, C 3h, C 4h і C 6h.

Додавання вертикальних площин до груп C n позначається додатковим індексом v. Групи C 2v, C 3v, C 4v і C 6v.

Оскільки в групі C 1 не існує особливих напрямів, додана площину не може характеризуватися як вертикальна або горизонтальна. Така площину позначається індексом s. Таким чином, символ групи складається з однієї площини симетрії - C s ( ньому. spiegel - Дзеркало).

Групи з осями другого порядку, перпендикулярним головної осі позначаються буквою D з індексом, що показує порядок головною поворотної осі. До кристаллографическим відносяться D 2, D 3, D 4 і D 6.

Додавання горизонтальній площині до груп D n позначається, так само, як і у випадку З n, додатковим індексом h. Групи - D 2h, D 3h, D 4h і D 6h.

Додавання вертикальних площин до груп D n неоднозначно, так як площини можуть розташовуватися як між горизонтальних осей другого порядку, так і збігатися з ними. У першому випадку додається індекс d, що позначає діагональне розташування площин (по діагоналі між напрямками осей другого порядку). Виходять кристалографічні групи D 2d і D 3d. У групах D nd взаємодія горизонтальних осей другого порядку і вертикальних дзеркальних площин призводить до виникнення дзеркальної осі порядку 2n. Тому групи D 4d і D 6d не є кристалографічними, оскільки містять дзеркальні осі порядків 8 і 12, відповідно. Додавання до груп D n вертикальних площин вздовж осей другого порядку породжує горизонтальну площину симетрії і виходять описані вище групи D nh

Групи, що складаються з однієї дзеркальної осі, позначаються символом S n. При непарному n дзеркальна вісь еквівалентна наявності поворотної осі порядку n і перпендикулярної до неї площини, тобто групі C nh, тому в групах S n індекс n завжди парний. До них відносяться S 2 (група, що складається тільки з центру інверсії), S 4 і S 6. Будь дзеркальна вісь може описуватися також, як і інверсійна вісь, тому можливо альтернативне позначення цих груп - C ni, де n - порядок інверсійної осі. Виходять C i = S 2, C 4i = S 4 і C 3i = S 6.

Кристалографічні точкові групи, в яких присутні кілька осей вищого порядку (тобто порядку більше двох), позначаються символами T або О, в залежності від присутніх в них поворотних осей. Додаткові індекси h і d вказують на наявність горизонтальних (і вертикальних) і діагональних площин симетрії. Якщо в групі присутні тільки поворотні осі 2 і 3 порядків, то група позначається символом T (так як така комбінація поворотних осей присутній в тетраедра). Якщо в групі присутні тільки поворотні осі 2, 3 і 4 порядків, то група позначається символом O (так як така комбінація поворотних осей присутній в октаедра). Додавання горизонтальних площин симетрії призводить до груп T h і O h (група симетрії куба і октаедра). В обох групах присутні як горизонтальні площини, так і вертикальні. Додавання діагональних площин до групи T, призводить до групи T d (група симетрії тетраедра). Група O d не існує, так як додавання діагональних площин до групи O призведе до граничної групі симетрії кулі, содержаший всі можливі повороти і віддзеркалення.

Позначення Шенфліса використовуються в теорії груп, фізики і кристалографії. У символіці Шенфліса використовуються тільки породжують елементи симетрії (тобто з яких можна вивести всі інші елементи симетрії групи). Позначення інваріантні щодо вибору системи координат, що одночасно є як достоїнством, коли нас просто цікавить симетрія системи, так і недоліком, у разі якщо важлива орієнтація елементів симетрії точкової групи по відношенню до інших об'єктів, наприклад, системі координат кристала, або по відношенню до осей решітки Браве просторової групи. Тому в кристалографії частіше використовуються символи Германа-Могена, особливо для опису просторових груп.


1.3. Символіка Германа - Могена (міжнародна символіка)

У символі Германа - Могена позначаються симетрично нееквівалентні елементи симетрії. Поворотні осі симетрії позначають арабськими цифрами - 1, 2, 3, 4 і 6. Інверсійні осі позначають арабськими цифрами з рискою зверху - 1 , 3 , 4 і 6 . При цьому вісь 2 , Яка є просто площиною симетрії, позначається символом m (англ. mirror - дзеркало). Напрямком площині є напрямок перпендикуляра до неї (тобто осі 2 ). Дзеркальні осі в міжнародній символіці не використовуються. Орієнтація елемента щодо координатних осей задається позицією елемента в символі групи. Якщо напрямок осі симетрії збігається з напрямком площині, то вони записуються на одній позиції у вигляді дробу. Якщо інверсійна вісь має більшу величину симетрії, ніж збігається з нею поворотна, то в символі вказують саме її (тобто записують не \ Tfrac {3} {m} , А 6 ; При наявності в групі центру інверсії не 3, а 3 ).

Нижча категорія - точкові групи, в яких максимальний порядок будь-якої осі (поворотною або невласного обертання) дорівнює двом. До неї відносяться групи 1, 1 , 2, m, \ Tfrac {2} {m} , 222, mm2 і \ Tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} . Якщо в символі групи три позиції, то

на 1-ій позиції - напрямок вздовж осі X

на 2-ій позиції - напрямок вздовж осі Y

на 3-ій позиції - напрямок вздовж осі Z

В нестандартній установці група mm2 може бути записана як m2m або як 2mm. Аналогічно, групи 2, m і \ Tfrac {2} {m} можуть бути записані більш докладно - з вказівкою, уздовж якої координатної осі йде напрям осі другого порядку та / або площині. Наприклад, 11m, 1m1 або m11. Ця особливість символіки використовується для однозначного опису просторових груп при різному виборі системи координат, так як символи просторових груп є похідними від символів відповідних їм точкових груп.

Середня категорія - точкові групи, в яких присутня одна вісь порядки вище двох (вісь вищого порядку). Тут слід зазначити, що в кристалографії використовується кристалографічна система координат, пов'язана з симетрією кристала. У цій системі осями вибираються особливі напрями в кристалі (напрямки, вздовж яких йдуть осі симетрії або трансляції). Тому при наявності однієї осі 3 або 6 порядку, кут між напрямками X і Y дорівнює 120 , а не 90 як у звичайній Декартовій системі координат.

на 1-ій позиції - напрямок головної осі, тобто вісь Z

на 2-ій позиції - побічна напрямок. Тобто напрямок вздовж осі X і еквівалентної їй осі Y

на 3-ій позиції - діагональне напрям між симетрично еквівалентними побічними напрямами

До цієї категорії відносяться групи 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 \ Tfrac {2} {m} , 4 2m, 6 m2, \ Tfrac {4} {m} , \ Tfrac {6} {m} , \ Tfrac {4} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} і \ Tfrac {6} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} .

Оскільки вісь 3 та перпендикулярна до неї площину еквівалентні осі 6 , То \ Tfrac {3} {m} = 6 і \ Tfrac {3} {m} m2 = 6 m2, але використовувати рекомендується саме позначення з інверсійної віссю 6 , Так як її симетрія вище, ніж у осі 3. Групи 4 2m і 6 m2 можуть бути записані як 4 m2 і 6 2m. Вище було наведено позначення, прийняті в російськомовній літературі. Послідовність символів 2 і m в цих групах стають важлива при описі похідних від них просторових груп, так як елемент на другій позиції спрямований уздовж осі осередку Браве, а елемент на третій позиції спрямований по діагоналі грані. Наприклад, символи P 4 2m і P 4 m2 позначають дві різні просторові групи. Група 32 теж може бути більш докладно записана як 321 або 312 для різних орієнтацій осі 2. Аналогічно, різні орієнтації призводять до двох різних просторовим групам P321 і P312. Те ж відноситься і до груп 3m (альтернативні записи 3m1 і 31m) і 3 \ Tfrac {2} {m} (Альтернативні записи 3 \ Tfrac {2} {m} 1 і 3 1 \ Tfrac {2} {m} ).

Вища категорія - точкові групи, в яких присутні кілька осей вищого порядку.

на 1-й позиції - еквівалентні напрями X, Y, Z

на 2-ій позиції - завжди присутні там чотири осі 3 або 3

на 3-ій позиції - діагональне напрям між координатними осями

До цієї категорії відносяться п'ять груп - 23, 432, \ Tfrac {2} {m} 3 , 4 3m і \ Tfrac {4} {m} 3 \ Tfrac {2} {m}

Міжнародні символи звичайно спрощують, замінюючи \ Tfrac {n} {m} на m, якщо вісь n породжена іншими елементами симетрії, зазначеними в символі. Не можна прибрати лише позначення головної осі в середній категорії. Наприклад, \ Tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} записують як mmm, \ Tfrac {4} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} як \ Tfrac {4} {m} mm, а \ Tfrac {4} {m} 3 \ Tfrac {2} {m} як m 3 m.


1.4. Символи Шубнікова

Символи Шубнікова займають проміжне положення між символами Шенфліса і символами Германа - Могена. По виду вони скоріше схожі на останні, але за змістом ближче до символів Шенфліса. Так само, як і в символах Германа - Могена, осі позначаються арабськими цифрами, а площину - символом m. Однак для позначення осі обертання невласного вибирається дзеркальна вісь, а не інверсійна, як в міжнародному символі. Дзеркальна вісь позначається арабською цифрою із позначкою тильди: дзеркальна вісь 2-го порядку \ Tilde {2} (Те ж, що і центр інверсії 1 ), Дзеркальна вісь 4-го порядку \ Tilde {4} (Вона ж інверсійна вісь четвертого порядку 4 ) І дзеркальна вісь 6-го порядку \ Tilde {6} (Еквівалентна інверсійної осі третього порядку 3 ). Так само, як і в символах Шенфліса, позначаються тільки породжують елементи симетрії. Наприклад, шубніковскій символ 4: 2, так само як і D 4 у Шенфліса, позначає, що група утворена віссю 4-го порядку і перпендикулярної до неї віссю 2-го порядку, в той час як міжнародний символ 422 вказує також на наявність у групі симетрично нееквівалентних осей другого порядку. Напрямок побічних осей і площин вказується через знак: якщо вони перпендикулярні головної осі, - якщо паралельні головній осі і / - якщо похило по відношенню до головної осі. Слід звернути увагу на позначення груп \ Tilde {4} \ cdot m і \ Tilde {6} \ cdot m . Так само, як і у відповідних міжнародних символах 4 2m і 3 m, в них позначаються осі невласного обертання, тоді як в символах Шенфліса D 2d і D 3d позначаються тільки поворотні осі, що входять до складу осей невласного обертання (вісь 2 входить в \ Tilde {4} і вісь 3 входить в \ Tilde {6} ).


1.5. Орбіфолдное позначення

Орбіфолдное позначення було запропоновано Вільямом Терстон і популяризувати Джоном Конвея. [1] [2] В принципі, воно було введено для опису груп симетрії на двомірних поверхнях постійної кривизни (наприклад, 17 двомірних кристалографічних груп на площині, групи симетрії на гіперболічної площині, групи симетрії на сфері), але оскільки групи симетрії на сфері еквівалентні тривимірним точковим групам, ці позначення можна використовувати і для останніх. Тут пояснюється сенс орбіфолдних позначень при описі точкових груп.

Як і в міжнародній системі, наявність осей симетрії позначається арабськими цифрами, і в обох позначеннях вказуються не тільки породжують елементи, а й симетрично нееквівалентні. Тут, однак, є невелика відмінність - в орбіфолдной системі позначаються не просто нееквівалентні осі симетрії, а нееквівалентні напряму. У всякої осі є два напрями ("верх і низ" для вертикальної або "ліво і право" для горизонтальної). Наприклад, у групах з єдиною віссю (C n по Шенфліса) ці напрями нееквівалентний, тому такі групи позначаються як nn. До кристаллографическим належать групи 11, 22, 33, 44 і 66. У групах з осями 2-го порядку, перпендикулярними головної осі (D n по Шенфліса), осі 2-го порядку "перевертають" головну вісь на 180 градусів, роблячи таким чином обидва її напрями еквівалентними. Проте самих напрямків 2-го порядку в таких групах два типу, тому групи позначаються як n22. Порядок цифр не важливий, важливо лише їх положення по відношенню до символу площини симетрії (якщо вона присутня в групі), про що буде написано нижче. Кристалографічними будуть групи 222, 322, 422 і 622 (можна писати і 222, 223, 224 і 226). Цікаво порівняти ці символи з відповідними міжнародними 222, 32, 422 і 622. У групах з головною віссю парного порядку присутній два класи симетрично нееквівалентих горизонтальних осей 2-го порядку (тому дві двійки в міжнародному символі), але в кожної з осей обидва напрямки еквівалентні. У групах з головною віссю непарного порядку, всі осі 2-го порядку еквівалентні (тому міжнародний символ 32, а не 322), але "ліве" і "праве" напрямку у цих горизонтальних осей різні, тому все одно отримуємо два класи симетрично нееквівалентних напрямків 2-го порядку, і в орбіфолдном позначенні виходить 322 (522, 722 та т.д.).

Наявність в групі однієї або декількох площин симетрії позначається єдиною зірочкою *. При цьому якщо символ осі розташований правіше зірочки, то значить через вісь проходять площині симетрії (n площин через вісь n-го порядку), якщо цифра розташована лівіше зірочки, то площині через вісь не проходять. Наприклад, у групі * 332 (T d по Шенфліса), через всі осі проходять площині, а в групі 3 * 2 (T h по Шенфліса) площині проходять тільки через осі 2-го порядку, але не через осі 3-го.

Ще кілька прикладів:

У групах з площиною симетрії, перпендикулярній головної осі симетрії (C nh по Шенфліса), обидва напрями осі стають еквівалентними і групи позначаються символом n *. Кристалографічними будуть групи 2 *, 3 *, 4 * і 6 *. Якщо ж площину симетрії проходить через вісь (C nv по Шенфліса), то, як було сказано вище, зірочка ставиться лівіше цифри, і отримуємо групи * 22, * 33, * 44, * 66. Цифри знову подвоюються, так як напряму головної осі ("верх і низ") знову нееквівалентний.

Не тільки площині симетрії можуть переводити частини фігури (фрагменти мотиву) в дзеркально їм симетричні. Наприклад, до таких елементів відносяться дзеркальні та інверсійні осі. Для двовимірних кристалографічних груп на площині таким елементом є ковзне відображення (тобто відображення з одночасним зсувом уздовж лінії відображення). Наявність в групі такого елемента позначається x ("чудо" по конвою). Цей значок використовується тільки у випадку, якщо дія елемента ніяк не можна уявити у вигляді комбінації інших елементів з символу групи. Що стосується 3-мірних точкових груп, це відноситься до груп, що складається з єдиної дзеркальної осі парного порядку, S 2 = C i, S 4 і S 6. Вони будуть позначатися 1x, 2x і 3x, відповідно.


2. Порівняння різних позначень точкових груп

Категорія Сингонія Кристалічна
система
Герман-Моген
(Повний символ)
Герман-Моген
(Скорочений)
Символи
Шубнікова
Символи
Шенфліса
Символи
Браве
Орбіфолдное (англ.) Коксетер (англ.) Порядок
групи
Нижча
Тріклінную
1 1 1 \ C 1 L 1 11 [] + 1
1 1 \ Tilde {2} C i = S 2 C = Ł 1 x [1 +, 2 +] 2
Моноклінна
2 2 2 \ C 2 L 2 22 [2] + 2
m m m \ C s = C 1h P = Ł 2 * [] 2
\ Tfrac {2} {m} 2 / m 2: m \ C 2h L 2 P C 2 * [2,2 +] 4
Ромбічна
222 222 2:2 \ D 2 = V 3 L 2 222 [2,2] + 4
mm2 mm2 2 \ cdot m \ C 2v L 2 2 P * 22 [2] 4
\ Tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} mmm m \ cdot 2: m \ D 2h 3 L 2 Березня PC * 222 [2,2] 8
Середня
Тетрагональная
4 4 4 \ C 4 L 4 44 [4] + 4
4 4 \ Tilde {4} S 4 Ł 4 2x [2 +, 4 +] 4
\ Tfrac {4} {m} 4 / m 4: m \ C 4h L 4 P C 4 * [2,4 +] 8
422 422 4:2 \ D 4 L 4 4 L 2 422 [4,2] + 8
4mm 4mm 4 \ cdot m \ C 4v L 4 4 P * 44 [4] 8
4 2m 4 2m \ Tilde {4} \ cdot m D 2d Ł 2 квітня L 2 2 P 2 * 2 [2 +, 4] 8
\ Tfrac {4} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} 4/mmm m \ cdot 4: m \ D 4h L 4 4 L 4 Лютий P | | P C * 422 [4,2] 16
Гексагональна
Трігональная
3 3 3 \ C 3 L 3 33 [3] + 3
3 3 \ Tilde {6} S 6 = C 3i Ł 3 = L 3 C 3x [2 +, 6 +] 6
32 32 3:2 \ D 3 L 3 3 L 2 322 [3,2] + 6
3m 3m 3 \ cdot m \ C 3v L 3 3 P * 33 [3] 6
3 \ Tfrac {2} {m} 3 m \ Tilde {6} \ cdot m D 3d Ł 3 березня L 2 3 P = L 3 3 L 2 Березня PC 2 * 3 [2 +, 6] 12
Гексагональна
6 6 6 \ C 6 L 6 66 [6] + 6
6 6 3: m \ C 3h L 3 P = Ł 6 3 * [2,3 +] 6
\ Tfrac {6} {m} 6 / m 6: m \ C 6h L 6 P C 6 * [2,6 +] 12
622 622 6:2 \ D 6 L 6 6 L 2 622 [6,2] + 12
6mm 6mm 6 \ cdot m \ C 6v L 6 6 P * 66 [6] 12
6 m2 6 m2 m \ cdot 3: m \ D 3h L 3 3 L 2 Березня P | | P = Ł 3 червня P 2 3 P * 322 [3,2] 12
\ Tfrac {6} {m} \ tfrac {2} {m} \ tfrac {2} {m} 6/mmm m \ cdot 6: m \ D 6h L 6 6 L 2 червень P | | P C * 622 [6,2] 24
Вища
Кубічна
23 23 3 / 2 \ T 3 L 2 4 L 3 332 [3,3] + 12
\ Tfrac {2} {m} 3 m 3 \ Tilde {6} / 2 T h 3 L 2 4 L 3 березня PC 3 * 2 [3 +, 4] 24
432 432 3 / 4 \ O 3 L 4 квітня L 3 6 L 2 432 [4,3] + 24
4 3m 4 3m 3 / \ tilde {4} T d 3 Ł 4 квітня L 3 6 P * 332 [3,3] 24
\ Tfrac {4} {m} 3 \ Tfrac {2} {m} m 3 m \ Tilde {6} / 4 O h 3 L 4 квітня L 3 6 L 2 Вересень PC * 432 [4,3] 48

3. Історія

Перший висновок всіх 32 кристалографічних точкових груп було дано в 1830 році Іоганном Гесселем в його трактаті "Крісталлометрія або крісталлономія і кристалографія, розроблена оригінальним чином на основі нового загального вчення власне про фігури, з повним оглядом найважливіших робіт і методів інших кристалографів". Проте цей висновок точкових груп залишився непоміченим. Следуюший висновок був дан Огюстом Браве в 1849 році в мемуарах "Дослідження про многогранниках симетричної форми". Однак Браве не враховував осі обертання невласного (дзеркально-поворотні або інверсійні), і в результаті пропустив групу S 4. Всі решта 31 кристалографічні групи можна вивести як комбінацію тільки осей симетрії, площин відображення та центру інверсії. Нарешті, в 1867 році Аксель Гадолин в "Записках Петербурзького мінералогічного товариства" опублікував "Виведення всіх кристалографічних систем та їх підрозділів з ​​одного спільного початку". Саме в роботі Гадоліній вперше в явному вигляді повідомляється, що число видів симетрії для кристалічних багатогранників (тобто кристалографічних точкових груп симетрії) дорівнює 32. У цій роботі Гадолин ввів у науку поняття інверсійної осі. Також саме в цій статті вперше з'являються стереографічні проекції 32-х точкових груп.


Література

  • Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрична кристалографія, МГУ, 1973
  • Ю. К. Єгоров-Тісменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристалографія, МГУ, 1992
  • Ю. К. Єгоров-Тісменко, Г. П. Литвинская, Теорія симетрії кристалів, ГЕОС, 2000 (доступно on-Line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
  • П. М. Зоркий. Симетрія молекул і кристалічних структур, МГУ, 1986 (доступно on-Line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
  • А. В. Шубников. Симетрія і антисимметрия кінцевих фігур, Изд-во АН СРСР, 1951
  • І. І. Шафрановський. Історія кристалографії. XIX століття, Л., "Наука", 1980

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Точкова група симетрії
Кристалографічна група
Точкова оцінка
Американська кристалографічна асоціація
Вид симетрії
Принцип симетрії Шварца
Спонтанне порушення симетрії
АТ-група
Can (група)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru