Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кубика



План:


Введення

Кубика y = x (x + 1). Параметризація: t(t 2 - 1, t (t 2 - 1))
Набір кубик

Кубика - плоска алгебраїчна крива 3-го порядку, тобто безліч точок площині ( проективної, афінної, евклідової), однорідні координати яких (щодо відповідно проективної, афінної або декартовій системи координат) задовольняють рівнянню третього ступеня.


1. Класифікація

Перша класифікація кубик була дана Ньютоном в 1704 [1].

Ньютон довів, що для будь кубики можна підібрати систему координат, в якій вона буде мати один з таких видів:

  • xy ^ 2 + ey \, = \, ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d;
  • xy \, = \, ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d;
  • y ^ 2 \, = \, ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d;
  • y \, = \, ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d.

Далі Ньютон поділив всі криві на класи, пологи і типи, пропустивши при цьому однак 6 типів. Повну класифікацію дав Плюккер [2].

Станом на 2008 рік, аналогічної класифікації для кривих n-го порядку не знайдено, це завдання становить 16-у проблему Гільберта.


2. Властивості

  • Теорема Шаля. Дано 2 кубики A і B , Що мають 9 загальних точок. Якщо третя кубика З проходить через 8 з них, то вона проходить і через дев'яту.
  • На кубику взяли точку A , І провели з неї 2 дотичних до кубику - одна стосується кубики в точці A , Інша - в точці B . Нехай площі сегментів, відсікаються цими дотичними від графіка кубики, рівні X і Y . Тоді X = 16 Y [3].
  • Відомо, що деякі кубики є трісектрісамі, тобто якщо на площині намальований графік такої кубики, і дано кут, то його можна розділити циркулем і лінійкою на 3 рівні частини. Відкрита проблема: чи будь-яка кубика є трісектрісой?
  • Максимально можливе число компонент зв'язності у графіка кубики в R 2 є 4. Наприклад: у f (x, \; y) = 3x ^ 3-5y ^ 2x-4x ^ 2-10yx +10 y ^ 2-6x +20 y +12 (Графік складається з трьох віддаляються на нескінченність кривих і одній ізольованій точки).
  • Якщо пряма проходить через дві точки перегину кубики, то вона проходить і через третю.
  • На кубиках можна ввести складання точок і множення їх на число, отримавши тим самим алгебраїчну структуру, яка називається еліптичної кривої [4] [5].
  • Пряма перетинає кубику в точках A, \; B, \; C . Дотичні, відновлені до кубику в точках A, \; B, \; C , Перетинають вдруге кубику в точках P, \; Q, \; R . Тоді точки P, \; Q, \; R також лежать на одній прямій [6] [7].

3. Застосування

  • Кубічні криві застосовуються в мові PostScript, включаючи шрифти формату Type 1 (в TrueType використовуються тільки квадратичні криві).
  • Вивчення кубик довгий час вважалося прикладом чистої математики (не має ніякого прикладного застосування та перспективи такого). Однак, в останні 20 років XX століття були придумані криптографічні алгоритми, які використовують глибокі властивості кубик, які сьогодні використовуються (зокрема) при банківському шифруванні, що дало поштовх вивченню властивостей кубик, см. Еліптична криптографія.
  • Велике число чудових точок трикутника складаються в кілька кубик [8].
  • Морлей довів відому теорему Морлея, вивчаючи властивості кубик [9].

Примітки

  1. "Enumeratio linearum tertii ordinis" (є російський переклад "Перерахування кривих третього порядку" в книзі Д. Д. Мордухай-Болтовського "Ісаак Ньютон. Математичні роботи", стор 194-209, доступні on-line посторінково на [1] - books.mathtree.ru / newton / index_expo_r.html? 208).
  2. Смогоржевський О. С., Столова Е. С. Довідник з теорії плоских кривих третього порядку - М .: Фізматгіз, 1961.
  3. Honsberger R. More Mathematical Morsels / / Math. Assoc. Amer. - Washington, DC, 1991. - P. 114-118.
  4. Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраїчна геометрія та теорія чисел: раціональні та еліптичні криві - mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.8.pdf - М .: МЦНМО, 2010. - 48 с. - (Бібліотека "Математичне освіта"). - ISBN 5-900916-71-5.
  5. Соловйов Ю. П. Раціональні точки на еліптичних кривих - www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9710_138.pdf / / Соросівський освітній журнал. - 1997. - № 10. - С. 138-143.
  6. [2] - www.jstor.org/pss/3611930.
  7. Див також Weisstein, Eric W. Cubic Curve - mathworld.wolfram.com / CubicCurve.html (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld., [3] - www.mai.ru/ ~ apg/Volume9/Number20/hirsch920_11.pdf, [4] - www.springerlink.com/content/b5u4247121655130/, [5] - www.jstor.org / pss / 1986396, [6] - people.maths.ox.ac.uk / ~ szendroi / cubic.pdf, [7] - www.jstor.org/pss/2370374, [8] - www.jstor.org/pss/ 1967468, [9] - portal.acm.org / citation.cfm? id = 235482, [10] - portal.acm.org / citation.cfm? id = 32867.32870, [11] - portal.acm.org / citation. cfm? id = 77055.77056.
  8. Див [12] - www.paideiaschool.org / TeacherPages / Steve_Sigur / resources / geo cubics / geometrical cubics.html і [13] - pagesperso-orange.fr/bernard.gibert /.
  9. Див його роботи [14] - faculty.evansville.edu/ck6/bstud/morley.html.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru