Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кубічне рівняння


Graph of cubic polynomial.svg

План:


Введення

Графік кубічної функції y = (x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8) / 4 , У якої 3 дійсних кореня (у місці пересекаченія горизонтальній осі, де у = 0). Є 2 критичні точки
Graph of cubic polynomial.svg

Кубічне рівняння - полиномиальное рівняння третього ступеня, канонічний вигляд якого

ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0, \ quad a \ ne 0.

Для графічного аналізу кубічного рівняння в декартовій системі координат використовується кубічна парабола.

Будь кубічне рівняння канонічного вигляду можна привести до простішого увазі:

y ^ 3 + py + q = 0, \,

поділивши його на a і підставивши в нього заміну x = y - \ tfrac {b} {3a}. При цьому коефіцієнти будуть рівні:

q = \ frac {2b ^ 3} {27a ^ 3} - \ frac {bc} {3a ^ 2} + \ frac {d} {a} = \ frac {2b ^ 3 - 9abc + 27a ^ 2d} {27a ^ 3},
p = \ frac {c} {a} - \ frac {b ^ 2} {3a ^ 2} = \ frac {3ac - b ^ 2} {3a ^ 2}.

1. Корені рівняння

Число x, що звертає рівняння в тотожність, називається коренем або рішенням рівняння. Воно є також коренем многочлена третього ступеня, що стоїть в лівій частині канонічної запису.

Над полем комплексних чисел, згідно основний теоремі алгебри, кубічну рівняння завжди має 3 корені (з урахуванням кратності).

Так як кожен речовий многочлен непарної ступеня має хоча б один речовий корінь, всі можливі випадки складу коренів кубічного рівняння вичерпується трьома, описаними нижче. Ці випадки легко розрізняються за допомогою дискриминанта

Δ = - 4 b 3 d + b 2 c 2 - 4 a c 3 + 18 a b c d - 27 a 2 d 2.

Отже, можливе лише три випадки:

  • Якщо Δ> 0, тоді рівняння має три різних речових кореня.
  • Якщо Δ <0, то рівняння має один речовий і пару комплексно спряжених коренів.
  • Якщо Δ = 0, тоді хоча б два кореня збігаються. Це може бути, коли рівняння має подвійний речовинний корінь і ще один відмінний від них речовинний корінь; або, всі три корені збігаються, утворюючи корінь кратності 3. Розділити ці два випадки допомагає результант кубічного рівняння і його другої похідної: у многочлена є корінь кратності 3 тоді і тільки тоді, коли зазначений результант так само дорівнює нулю.

Коріння кубічного рівняння x_1, \, x_2, \, x_3 пов'язані з коефіцієнтами a, \, b, \, c, \, d наступним чином [1] :

x_1 + x_2 + x_3 = - \ frac {b} {a},
x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \ frac {c} {a},
x_1 \, x_2 \, x_3 = - \ frac {d} {a},
\ Frac {1} {x_1} + \ frac {1} {x_2} + \ frac {1} {x_3} = - \ frac {c} {d}, \ quad d \ ne0.

2. Методи рішення

Точні методи рішення:

Також можна застосовувати чисельні методи рішення рівнянь.


Примітки

  1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Довідник з математики - Вид. 7-е, стереотипне. - М .: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1967. - С. 139.

Література

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Довідник з математики - Вид. 7-е, стереотипне. - М .: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1967. - С. 138-139.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Рівняння
Рівняння Єфименко
Хвильове рівняння
Диофантово рівняння
Пфаффово рівняння
Рівняння Ейнштейна
Рівняння Пуассона
Рівняння Гамільтона
Змішане рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru