Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кутова швидкість



Кутова швидкість
ω
Розмірність

T -1

Одиниці виміру
СІ

рад / с

СГС

рад / с

Інші одиниці

градус / с, оборот / с, оборот / мин

Кутова швидкість (синя стрілка) в одну одиницю по годинниковою стрілкою
Кутова швидкість (синя стрілка) у півтори одиниці за годинниковою стрілкою
Кутова швидкість (синя стрілка) в одну одиницю проти годинникової стрілки

Кутова швидкість - векторна фізична величина, що характеризує швидкість обертання тіла. Вектор кутової швидкості по величині дорівнює куті повороту тіла в одиницю часу:

\ Omega_z = \ frac {d \ varphi} {dt} ,

а спрямований по осі обертання згідно правилом свердлика, тобто, в ту сторону, в яку угвинчувався б буравчик з правого різьбленням, якби обертався в ту ж сторону.

Одиниця виміру кутовий швидкості, прийнята в системах СІ і СГС) - радіани в секунду. (Примітка: радіан, як і будь-які одиниці вимірювання кута, - фізично безрозміряний, тому фізична розмірність кутовий швидкості - просто [1/секунда]). У техніці також використовуються обороти в секунду, набагато рідше - градуси в секунду, гради в секунду. Мабуть, найчастіше в техніці використовують звороти в хвилину - це йде з тих часів, коли частоту обертання тихохідних парових машин визначали, просто "вручну" підраховуючи число обертів за одиницю часу.

Вектор (миттєвої) швидкості будь-якої точки (абсолютно) твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю \ Vec \ omega , Визначається формулою:

\ Vec v = [\ \ vec \ omega, \ vec r \],

де \ Vec r - Радіус-вектор до даного пункту з початку координат, розташованого на осі обертання тіла, а квадратними дужками позначено векторний твір. Лінійну швидкість (збігається з модулем вектора швидкості) точки на певній відстані ( радіусі) r від осі обертання можна вважати так: v = r ω. Якщо замість радіанів застосовувати інші одиниці кутів, то в двох останніх формулах з'явиться множник, не рівний одиниці.

  • У разі плоского обертання, тобто коли всі вектори швидкостей точок тіла лежать (завжди) в одній площині ("площині обертання"), кутова швидкість тіла завжди перпендикулярна цій площині, і по суті - якщо площину обертання свідомо відома - може бути замінена скаляром - проекцією на вісь, ортогональну площині обертання. В цьому випадку кінематика обертання сильно спрощується, проте в загальному випадку кутова швидкість може міняти з часом напрям в тривимірному просторі, і така спрощена картина не працює.
  • Похідна кутової швидкості по часу є кутове прискорення.
  • Рух з постійним вектором кутової швидкості називається рівномірним обертальним рухом (у цьому випадку кутове прискорення дорівнює нулю).
  • Кутова швидкість (розглянута як вільний вектор) однакова у всіх інерціальних системах відліку, проте в різних інерціальних системах відліку може розрізнятися вісь або центр обертання одного і того ж конкретного тіла в один і той же момент часу (тобто буде різною "точка докладання" кутовий швидкості).
  • У випадку руху однієї єдиної точки в тривимірному просторі можна написати вираз для кутової швидкості цієї точки щодо обраного початку координат :
\ Vec \ omega = \ frac {\ vec r \ times \ vec v} {(\ vec r, \ vec r)} , Де \ Vec r - радіус-вектор точки (з початку координат), \ Vec v - швидкість цієї точки. \ Vec r \ times \ vec v - векторне твір, (\ Vec r, \ vec r) - скалярний твір векторів. Однак ця формула не визначає кутову швидкість однозначно (в разі єдиною точки можна підібрати й інші вектори \ Vec \ omega , Які підходять за визначенням, по іншому - довільно - вибравши напрям осі обертання), а для загального випадку (коли тіло включає більше однієї матеріальної точки) - ця формула не вірна для кутової швидкості всього тіла (оскільки дає різні \ Vec \ omega для кожної точки, а при обертанні абсолютно твердого тіла з визначення кутова швидкість його обертання - єдиний вектор). При всьому при цьому, в двовимірному випадку (випадку плоского обертання) ця формула цілком достатня, однозначна і коректна, тому що в цьому окремому випадку напрямок осі обертання свідомо однозначно визначено.
  • При вимірюванні кутової швидкості в оборотах в секунду (об / с), модуль кутової швидкості рівномірного обертального руху збігається з частотою обертання f, виміряної в герцах (Гц)

(Тобто в таких одиницях ~ ~ \ Omega = {f} ).

  • У разі використання звичайної фізичної одиниці кутової швидкості - радіанів в секунду - модуль кутової швидкості пов'язаний з частотою обертання так: ~ ~ \ Omega = {2 \ pi f}.
  • Нарешті, при використанні градусів в секунду зв'язок з частотою обертання буде: ~ ~ \ Omega = {360 f}.

Зв'язок з кінцевим поворотом в просторі

  • Нехай поворот, що змінюється в часі, заданий величиною кута \; \ Theta (t) і ортом осі кінцевого повороту в просторі \ Vec {n} (t) . Тоді кутова швидкість, що відповідає цьому повороту, дорівнює
\ Vec {\ omega} = \ vec {n} \ dot {\ theta} + \ dot {\ vec {n}} \ sin \ theta + \ vec {n} \ times \ dot {\ vec n} (1 - \ cos \ theta) .
\ Omega_i = \ frac {1} {2} \ varepsilon_ {ijk} T_ {jn} \ dot {T} _ {kn} .
  • Якщо для опису повороту використовується кватерниона, що виражається через кут \; \ Theta і орт осі повороту \ Vec {n} як
q = \ left (\ cos \ frac {\ theta} {2}, \ vec {n} \ sin \ frac {\ theta} {2} \ right) ,

то кутова швидкість знаходиться з виразу \ Left (0, \ vec {\ omega} \ right) = 2 \, \ dot {q} \, \ overline {q} .

  • У випадку, коли поворот описується за допомогою вектора \ Vec {V} = \ vec {n} \ operatorname {tg} \ frac {\ theta} {4} , Що змінюється в часі, позначимо \ Vec {W} = d \ vec {V} / d t \; ( \; W_i = d V_i / d t ), А також T_ {ij} ^ {1/2} = n_i n_j + (\ delta_ {ij} - n_i n_j) \ cos \ frac {\ theta} {2} - n_k \ epsilon_ {ijk} \ sin \ frac {\ theta} {2} - Матриця половинного повороту ( T_ {ij} ^ {1/2} T_ {jk} ^ {1/2} = T_ {ik} ), \; V ^ 2 - Квадрат модуля вектора \ Vec {V} . Тоді кутова швидкість:
\ Omega_i = \ frac {4 T_ {ij} ^ {1/2} W_ {j}} {1 + V ^ 2} .

Література

  • Лур'є А. І. Аналітична механіка \ \ А. І. Лур'є. - М.: ГІФМЛ, 1961. - С. 100-136

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кутова частота
Кутова шліфувальна машина
Швидкість
Швидкість
Групова швидкість
Радіальна швидкість
Орбітальна швидкість
Крейсерська швидкість
Фазова швидкість
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru