Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кільце (математика)



План:


Введення

В абстрактної алгебри кільце - це один з найбільш часто зустрічаються видів алгебраїчної структури. Найпростішими прикладами кілець є числа ( цілі, речові, комплексні, ...), функції на безлічі (все, безперервні, гладкі, аналітичні, ...) і алгебра матриць. У всіх випадках є безліч, надзвичайно схоже на безліч чисел, у тому розумінні, що його елементи можна складати і множити, причому ці операції ведуть себе природним чином. Однак є і суттєві відмінності. Вже на прикладі цілих чисел видно, що операція множення може бути незворотною (операція ділення визначена не на цілих числах, а на раціональних). Ця різниця ще більш істотно в кільцях функцій і матриць: в них існують елементи, твір яких дорівнює 0. Наприклад, квадрат матриці \ Scriptstyle {\ left (\ begin {matrix} 0 & & 1 \ \ 0 & & 0 \ end {matrix} \ right)} дорівнює 0, так що вона в принципі не може мати зворотну. Крім того, множення матриць НЕ коммутативно. Хитріші кільця, такі як алгебри Лі, є важливими прикладами кілець, в яких множення НЕ асоціативно і не має одиниці (тотожного по множенню елемента). Поняття кільця формалізує загальні властивості всіх зазначених прикладів, дозволяючи вивчати їх загальними абстрактними методами.

Зауважимо, що, згідно алгебраїчної геометрії, будь коммутативное асоціативне кільце з одиницею можна розглядати як кільце функцій на деякому просторі (афінної схемою), проте відповідна конструкція дуже нетривіальна, а її результат складніше, ніж може підказувати елементарна інтуїція. Хоча в цілому інтуїтивне уявлення про кільці як про деякий кільці функцій або кільці матриць не дуже сильно спотворює істину, необхідно пам'ятати про відмінності.


1. Визначення

Кільце - це безліч R, на якому задано дві бінарні операції : + і (звані додавання і множення), з такими властивостями:

  1. \ Forall a, b \ in R \ left (a + b = b + a \ right) - комутативність складання;
  2. \ Forall a, b, c \ in R \ left (a + (b + c) = (a + b) + c \ right) - асоціативність складання;
  3. \ Exists 0 \ in R \; \ forall a \ in R \ left (a + 0 = 0 + a = a \ right) - Існування нейтрального елемента щодо складання;
  4. \ Forall a \ in R \; \ exists b \ in R \ left (a + b = b + a = 0 \ right) - Існування зворотного елемента щодо складання;
  5. \ Forall a, b, c \ in R \; (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c) - Асоціативність множення (деякі автори не вимагають виконання цієї аксіоми [1])
  6. \ Forall a, b, c \ in R \ left \ {\ begin {matrix} a \ times (b + c) = a \ times b + a \ times c \ \ (b + c) \ times a = b \ times a + c \ times a \ end {matrix} \ right. - дистрибутивність.

Іншими словами, кільце - це універсальна алгебра \ Left (R, +, \ times \ right) , Така що алгебра \ Left (R, + \ right) - абелева група, і операція + дистрибутивно зліва і справа відносно \ Times . Кільце асоціативно, якщо мультиплікативний группоід є полугруппой.

Асоціативні кільця можуть мати такими додатковими властивостями:

Кільця, для яких виконані два останні властивості, називаються цілісними (іноді також областями цілісності або просто областями, хоча умова комутативності не завжди вважається обов'язковим).

Іноді під асоціативним кільцем розуміють асоціативне кільце з одиницею. Але є приклади асоціативних кілець без одиниці, наприклад - нульове кільце, кільце парних чисел, або ж будь невласний ідеал в кільці. Розглядаються також неассоціатівное кільця без одиниці, наприклад ліевскіе кільця і ​​ін


2. Пов'язані визначення

  • Підмножина A \ subset R називається подкольцо R , Якщо A саме є кільцем відносно операцій, визначених у R . За визначенням, воно непорожній, оскільки містить нульовий елемент.
  • Асоціативне кільце з одиницею 1 \ neq 0 , В якому кожен ненульовий елемент звернемо, називається тілом.
  • Коммутативное тіло називається полем. Інакше кажучи, поле - це коммутативное асоціативне кільце з одиницею, що не має нетривіальних ідеалів.
  • Кільце, елементами якого є числа, а операціями - складання та множення чисел, називають числовим кільцем. Наприклад, безліч парних чисел є числовим кільцем.

3. Найпростіші властивості

Нехай R - Кільце, тоді виконані наступні властивості:

  • a \ cdot 0 = 0 , Тобто 0 - поглинаючий елемент по множенню.
  • (-B) = (-1) \ cdot b , Де (- B) - Елемент, зворотний до b по складанню.
  • (A-b) \ cdot c = a \ cdot c-b \ cdot c
  • c \ cdot (a-b) = c \ cdot a - c \ cdot b

4. Приклади

  • {0} - Тривіальне кільце, що складається з одного нуля. Це єдине кільце, в якому нуль є мультиплікативної одиницею. Вважати цей тривіальний приклад кільцем важливо з точки зору теорії категорій, тому що при цьому в категорії кілець виникає нульової об'єкт, через який пропускається будь нульової гомоморфізм кілець.
  • \ Mathbb {Z} - цілі числа (зі звичайним складанням і множенням). Це найважливіший приклад кільця, так як будь-яке кільце можна розглядати як алгебру над \ Z .
  • \ Mathbb {Z} _n - Кільце вирахувань по модулю натурального числа n. Це класичні приклади кілець з теорії чисел. Вони є полями тоді і тільки тоді, коли число n просте. Відповідні поля є відправною точкою для побудови теорії кінцевих полів. Кільця вирахувань також важливі при дослідженні структури конечнопорожденних абелевих груп, Їх також можна використовувати для побудови p-адіческіх чисел.
  • \ Mathbb {Q} - Кільце раціональних чисел, що є полем. Це найпростіше поле характеристики 0. Воно є основним об'єктом дослідження в теорії чисел. Поповнення його по всіх нееквівалентним нормам дає поля дійсних чисел \ R і p-адіческіх чисел \ Q_p , Де p - Довільне просте число.
  • Для довільного (коммутативна, асоціативного) кільця R можна побудувати кільце многочленів від n змінних R [x_1, x_2, \ dots, x_n] з коефіцієнтами в R . Зокрема, R [x] [y] = R [x, y] . Кільце многочленів з цілими коефіцієнтами є універсальним кільцем многочленів, в тому сенсі що всі кільця многочленів виражаються через тензорне твір : R [x_1, \ dots, x_n] = R \ otimes \ left (\ Z [x_1, \ dots, x_n] \ right) .
  • Кільце нескінченно гладких вещественнозначних функцій C ^ \ infty (M, \ R) на різноманітті M - Це коммутативное асоціативне кільце з одиницею. Множення додавання в ньому визначаються поточечно:
(F + g) (x) = f (x) + g (x), \; x \ in M
(F \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x), \; x \ in M
Нульовий елемент - функція, тотожне рівна 0, одиничний - тотожно рівна 1. Оборотними елементами в ньому є ніде не рівні 0 функції, дільниками нуля - функції, рівні 0 на деякому відкритому безлічі в M . Це кільце не має нільпотентов, оскільки їх немає в \ R , А множення поточечно. Якщо M компактно, то максимальними ідеалами в ньому є безлічі функцій, занулюючих в даній точці:
\ Mathfrak {m} _x = \ {f \ in C ^ \ infty (M) \ vert f (x) = 0 \}
причому максимальні ідеали співпадають з простими.
  • Кільце підмножин множини X - Це кільце, елементами якого є підмножини в X . Операція складання є симетрична різниця, а множення - перетин множин:
A + B = A \ Delta B = (A \ setminus B) \ cup (B \ setminus A)
A \ cdot B = A \ cap B
Аксіоми кільця легко перевіряються. Нульовим елементом є порожньо безліч, одиничним - все X . Всі елементи кільця є ідемпотентамі, тобто A \ cdot A = A . Будь-який елемент є своїм зворотним по складанню: A + A = 0 . Кільце підмножин важливо в теорії булевих алгебр і теорії міри, зокрема в побудові теорії ймовірностей.

Примітки

  1. Неассоціатівное КІЛЬЦЯ та алгебри - dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3339/НЕАССОЦИАТИВНЫЕ

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кільце
Кільце Безу
Артинова кільце
Кільце періодів
Веб-кільце
Садове кільце
Кільце влади
Факторіальні кільце
Кільце нібелунга
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru