Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Кінцева геометрія



План:


Введення

Кінцева геометрія - це будь-яка геометрична система, що має кінцеве кількість точок. Наприклад, евклідова геометрія не є кінцевою, оскільки евклідова пряма містить необмежену кількість точок, а точніше кажучи, містить рівно стільки точок, скільки існує дійсних чисел. Кінцева геометрія може мати будь-яке кінцеве число вимірювань.

Кінцеві геометрії можуть описуватися лінійної алгеброю, як векторні простору і подібні структури над кінцевим полем, які називаються геометріями Галуа, або можуть описуватися повністю комбінаторно. Багато, але не все, кінцеві геометрії є геометріями Галуа, - наприклад, будь- проективне простір розмірністю три або більше є ізоморфні проективному простору над кінцевим полем (проектівізація векторного поля над кінцевим полем), і в цьому випадку розходжень немає, але в розмірності два існують комбінаторно певні проективні площини, які не є ізоморфними до проективних просторів над кінцевими полями, і названі недезарговимі площинами, тому в цьому випадку відмінності є.


1. Кінцеві площині

Наступні зауваження стосуються тільки кінцевих площин.

Існують два види геометрії на площині: афінна і проективна. У афінної геометрії використовується звичайне поняття паралельності прямих. У проективної геометрії навпаки, будь-які дві прямі перетинаються в єдино можливою точці, і тому паралельних прямих не існує. Як кінцева афінна геометрія на площині, так і кінцева проективна геометрія на площині можуть бути описані досить простими аксіомами. Афінна геометрія на площині - це непорожня множина X (Елементи якого називаються "точками"), з непустою набором L підмножин X (Елементи якого називаються "пряма"), таких, що:

  1. Для двох різних точок існує тільки одна пряма, яка містить обидві точки.
  2. Аксіома паралельності Евкліда : Для прямого \ Ell і точки p , Не належить \ Ell , Існує одна і тільки одна пряма \ Ell ' , Що містить p , Така, що \ Ell \ cap \ ell '= \ varnothing.
  3. Існує безліч з чотирьох точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій.

Остання аксіома забезпечує, що геометрія не порожня, тоді як перші дві описують її природу.

Найпростіша афінна площину містить лише 4 точки, і називається аффинной площиною другого порядку. Кожна пара точок визначає унікальну пряму, тому зазначена площину містить 6 прямих. Це аналогічно тетраедра, у якого непересічні ребра розглядаються як "паралельні", або квадрату, у якого паралельними вважаються не тільки супротивники, але і діагоналі також розглядаються як паралельні.

Малюнок кінцевої аффинной площині, яка містить 4 точки і 6 прямих. "Прямі" однакового кольору є "паралельними"

У більш загальному випадку, кінцева афінна площину порядку n має n 2 точок і n 2 + n прямих, кожна пряма містить n точок, і кожна точка належить n + 1 прямій.

Графічна ілюстрація кінцевої аффинной площині третього порядку, що містить 9 точок і 12 прямих. "Прямі" однакового кольору є паралельними у тому сенсі, що те що безлічі точок у двох прямих однакового кольору є порожнім

Проективна геометрія на площині є непустою множіством X (Елементи якого називаються "точками"), разом з непустою набором L підмножин X (Елементи якого називаються "прямими") таких що:

  1. Для будь-яких двох різних точок існує тільки одна пряма, що містить ці точки.
  2. Перетин двох різних прямих містить рівно одну точку.
  3. Існує безліч з чотирьох точок, жодні три з яких не належать одній прямій.
Площина Фано

Розгляд перших двох аксіом показує, що вони майже ідентичні, хіба що ролі точок і прямих помінялися. Це підказує нам принцип подвійності проективної геометрії на площині, тобто можна вважати, що вірне твердження залишається вірним, якщо замінити точки прямими, а прямі точками.

Оскільки третя аксіома вимагає існування як мінімум чотирьох точок, площина повинна містити як мінімум 7 точок, щоб задовольнити умовам перших двох аксіом. У цій найпростішої з проективних площин є також 7 прямих, кожна точка належить трьом прямим, і кожна пряма містить три точки. Таку проективну площину часто називають "площиною Фано". Якщо яку-небудь з ліній видалити з площини разом з належними їй точками, то в результаті отримаємо аффинную площину другого порядку. З цієї причини площину Фано називається проективної площиною другого порядку.

У загальному випадку проективна площину порядку n має n 2 + n + 1 точок і стільки ж ліній (згідно зі згаданим вище принципом двоїстості). Кожна лінія містить n + 1 точок, і кожна точка належить n + 1 прямій.

Перестановка семи точок площини Фано, яка переносить колінеарність (такі, що лежать на одній прямій) точки в колінеарність точки називається " симетрією "площині. Повна група симетрії має порядок 168 і ізоморфна групі PSL (2,7) = PSL (3,2), і загальної лінійної групі GL (3,2).


1.1. Порядки площин

Кінцева площину порядку n - це така площина, кожна пряма якої має n точок (для афінної площині), або кожна пряма якої має n + 1 точку (для проективної площини). Для кінцевої геометрії залишається відкритим наступний важливе питання:

Чи завжди порядок кінцевої площині є ступенем простого числа ?

Гіпотетично передбачається, що відповідь на це питання ствердна, проте це залишається недоведеним.

Аффінниє і проективні площині порядку n існують всякий раз, коли n є ступенем простого числа, і походять від кінцевого поля з q = p k елементами. Площини, які не походять від кінцевих полів, теж існують, але всі відомі приклади мають порядок ступеня простого числа.

Найкращим загальним результатом є теорема Брука-Райзера від 1949 року, яка стверджує:

Якщо n є позитивне ціле, яке має форму 4 k + 1 або 4 k + 2 і n не дорівнює сумі двох квадратів, тоді n не є порядком кінцевої площині.

Найменше ціле, не є простим числом, і не відповідає вимогам теореми Брука - Райзера - це 10. Число 10 має форму 4 k + 2 , Але дорівнює сумі квадратів 1 2 + 3 2 . Неіснування кінцевої площині близько 10 було доведено за допомогою комп'ютера в 1989 році.

Наступне найменше число, яке може не бути порядком кінцевої площині, - це 12, допущення для якого ще не доведено, але й не спростовано.


Примітки


Література

Картесі Ф. Введення в кінцеві геометрії - lib.mexmat.ru/books/2960


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кінцева міра
Кінцева p-група
Кінцева група
Сигма-кінцева міра
Локально кінцева група
Геометрія
Кільце (геометрія)
Проекція (геометрія)
Тіло (геометрія)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru