Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Лагранжіана



План:


Введення

Лагранжіана, функція Лагранжа \ Mathcal {L} [\ varphi_i]динамічної системи, названа на честь Жозефа Луї Лагранжа, є функцією узагальнених координат \ \ Varphi_i (s) і описує еволюцію системи. Наприклад рівняння руху (для класичної механіки) в цьому підході виходять з принципу найменшої дії, записуваного як:

\ Frac {\ delta \ mathcal {S}} {\ delta \ varphi_i} = 0

де дія - функціонал \ Mathcal {S} [\ varphi_i] = \ int {\ mathcal {L} [\ varphi_i (s)] {} \, d ^ ns},

а \ Varphi_i - узагальнені координати (наприклад, координати частинок або польові змінні), \ S_j позначає безліч параметрів системи, у разі класичної механіки - незалежні просторові координати і час, а більш широкому ще електричні або інші фізичні параметри.

Рівняння, отримані за допомогою прирівнювання нулю функціональної похідної функціоналу за всіма напрямками, ідентичні звичайними рівнянням Ейлера-Лагранжа. Динамічні системи, чиї рівняння можуть бути отримані за допомогою принципу найменшої дії для зручно вибраної функції Лагранжа, відомі як лагранжевого динамічні системи.

Прикладів лагранжевих динамічних систем багато, починаючи з класичної версії Стандартної Моделі в фізиці елементарних частинок і закінчуючи рівняннями Ньютона в класичній механіці. Також до цієї області відносяться суто математичні проблеми, такі як завдання знаходження рівнянь геодезичних і проблема Плато.


1. Приклад з класичної механіки

Поняття функції Лагранжа було спочатку введено для переформуліровкі класичної механіки у вигляді, відомому як лагранжевого механіка. У цьому контексті функція Лагранжа зазвичай береться у вигляді різниці кінетичної і потенційної енергії механічної системи.

Нехай розмірність простору дорівнює трьом і функція Лагранжа записана у вигляді

\ Begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} m \ dot {\ vec {x}} ^ 2-V (\ vec {x}),

де похідна за часом позначається крапкою над дифференцируемой величиною, \ Vec {x} - радіус-вектор частинки, m - її маса і V - потенціальна енергія. Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа буде: m \ ddot {\ vec {x}} + \ nabla V = 0 , Де \ Nabla - градієнт.

Використовуючи цей результат, можна легко показати, що цей підхід еквівалентний підходу Ньютона. Запишемо силу F в термінах потенціалу \ Vec {F} = - \ nabla V (x) , Тоді ми отримаємо рівняння \ Vec {F} = m \ ddot {\ vec {x}} , Яке аналогічно рівнянню Ньютона з постійною масою. Прості обчислення приведуть нас до вираження \ Vec {F} = d \ vec {p} / dt , Яке є другим законом Ньютона в його узагальненій формі.

Для тривимірної системи зі сферичними координатами r, θ, φ з лагранжіаном

\ Frac {m} {2} (\ dot {r} ^ 2 + r ^ 2 \ dot {\ theta} ^ 2 + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ dot {\ varphi} ^ 2)-V ( r)

можна отримати наступні рівняння Ейлера-Лагранжа:

m \ ddot {r}-mr (\ dot {\ theta} ^ 2 + \ sin ^ 2 \ theta \ dot {\ varphi} ^ 2) + V '= 0,
\ Frac {d} {dt} (mr ^ 2 \ dot {\ theta})-mr ^ 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ dot {\ varphi} ^ 2 = 0,
\ Frac {d} {dt} (mr ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ dot {\ varphi}) = 0.

2. Класичний лагранжіана швидкої частинки

Класичний (не квантовий, крім іншого, ігнорує спін) лагранжіана швидкої ( релятивістської) частинки з точністю до множника - мінус маси частинки, помноженої на універсальну константу - збігається зі швидкістю зростання довжини її світової лінії в просторі Маньківського - або власного часу:

-M c ^ 2 d \ tau / dt =-m c ^ 2 \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2},

де v - звичайна тривимірна швидкість частинки, c - швидкість світла, m - маса частинки.

З цього лагранжіана слід класична динаміка релятивістських частинок (релятивістська динаміка).


3. Лагранжіана і щільності лагранжіанов в теорії поля

  • В теорії поля роблять відмінність між лагранжіаном L, через який дія виражається як інтеграл тільки по часу
S = \ int {\ mathcal {L} \, dt}

і щільністю лагранжіана \ Mathcal {L} , Яку потрібно інтегрувати по всьому чотиривимірному [1] простору-часу:

S [\ varphi_i] = \ int {\ mathcal {L} [\ varphi_i (x)] \, d ^ 4x}

Тоді лагранжіана - це інтеграл по просторовим змінним від щільності лагранжиана.

  • Останнім часом щільність лагранжиана \ Mathcal {L} часто називають просто лагранжіаном; це корисно в релятивістських теоріях, оскільки він визначений локально. Таке визначення термінів, очевидно, альтернативно наведеному на початку параграфа. Нерідко також при цьому вводять відмінність між лагранжіаном і функцією Лагранжа, розуміючи під останньою інтеграл від лагранжіана по простору.

Обидва визначення лагранжіана можна отримати як спеціальні випадки загального визначення, в залежності від того, включені просторові змінні \ Vec x в індекс i чи в параметри s в \ Varphi_i (s) . Квантові теорії поля в фізиці елементарних частинок, такі як квантова електродинаміка, зазвичай описуються в термінах \ Mathcal {L} . Ця форма зручна, оскільки швидко переводиться в правила, що використовуються для оцінки діаграм Фейнмана.


4. Електромагнітний лагранжіана [2]

4.1. Електростатика

Електростатика (фізика статичних - тобто досить повільно мінливих) електричних полів, які можна (наближено або точно) описати скалярним [3] потенціалом і досить повільно рухається зарядженого речовини, що підкоряється таким чином ньютонівської механіки, може бути в цілому описана практично в рамках класичної механіки .

У класичній механіці лагранжіана є

\ Mathcal {L} = T - V

де T - кінетична енергія і V - потенціальна енергія.

Для зарядженої частинки масою m і зарядом q, що знаходиться в електричному (електростатичному) поле зі скалярним потенціалом \ Phi \ , Кінетична енергія задається виразом

T_s = {1 \ over 2} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} - Для однієї частинки (для багатьох береться сума).

Енергія взаємодії поля з зарядженим речовиною виглядає як

V = q \ phi \ для одного точкового заряду (для багатьох підсумовується),

або

V = \ int \ rho \ phi \ dx dy dz - У вигляді для неперервного розподілу заряду.

(Той і інший вид виявляється корисно виписати окремо, хоча, звичайно, вони один до одного зводяться, якщо використовувати дельта-функцію). Енергія поля входить в член кінетичної енергії поряд з кінетичною енергією частинок [4], записуючись як:

T_f = \ int {1 \ over 2 \ varkappa} (\ nabla \ phi) ^ 2 dx dy dz,

де \ Varkappa - "Силова константа", що входить в кінцевому підсумку в закон Кулона.

Таким чином, лагранжіана електростатики, що включає в себе і кінетичну енергію (повільного) руху заряджених частинок, такий:

\ Mathcal {L} = T_f - V + T_s,

(Кожен член його виписаний вище).

  • Природно, цей лагранжіана може бути при необхідності доповнений іншими членами, які описують неелектричні сили, наприклад, енергією пружності і т. д.

Проварьіровав дію з описаним у цьому параграфі лагранжіаном [5], легко отримати рівняння поля для електростатики ( рівняння Пуассона):

\ Nabla ^ 2 \ phi = - \ varkappa \ rho

і рівняння руху частинки в електричному полі (в цілому збігається з отриманим в прикладі для класичної частинки на початку статті):

m \ dot {\ mathbf v} = - q \ nabla \ phi.

4.2. Електродинаміка

4.2.1. Тривимірна формулювання

У разі електродинаміки доводиться користуватися вже не класичної потенційною енергією, а узагальненої (залежної і від швидкостей) потенційної енергією (енергією взаємодії):

V = q \ phi - {q \ over c} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A}

або

V = \ int (\ rho \ phi - {1 \ over c} \ mathbf {j} \ cdot \ mathbf {A}) dx dy dz

де c - швидкість світла, v - швидкість частинки, j - вектор густини струму.

Енергія електромагнітного поля також повинна включати в порівнянні з випадком електростатики ще й енергію магнітного поля [6] :

T_f = \ int \ frac {1} {2 \ varkappa} (E ^ 2 - H ^ 2) dx dy dz,

де E і H слід вважати вираженими через скалярний потенціал \ Phi і векторний потенціал А:

\ Mathbf E = - \ nabla \ phi - {1 \ over c} \ frac {\ partial \ mathbf A} {\ partial t}, ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ mathbf H = \ mathbf {rot} \ mathbf A .


Тоді електромагнітний лагранжіана запишеться у вигляді

L = T_f - q \ phi + {q \ over c} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A} + T_s.

або

L = T_f + \ int (- \ rho \ phi + {1 \ over c} \ mathbf j \ \ cdot \ mathbf {A}) dx dy dz + T_s.

Тут в якості лагранжіана речовини T_s можна використовувати наближене вираження для повільних частинок, як описано в параграфі про електростатиці, а можна використовувати (так як для електродинаміки, не обмежується повільними рухами, це, взагалі кажучи, актуально) релятивістський лагранжіана для швидких частинок

T_s =-m c ^ 2 d \ tau / dt =-m c ^ 2 \ sqrt {1-v ^ 2} .

Як і у випадку електростатики, при необхідності до цього лагранжіану можуть бути дописані додаткові члени, що описують неелектромагнітной сили, інші поля ітд, що, втім, виходить за рамки задачі опису електромагнітного лагранжіана. Строго кажучи, виписування кінетичної енергії речовини теж виходить за ці рамки, проте ми виписали його, щоб опис зберігало цілісність.

При варіюванні дії з цим лагранжіаном за ф і по A_x, A_y, A_z (Незалежно по кожному, використовуючи другу форму запису лагранжіана), виходять рівняння Максвелла, а при варіюванні за координатами заряджених частинок - використовуючи першу форму запису - рівняння руху заряджених частинок в полі, що зводяться до:

d \ mathbf p / d t = \ mathbf F_L, ,

де p - (тривимірний) імпульс частинки, \ Mathbf F_L - сила Лоренца (включаючи електричний член).

Однак простіше і коротше всього такий висновок виходить в чотиривимірний формулюванні (см.далее).


4.2.2. Чотиривимірна формулювання

У чотиривимірний формулюванні щільність лагранжиана електромагнітного поля, його взаємодії із зарядженим речовиною і (для повноти картини) самого речовини виглядає так (використовуючи систему одиниць c = 1):

L = \ frac {1} {4 \ varkappa} F_ {ik} F ^ {ik} + A_i j ^ i + L_s.

Другий член (що описує взаємодію) можна переписати так, що відповідна дія буде:

S_ {int} = - \ int q A_i dx ^ i.

(Член L_s - Звичайна щільність лагранжиана швидкої - у загальному випадку - частинки; явно її можна не виписувати, оскільки для класичної теорії вона не потрібна, так як для неї потрібен лагранжіана такої частинки, виписаний як зазвичай - див. вище - а не його щільність).

Тут c - швидкість світла, F ^ {ik} - Тензор електромагнітного поля (в лагранжіана входить його згортка - квадрат), A_i - 4-потенціал, j ^ i - чотиривимірна щільність струму, dx ^ i - 4-переміщення; подразумеваєтся правило Ейнштейна підсумовування по повторюваному індексу.

Варіюванням по A_i легко виходять рівняння Максвелла в чотиривимірний формі:

\ Partial_i F ^ {ik} = \ varkappa j ^ k ,

а варіюванням по x ^ i - Рівняння руху для частинки:

d p_i / d \ tau = q F_ {ik} u ^ k, \

де p_i = m u_i - 4-імпульс, u ^ k - 4-швидкість.


5. Лагранжіана квантової теорії поля

Лагранжіана квантової теорії поля в принципі збігається з класичним, за винятком випадків, коли для деякої частини польових змінних скрутно ввести класичні аналоги або їх коректно проінтерпретувати; втім, і тоді звичайно можна, хоча б чисто формально, отримати те, що називається класичними рівняннями руху, використавши замість тієї чи іншої процедури квантування поля з даними лагранжіаном наближення стаціонарної фази (стаціонарного дії) - тобто знайшовши класичне наближення опису системи.

Таким чином, лагранжіана, виписані нижче, не є в певному сенсі специфічними тільки для квантової теорії відповідних полів; тим не менш вони в квантовій теорії поля використовуються, представляючи в певному відношенні її основу.


5.1. Лагранжіана квантової електродинаміки

Щільність лагранжіана для КЕД

\ Mathcal {L} = \ bar \ psi (i \ not \! \, D - m) \ psi - {1 \ over 4} F_ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}

де ψ - біспінор, \ Bar \ psi = \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 - Його Діраковскій спряження, \! F ^ {\ mu \ nu} - тензор електромагнітного поля, D - калібрувальна коваріантна похідна, і \ Not \! \, D - Позначення Фейнмана для \! \ Gamma ^ \ sigma D_ \ sigma .


5.2. Лагранжіана Дірака

Щільність лагранжіана для Діраковскій поля

\ Mathcal {L} = \ bar \ psi (i \ not \! \; \ Partial - m) \ psi .

5.3. Лагранжіана квантової хромодинаміки

Щільність лагранжіана для квантової хромодинаміки [1]

\ Mathcal {L} = - {1 \ over 4} F ^ \ alpha {} _ {\ mu \ nu} F_ \ alpha {} ^ {\ mu \ nu} - \ sum_n \ bar \ psi_n (\ not \! \, D_ \ mu + m_n) \ psi_n

де \! D_ \ mu - Калібрувальна коваріантна похідна КХД, і \! F ^ \ alpha {} _ {\ mu \ nu} - Тензор напруженості глюонної поля.


Примітки

  1. а в деяких теоріях і більш багатомірного.
  2. У цьому пункті йдеться про суто класичної (не квантовою) електродинаміки (квантовоэлектродинамический лагранжіана описаний у наступних розділах), особливо сказане стосується зарядженого речовини, з яким взаємодіє електромагнітне поле - тобто і члена взаємодії, і лагранжіана власне речовини (лагранжіана ж вільного електромагнітного поля в цілому один і той же в класичній і квантовій теорії).
  3. Тут мається на увазі, звичайно ж, скаляр звичайного тривимірного простору, а не інваріант перетворень Лоренца.
  4. Це визначається знаком, який повинен вийти у результаті в рівняннях руху і тим, що з певних міркувань енергію поля хочеться мати позитивною. Все це може бути більш або менш суворо обгрунтовано, але тут ми обмежимося тільки що викладених простими міркуваннями.
  5. Для отримання рівняння поля зручніше використовувати лагранжіана взаємодії, виражений через \ Rho , Для отримання рівняння руху частинки в полі - через положення точкової частинки (через q \ phi ).
  6. Питання про знаки, як це було зроблено вище та для електростатичного поля, не будемо тут докладно обговорювати, хоча досить суворе обгрунтування і існує, обмежившись знову зауваженням, що саме такі знаки дають потрібні знаки в підсумкових рівняннях.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru