Ластівчин хвіст (поверхня)

Ластівчин хвіст ( англ. swallow tail ) - нерегулярна поверхня в тривимірному просторі, визначити яку можна декількома еквівалентними способами. Розглянемо многочлен P (x) = x ^ 4 + ax ^ 2 + bx + c від змінної x , Залежний від коефіцієнтів a, b, c (І змінна, і коефіцієнти передбачаються речовими). Кожній трійці коефіцієнтів a, b, c однозначно відповідає многочлен P (x) , А також точка в просторі з декартовими координатами (A, b, c) . Тоді "ластівчин хвіст" визначається як поверхня S в просторі з координатами (A, b, c) , Точкам якої відповідають багаточлени P (x) , Що мають кратні корені.

"Ласточкін хвіст"

Поверхня S має особливість у вигляді ребра повернення і лінії самопересеченія, при цьому ребро повернення має вигляд полукубіческой параболи, що має особливість у вигляді точки повернення (Каспію). Поверхня S розбиває простір (A, b, c) на три області, відповідні числа речових коренів многочлена P (x) . Саме, в області, що має вигляд криволінійної піраміди, ребрами якої є лінія самопересеченія і дві гілки полукубіческой параболи, P (x) має 4 речових кореня; в прилеглій до неї області - два і в залишилася області - нуль.

Ластівчин хвіст знаходить численні застосування в теорії катастроф і теорії біфуркацій. Зокрема, він є поверхнею критичних значень (чином безлічі критичних точок) одного з стійких паростків гладких відображень f: \ R ^ 3 \ to \ R ^ 3 . Ластівчин хвіст є стратифікованим різноманіттям.


1. Параметричне завдання

Користуючись даним визначенням, можна отримати формулу, що задає ластівчин хвіст параметрично:

\ Left \ {\ begin {matrix} x_1 (u, v) = & u \ \ x_2 (u, v) = & 2v ^ 3 + uv \ \ x_3 (u, v) = & 3v ^ 4 + uv ^ 2 . \ \ \ End {matrix} \ right.

2. Цікаві факти

Поверхня ластівчин хвіст була докладно вивчена Кронекером в 1878 році, вона зустрічається також в роботах Келі того ж часу, присвячених особливостям розповсюджуються хвильових фронтів і каустик. [1]

У 1983 році іспанський художник Сальвадор Далі під враженням від робіт французького математика Рене Тома в області теорії катастроф написав картину "Ласточкін хвіст", що представляє собою просту каліграфічний композицію на світлому фоні, в центрі якої зображено переріз поверхні S в просторі (A, b, c) площиною a = const> 0 - Крива з точкою самопересеченія і двома полукубіческімі точками повернення. На цій картині, що стала останнім твором художника, можна бачити також кубічну параболу, стилізовані знаки інтеграла і фрагменти музичних інструментів. [2] [3] [4] [5]


Література


Примітки

  1. Брус Дж., Джіблін П. Криві та особливості: Геометричне введення в теорію особливостей. - Стор 8.
  2. Ластівчин хвіст - останній твір Сальвадора Далі - mir-dali.ru/library/teatr-musey-dali-v-figerase68.html.
  3. Далі Сальвадор. Біографія - art-on-web.ru/info/1/salvador_dali /.
  4. The Swallow's Tail
  5. Dal, Salvador, 'Gala, Velsquez and the Golden Fleece' (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dal, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dal, l'oeuvre et l'homme (Lausanne: Edita, 1984).