Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Логістичне відображення



План:


Введення

Логістичне відображення (також квадратичне відображення або відображення Фейгенбаума) - це полиномиальное відображення, яке описує, як змінюється чисельність популяції з плином часу. Його часто наводять як приклад того, як з дуже простих нелінійних рівнянь може виникати складне, хаотичне поводження. Логістичне відображення - дискретний аналог безперервного логістичного рівняння Ферхюльста; воно відображає той факт, що приріст популяції відбувається в дискретні моменти часу.

Математичне формулювання [1] відображення

x_ {n +1} = r x_n (1-x_n) \,

де:

x_n \, приймає значення від 0 до 1 і відображає чисельність популяції в n \, -Му році, а x_0 \, позначає початкову чисельність (на рік номер 0);
r \, - Позитивний параметр, що характеризує швидкість розмноження (зростання) популяції.

Іноді це формулювання називається відображенням Ферхюльста (або Ферхюльста-Пірла), а логістичним відображенням називається інша, але еквівалентна за властивостями формула [2] :

x_ {n +1} = 1 - \ lambda x_n ^ 2

Це нелінійне відображення описує два ефекти:

  • з одного боку, коли чисельність популяції мала, вона розмножується зі швидкістю, пропорційною цієї чисельності;
  • з іншого боку, оскільки популяція живе в середовищі з обмеженою "ємністю", то при зростанні щільності популяції швидкість розмноження падає, зростає конкуренція і смертність.

Одним з недоліків використання відображення в якості демографічної моделі є той факт, що при деяких початкових значеннях і величини параметрів відображення дає негативні значення чисельності популяції. Цього недоліку позбавлена ​​дискретна модель Рікера, яка також демонструє хаотична поведінка.


1. Залежність поведінки від параметра r \,

При зміні значення параметра r \, , В системі спостерігається наступне поведінку [3].

  • Якщо r \, більше 0 і менше 1, популяція в кінці кінців вимре, незалежно від початкових умов.
  • Якщо r \, більше 1 і менше 2, чисельність популяції швидко вийде на стаціонарне значення \ Frac {r-1} {r} , Незалежно від початкових умов.
  • Якщо r \, більше 2 і менше 3, чисельність популяції точно так само прийде до того ж стаціонарного значення \ Frac {r-1} {r} , Але спочатку буде трохи коливатися навколо нього. Швидкість збіжності линейна скрізь, крім значення r \, = 3, при якому вона вкрай мала, менше лінійної.
  • Якщо r \, більше 3 і менше 1 + \ sqrt {6} (Приблизно 3.45), чисельність популяції буде нескінченно коливатися між двома значеннями.
  • Якщо r \, більше 3.45 і менше 3.54 (приблизно), то чисельність популяції буде нескінченно коливатися між чотирма значеннями.
  • При значенні r \, більше 3.54, чисельність популяції буде коливатися між 8 значеннями, потім 16, 32 і так далі. Довжина інтервалу зміни параметра, при якому спостерігаються коливання між однаковою кількістю значень, зменшується по мірі збільшення r \, . Відношення між двома довжинами суміжних інтервалів прагне до константі Фейгенбаума, рівної δ ≈ 4.669 ... Подібна поведінка є типовим прикладом каскаду біфуркацій подвоєння періоду.
  • При значенні r \, приблизно рівному 3.57, починається хаотичне поводження, а каскад подвоєнь закінчується. Коливання більше не спостерігаються. Невеликі зміни в початкових умовах приводять до непорівнянним відмінностям подальшої поведінки системи в часі, що є основною характеристикою хаотичного поведінки.
  • Більшість значень, що перевищують 3.57 демонструють хаотичне поводження, однак існують вузькі, ізольовані "вікна" значень r \, , При яких система веде себе регулярно, зазвичай їх називають "вікнами періодичності". Наприклад, починаючи зі значення 1 + \ sqrt {8} (Приблизно 3.83), існує інтервал параметрів r \, , При якому спостерігаються коливання між трьома значеннями, а для великих значень r \, - Між 6, потім 12 і т. д. Фактично, в системі можна знайти періодичні коливання з будь-якою кількістю значень. Послідовність зміни кількості значень задовольняє порядком Шарковський.
  • При r \, > 4, значення відображення покидають інтервал [0,1] і розходяться при будь-яких початкових умовах.

Підсумок вищепереліченого наведено на біфуркаційних діаграмі. По осі абсцис відкладені значення параметра r \, , А по осі ординат - прийняті на великих часах значення x \, .

Біфуркаційних діаграма логістичного відображення

Структура бифуркационной діаграми самоподобна : якщо збільшити область, приміром, при значенні r \, = 3.82 в одному з трьох відгалужень, то можна побачити, що тонка структура цієї області виглядає, як перекручена і розмита версія всієї діаграми. Те ж саме вірно для будь-який околиці нехаотіческіх точок. Це приклад глибокого зв'язку між хаотичними системами та фракталами.


2. Аналітичне рішення

Для r = 2 точне аналітичне рішення виглядає наступним чином:

x_n = \ frac {1} {2} - \ frac {1} {2} (1-2x_0) ^ {2 ^ n}

Примітки

  1. Хаос динамічний - www.femto.com.ua/articles/part_2/4451.html в Фізичної енциклопедії
  2. В. Н. Думачев, В. А. Родін Еволюція антагоністично-взаємодіючих популяцій на базі двовимірної моделі Ферхюльста-Пірла - www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mm&paperid=2767&option_lang=rus. - Math-Net.ru, 2005. - В. 7. - Т. 17. - С. 11-22.
  3. " Java-демонстрація біфуркацій квадратичного відображення - www.ibiblio.org / e-notes / Chaos / ru / bifurcat_r.htm "at homepage of Dr Evgeny Demidov.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Логістичне розподіл
Логістичне рівняння
Відображення
Лінійне відображення
Ступінь відображення
Ліпшіцево відображення
Багатозначне відображення
Відображення (програмування)
Білінійну відображення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru