Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Лінійне відображення



План:


Введення

Лінійне відображення, лінійний оператор - узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції y = k x ) На випадок більш загального безлічі аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, досить добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, так як їх властивості не залежать від природи величин.


1. Формальне визначення

Лінійним відображенням векторного простору L K над полем K в векторний простір M K (Лінійним оператором з L K в M K ) Над тим же полем K називається відображення

f \ colon L_K \ to M_K ,

задовольняє умові лінійності

f (x + y) = f (x) + f (y) ,
fx) = α f (x) .

для всіх x, y \ in L_K і \ Alpha \ in K .


2. Простір лінійних відображень

Якщо визначити операції додавання і множення на скаляр з основного поля K як

  • (F + g) (x) = f (x) + g (x) \ quad \ forall x \ in L_K
  • (Kf) (x) = kf (x) \ quad \ forall x \ in L_K, \ forall k \ in K

безліч всіх лінійних відображень з L K в M K перетворюється в векторний простір, який зазвичай позначається як \ Mathcal {L} (L_K, M_K)


3. Важливі окремі випадки

  • Лінійний функціонал - лінійний оператор, для якого M = K :
    f \ colon L_K \ to K
  • Ендоморфізм - лінійний оператор, для якого L = M :
    f \ colon L_K \ to L_K
  • Тотожний оператор - оператор x \ mapsto x , Що відображає кожен елемент простору в себе.
  • Нульовий оператор - оператор, що переводить кожен елемент L K в нульовий елемент M K .
  • Проектор - оператор сопоставляющий кожному x його проекцію на підпростір.
  • Сполучений оператор до оператора A \ in L (V) - Оператор A * на V * , Заданий співвідношенням (A * f, x): = (f, A x) .
  • Самосопряженним оператор - оператор, що співпадає зі своїм зв'язаним оператором. Іноді такі оператори називають гіпермаксімальнимі ермітових.
  • Ерміта (або симметрический) оператор - такий оператор A , Що (A x, y) = (x, A y) для всіх пар x, y з області визначення A . Для всюди певних операторів збігається з самосопряженним.
  • Позитивно певний оператор. Нехай L K, M K - гильбертова простору. Тоді лінійний оператор називається позитивним, якщо \ Forall x \ in X, (Ax, x)> 0 .

4. Пов'язані поняття

  • Образом підмножини [1] M \ subset L_K щодо лінійного відображення A називається безліч AM = \ {Ax: x \ in M ​​\} .
  • Ядром лінійного відображення f \ colon A \ to B називаються підмножина A , Яке відображається в нуль:
    \ Mbox {Ker} \, f = \ {x \ in A \ mid f (x) = 0 \}
Ядро лінійного відображення утворює підпростір в лінійному просторі A .
  • Образом лінійного відображення f називається наступне підмножина B :
    \ Mbox {Im} \, f = \ {f (x) \ in B \ mid x \ in A \}
Образ лінійного відображення утворює підпростір в лінійному просторі B .
  • Відображення f \ colon A \ times B \ to Cпрямого твори лінійних просторів A і B в лінійний простір C називається білінійних, якщо воно лінійно по обом своїм аргументам. Відображення прямого твори більшого числа лінійних просторів f \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to B називається полілінейним, якщо воно лінійно по всіх своїх аргументів.
  • Оператор \ Tilde L називається лінійним неоднорідним (або Афіни), якщо він має вигляд
    \ Tilde L = L + v
де L - Лінійний оператор, а v - Вектор.
  • Нехай A: L_K \ to L_K . Підпростір M \ subset L_K називається інваріантним щодо лінійного відображення, якщо \ Forall x \ in M, Ax \ in M [2].
Критерій інваріантності. Нехай M \ subset X - Підпростір, таке що X розкладається в пряму суму : X = M \ oplus N . Тоді M інваріантно відносно лінійного відображення A тоді і тільки тоді, коли P M A P M = A P M , Де P M - проектор на підпростір M .
  • Фактор-оператори [3]. Нехай A: L_K \ to L_K - Лінійний оператор і нехай M - Деяке інваріантне щодо цього оператора підпростір. Утворити фактор-простір L_K / \, \ overset {M} {\ sim} по підпростір M . Тоді фактор-оператором називається оператор A + діє на L_K / \, \ overset {M} {\ sim} за правилом: \ Forall x ^ + \ in L_K / \, \ overset {M} {\ sim}, A ^ + x ^ + = [Ax] , Де [A x] - Клас з фактор-простору, що містить A x .

5. Приклади

Приклади лінійних однорідних операторів:

  • оператор диференціювання: L \ {x (\ cdot) \} = y (t) = \ frac {dx (t)} {dt} ;
  • оператор інтегрування: y (t) = \ int \ limits_0 ^ t \! x (\ tau) \, d \ tau ;
  • оператор множення на певну функцію φ (t): y (t) = φ (t) x (t) ;
  • оператор інтегрування до заданого "вагою" \ Varphi (t) \ colon y (t) = \ int \ limits_0 ^ t \! X (\ tau) {\ varphi} (\ tau) \, d \ tau
  • оператор взяття значення функції f в конкретній точці x 0 : L {f} = f (x 0) [4];
  • оператор множення вектора на матрицю: b = A x ;
  • оператор повороту вектора.

Приклади лінійних неоднорідних операторів:

де φ (t) , φ 1 (t) , φ 2 (t) - Цілком певні функції, а x (t) - Перетворюються оператором функція.


Примітки

  1. M не зобов'язана бути підпростором.
  2. Або: AM \ subset M .
  3. Також вживається написання фактороператори.
  4. Іноді позначається як \ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! F (x) {\ delta} (x-x_0) \, dx

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Лінійне письмо Б
Лінійне письмо А
Лінійне рівняння
Лінійне різноманіття
Лінійне програмування
Еламська лінійне письмо
Дрібно-лінійне програмування
Лінійне диференціальне рівняння
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru