Лінійчатий гелікоїд
Лінійчатий гіперболоїд
Гіперболічний параболоїд

В диференціальної геометрії, лінійчата поверхня - поверхня, утворена рухом прямої лінії. Прямі, що належать цій поверхні, називаються прямолінійними створюючими, а кожна крива, що перетинає всі прямолінійні утворюючі, направляючої кривої. Якщо p (u) - Радіус-вектор направляючої, a m = m (v) - Одиничний вектор утворює, що проходить через p (u) , То радіус-вектор лінійчатої поверхні є

r = p (u) + vm (u),

де v - Координата точки на твірною.


Властивості

  • Лінійчата поверхня характеризується тим, що її асимптотична мережу - полугеодезіческая.
  • Гауссова кривизна лінійчатої поверхні K \ leq 0 .
  • Теорема Бельтрамі. Лінійчатих поверхня завжди можна і притому єдиним чином зігнути так, що довільна лінія на ній стане асимптотичної.
  • Теорема Бонні. Крім того, якщо лінійчата поверхня F , Що не є розгортається, згинається в лінійчату поверхню F ' , То або їх утворюють відповідають один одному, або обидві вони згинаються в квадріку, на якій мережу, відповідна сімействам утворюють, - асимптотична.
  • Єдина мінімальна лінійчата поверхня - гелікоїд.
  • Лінійчата поверхня обертання - однополостного гіперболоїда, бути може вироджується в циліндр, конус або площину.
  • Якщо все прямолінійні утворюючі лінійчатої поверхні паралельні одній площині, то вона являє собою поверхню Каталана.

Література